四邊形（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【好題精選精練】 數(shù)學(xué)八年級(jí) 下冊(cè)重難點(diǎn)突破（含答案解析）

第22章四邊形（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2020春·八年級(jí)校考課時(shí)練習(xí)）若多邊形的邊數(shù)由3增加到n（n為大于3的正整數(shù)），則其外角和的度數(shù)（

）A．不變 B．減少 C．增加 D．不能確定【答案】A【分析】利用多邊形的外角和特征即可解決問(wèn)題．【詳解】解：因?yàn)槎噙呅瓮饨呛凸潭?60°，所以外角和的度數(shù)是不變的．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查多邊形內(nèi)角與外角的性質(zhì)，容易受誤導(dǎo)，注意多邊形外角和等于360°．2．（2021春·上海徐匯·八年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎倪呅蜛BCD，下列條件中，不能確定四邊形ABCD是平行四邊形的是（

）A．AB∥CD且AD∥BC B．AB∥CD且AB＝CDC．AB∥CD且AD＝BC D．AB∥CD且【答案】C【分析】平行四邊形的五種判定方法分別是：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．根據(jù)平行四邊形的判定逐一驗(yàn)證．【詳解】解：A．“AB∥CD且AD∥BC”是兩組對(duì)邊分別平行，可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；故本選項(xiàng)不合題意；B．“AB∥CD且AB=CD”是一組對(duì)邊平行且相等，可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；故本選項(xiàng)不合題意；C．“AB∥CD且AD=BC”不可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；故本選項(xiàng)符合題意．D．∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°．又∵∠A=∠C，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；故本選項(xiàng)不合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵．3．（2021春·上海徐匯·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用兩個(gè)完全相同的直角三角板不能拼成（

）A．等腰三角形 B．矩形 C．平行四邊形 D．梯形【答案】D【分析】?jī)蓚€(gè)完全相同的直角三角板分別按照相等直角邊拼接或斜邊拼接討論即可．【詳解】解：把完全重合的兩塊直角三角板拼成的圖形有三種情況：分別有等腰三角形，矩形，平行四邊形，不會(huì)拼成梯形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)不同形式的拼接構(gòu)成不同圖形，注意要分情況討論．4．（2021春·上海楊浦·八年級(jí)校考期中）下列命題錯(cuò)誤的是（

）．A．四條邊相等的四邊形是菱形B．兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形C．一組對(duì)角相等且一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形D．一組對(duì)角相等且一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形、菱形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A選項(xiàng)：四條邊相等的四邊形是菱形，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；B選項(xiàng)：四邊形的兩組對(duì)角分別相等，可以推出同旁內(nèi)角互補(bǔ)，進(jìn)而推出兩組對(duì)邊分別平行，說(shuō)明兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；C選項(xiàng)：一組對(duì)角相等且一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，有可能是等腰梯形，所以本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；D選項(xiàng)：一組對(duì)角相等且一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形，由已知對(duì)邊平行，可以推出一組同旁內(nèi)角互補(bǔ)，通過(guò)等量代換，得到另一組對(duì)邊形成的同旁內(nèi)角互補(bǔ)，從而另一組對(duì)邊平行，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本點(diǎn)考查平行四邊形、菱形的判定方法．平行四邊形判定：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．菱形判定：四條邊相等的四邊形是菱形；一組鄰邊相等的平行四邊形是萎形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．5．（2020秋·上?！ぐ四昙?jí)上海市第二初級(jí)中學(xué)校考期中）下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行 B．對(duì)角線互相垂直C．一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等 D．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等【答案】D【分析】由平行四邊形的判定方法即可得出答案．【詳解】解：A、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是等腰梯形，不一定是平行四邊形，故選項(xiàng)不符合題意；B、對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形，故選項(xiàng)不符合題意；C、由一組鄰邊相等，一組對(duì)角相等，不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)不符合題意；D、一組對(duì)角相等，一組對(duì)邊平行，可得到任意兩對(duì)鄰角互補(bǔ)，那么可得到兩組對(duì)邊分別平行，為平行四邊形，故選項(xiàng)符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)平行四邊形的判定定理的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．6．（2021春·上?！ぐ四昙?jí)校考期中）以下條件能判定四邊形為平行四邊形的是（

）A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等 B．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等C．一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等 D．一組對(duì)邊平行，一組鄰角互補(bǔ)【答案】B【解析】根據(jù)平行四邊形的判定方法依次分析各項(xiàng)即可判斷．【詳解】A.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，可能是梯形，故不符合題意；B.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等，可以判定是平行四邊形，故滿足題意；C.一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等，不一定是平行四邊形，故不符合題意；D.一組對(duì)邊平行，一組鄰角互補(bǔ)，也不能判定，故不符合題意；故答案選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，是平面圖形中極為重要的知識(shí)點(diǎn)，與各個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合極為容易，是中考中的熱點(diǎn)，掌握判定定理是關(guān)鍵．7．（2022春·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）下列命題中，真命題是（）A．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形B．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是矩形C．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是菱形【答案】A【詳解】解：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；A正確；C錯(cuò)誤；對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形可能是如圖：B、D錯(cuò)誤，故選A．8．（2021春·上海嘉定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（

）A．等腰梯形 B．平行四邊形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】B【分析】根據(jù)中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的概念和各圖形的特點(diǎn)即可求解．【詳解】解：中心對(duì)稱圖形，即把一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能和原來(lái)的圖形重合，A、C、D都是軸對(duì)稱圖形不符合要求；是中心對(duì)稱圖形的只有B．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．9．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)上海市進(jìn)才中學(xué)校考期中）如圖，在?ABCD中，等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，求得=，然后由平行四邊形法則求得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，即=，∴=+=．故選B．二、填空題10．（2021春·上?！ぐ四昙?jí)上海市進(jìn)才中學(xué)北校校考期中）正十二邊形的內(nèi)角和是_________________．【答案】1800°##1800度【分析】n邊形的內(nèi)角和是(n-2)?180°，把多邊形的邊數(shù)代入公式，就得到多邊形的內(nèi)角和．【詳解】解：十二邊形的內(nèi)角和等于：(12-2)?180°=1800°，故答案為：1800°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式，是需要熟記的內(nèi)容．11．（2021春·上海楊浦·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都是30°，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和等于____度．【答案】1800【詳解】多邊形的外角和等于360°，則正多邊形的邊數(shù)是360°÷30°=12，所以正多邊形的內(nèi)角和為.12．（2021春·上?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）八邊形的內(nèi)角和為_(kāi)_______度．【答案】1080【詳解】解：八邊形的內(nèi)角和=，故答案為：1080．13．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┰凇魽BCD中，若，則______度．【答案】59【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)）得出，求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再代入即可求出．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∵，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴，∴，故答案為：59．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)．14．（2021春·上海徐匯·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知平行四邊形的周長(zhǎng)是30，相鄰兩邊的長(zhǎng)相差3，則兩條鄰邊中較長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】9【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，設(shè)較長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為，則較短的邊長(zhǎng)為，根據(jù)周長(zhǎng)是30，建立一元一次方程解方程求解即可．【詳解】解：設(shè)較長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為，則較短的邊長(zhǎng)為，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·上海·八年級(jí)期末）在平行四邊形中，，則________°．【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵平行四邊形ABCD，∴∠ABC+∠BAD=180°，又∠BAD=50°，∴∠ABC=180°-50°=130°，故答案為130．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┮阎叫兴倪呅蜛BCD的周長(zhǎng)為56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm．【答案】20【分