山西省晉中市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

秘密★啟用前高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）（1）溫度?速度?位移?功都是向量（2）零向量沒有方向（3）向量的模一定是正數(shù)（4）直角坐標(biāo)平面上的x軸?y軸都是向量A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.【詳解】（1）錯(cuò)誤，只有速度，位移是向量；溫度和功沒有方向，不是向量；（2）錯(cuò)誤，零向量有方向，它的方向是任意的；（3）錯(cuò)誤，零向量的模為0，向量的模不一定為正數(shù)；（4）錯(cuò)誤，直角坐標(biāo)平面上的軸、軸只有方向，但沒有長(zhǎng)度，故它們不是向量.故選：A2.已知兩個(gè)單位向量的夾角是，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量模的運(yùn)算法則運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量的夾角是，所以.故選：D3.設(shè)（其中為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，結(jié)合純虛數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以有，故選：D4.下列說法正確的是（）A.直四棱柱是長(zhǎng)方體B.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱C.正方體被一個(gè)平面截去一個(gè)角之后可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單組合體D.臺(tái)體是由一個(gè)平面截錐體所得的截面與底面之間的部分【答案】C【解析】【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可以一一判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，當(dāng)直四棱柱的底面不是矩形時(shí)，直四棱柱不是長(zhǎng)方體，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不符合棱柱的結(jié)構(gòu)特征，如下面是一個(gè)正三棱柱，上面是一個(gè)以正三棱柱上底面為底面的斜三棱柱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，正方體被一個(gè)平面截去一個(gè)角之后可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，C正確；對(duì)于D，不符合臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征,截面應(yīng)該跟底面平行，D錯(cuò)誤.故選：C5.在中，為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，根據(jù)共線可設(shè)，，結(jié)合已知及平面向量的基本定理列方程組求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，，又，且，所以，即，解得.故選：B.6.“升”和“斗”是舊時(shí)量糧食的器具，如圖所示為“升”，是一個(gè)無(wú)蓋的正四棱臺(tái)，據(jù)記載：它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，可容米1公斤.該“升”的容積約是（）（約定：“上口”指上底邊長(zhǎng)；“下口”指下底邊長(zhǎng).）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】器具是一個(gè)無(wú)蓋的正四棱臺(tái)，它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，其體積為：.故選：A.7.已知向量，，滿足，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求向量的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)運(yùn)算求模，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值.【詳解】由條件可知，則，當(dāng)時(shí)，.故選：B8.如圖所示，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，稱此平面坐標(biāo)系為斜坐標(biāo)系.若，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量的斜坐標(biāo)，記為.在的斜坐標(biāo)系中，若向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.向量與可作為該平面的一個(gè)基底【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)展開求解即可；對(duì)于B項(xiàng)，驗(yàn)證是否為零；對(duì)于C，根據(jù)題意寫出，然后根據(jù)向量的減法運(yùn)算即可；對(duì)于D項(xiàng)，看向量與是否共線進(jìn)行判斷.【詳解】由題意得：，，對(duì)于A項(xiàng)，，，故A不正確；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C項(xiàng)，，由題意得：，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，向量與，，所以兩個(gè)向量共線，不可作為該平面的一個(gè)基底，故D不正確.故選：C二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖所示，是線段上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則下列關(guān)系式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)共線向量、相等向量、相反向量的定義逐一判斷斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：因?yàn)槭蔷€段上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，且與同向，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：因?yàn)槭蔷€段上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，且與反向，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：因?yàn)槭蔷€段上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，且與反向，所以，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：因?yàn)槭蔷€段上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，且與反向，所以，故選項(xiàng)D不正確；故選：ABC.10.已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A.的實(shí)部為B.的虛部為C.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限D(zhuǎn).的共軛復(fù)數(shù)為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模及代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以的實(shí)部為，虛部為，，故A、B錯(cuò)誤，D正確；又復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限，故C正確；故選：CD11.如圖所示，一個(gè)平面圖形的直觀圖為，其中，則下列說法中正確的是（）A.該平面圖形是一個(gè)平行四邊形但不是正方形B.該平面圖形的面積是8C.該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周形成的幾何體的體積是D.以該平面圖形為底，高為3的直棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)為【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于AB選項(xiàng)，由直觀圖得出平面圖形，即可判定；對(duì)于CD根據(jù)幾何體的體積公式和對(duì)角線計(jì)算即可.【詳解】如圖所示將直觀圖還原為平面圖形，由題意可得，AC=4=BD，故該平面圖形為正方形.即A錯(cuò)誤；面積，即B正確；將平面圖形繞直線AC旋轉(zhuǎn)半周得幾何體為兩個(gè)圓錐，底面半徑均為2，故體積，即C正確；以該平面圖形為底，高為3的直棱柱其實(shí)為長(zhǎng)方體，體對(duì)角線長(zhǎng)為，即D錯(cuò)誤.故選：BC12.已知對(duì)任意角均有等式.設(shè)的內(nèi)角滿足，面積滿足.記分別為角的對(duì)邊，則下列式子中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和及和差化積可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)面積公式可判斷選項(xiàng)B、C的正誤；根據(jù)三角形邊的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D的正誤.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)題意，由可得：，即，故，即所以故，故A正確．對(duì)于B，又由正弦定理，得，三角形的面積公式，可得，又因此，即，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，，有，從而，故C正確．對(duì)于D，根據(jù)三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系，有，故D正確．故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.向量在向量上的投影向量__________.【答案】或【解析】【分析】利用投影向量的定義進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，，所以向量在向量上的投影向量的模長(zhǎng)為，所以投影向量或.故答案為：或.14.已知在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是__________.【答案】##2i-5【解析】【分析】根據(jù)向量的減法計(jì)算和復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可求解.【詳解】.故答案為：.15.已知中，角所對(duì)的邊分別為，那么面積的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理將邊化角，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出的取值范圍，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，，，，又，，由余弦定理得，即，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.故答案為：16.如圖所示，一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后將余下的四個(gè)全等的等腰三角形組成一個(gè)正四棱錐?若正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面邊長(zhǎng)為單位：，且，則該球的半徑（單位：）的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】作出正四棱錐，正四棱錐的外接球的球心在正四棱錐的高線上，根據(jù)勾股定理表示外接球的半徑與的關(guān)系，再求出的取值范圍.【詳解】由題意，作出正四棱錐，如圖所示，記為的中點(diǎn)，連結(jié)，可知，，四邊形為正方形.記為正方形的中心，連結(jié)，則平面，，，，記正四棱錐的外接球的球心為，，在直角中，，即，設(shè)，，則，整理得，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位.（1）若，求；（2）若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算即可；（2）方法一，把直接代入方程，求得，再進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算.方法二，由是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，得是此方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求得，再進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算.【小問1詳解】若，則，所以.【小問2詳解】方法1：由題得，所以又，故可解得，即.則.方法2：因?yàn)槭顷P(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，所以是方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根，則，即，又，故可得..則.18.已知平面直角坐標(biāo)系中，向量.（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；（2）若與的夾角為__________，求實(shí)數(shù)的取值范圍.請(qǐng)?jiān)谌缦聝蓚€(gè)條件中任選一個(gè)，將問題補(bǔ)充完整，并求解（如果兩個(gè)條件都選則按第1個(gè)的答題情況給分）：①銳角；②鈍角.【答案】（1）或（2）答案見解析【解析】【分析】（1）設(shè)出向量的坐標(biāo)，利用向量平行和模長(zhǎng)建立方程組，求解方程組可得答案；（2）先表示出與的坐標(biāo)，選擇夾角為銳角可以利用數(shù)量積大于零求解，選擇夾角為鈍角可以利用數(shù)量積小于零求解.【小問1詳解】設(shè)，由題意得.，解得.，解得，向量的坐標(biāo)為或.【小問2詳解】.當(dāng)與共線時(shí)，，解得.若選①銳角，則，解得；與的夾角為銳角時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；若選②鈍角，則，解得，與的夾角為鈍角時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.一條河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度，一艘游船從南岸碼頭點(diǎn)出發(fā)航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是，水流速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸上的點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向.（1）若游船沿到達(dá)北岸點(diǎn)所需時(shí)間為，求的大小和的值；（2）當(dāng)時(shí)，游船航行到北岸的實(shí)際航程是多少？【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設(shè)游船的實(shí)際速度為，由速度合成的，根據(jù)求得結(jié)果即可；（2）設(shè)到達(dá)北岸點(diǎn)所用時(shí)間為，根據(jù)計(jì)算長(zhǎng)度，得出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)游船的實(shí)際速度為.由，得，.如圖所示速度合成示意圖，由，得，.所以的大小為的值為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)到達(dá)北岸點(diǎn)所用時(shí)間為，作出向量加法示意圖如圖所示，由向量數(shù)量積運(yùn)算得：..在Rt中，，從而.所以.故游船的實(shí)際航程為.20.中，，，，.（1）若，，求的長(zhǎng)度；（2）若為角平分線，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）從向量角度，以為基底，表示出，再用向量法計(jì)算的模長(zhǎng)，即的長(zhǎng)度；（2）用正弦定理的面積公式分別A表示出，，面積，列出等式計(jì)算即可求出A的正弦值，繼而求出面積.【小問1詳解】∵，，∴，又∵在中，，，，∴，∴，即：.【小問2詳解】在中，，又∵，∴，∴，∴，∴，∴.21.中，分別在邊上，且.（1）求與所成銳角的余弦值；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使.若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，借助兩個(gè)向量夾角公式求解.（2）設(shè)，利用，，解方程即可得到結(jié)果.【小問1詳解】如圖以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.則依題意，.所以，.則，所以與所成銳角的余弦值為.【小問2詳解】設(shè)，則.由，得，解得.所以存在點(diǎn)，使.22.南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖暅，于五世紀(jì)末提出了體積計(jì)算原理，即祖暅原理：“夫疊棋成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么，這兩個(gè)幾何體的體積相等.其最著名之處是解決了“牟合方蓋”的體積問題.如圖所示，正方體，棱長(zhǎng)為.（1）求圖中四分之一圓柱體的體積；（2）在圖中畫出四分之一圓柱體與四分之一圓柱體一條交線（不要求說明理由）；（3）四分之一圓柱體與四分之一圓柱體公共部分是八分之一個(gè)“牟合方蓋”.點(diǎn)在棱上，設(shè).過點(diǎn)作一個(gè)與正方體底面平行的平面，求該截面位于八分之一“牟合方蓋”內(nèi)部分的面積；（4）如果令，求出八分之一“牟合方蓋”的體積.【答案】（1）（2）圖見解析（3）（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓柱體積公式求得結(jié)果；（2）觀察圖形，曲線是所求的一條交線.（3）截面位于八分之一“牟合方蓋”內(nèi)的部分為正方形，求出此正方形的面積；（4）構(gòu)造底面邊長(zhǎng)為，高為的正四棱錐.，根據(jù)祖桓原理，八分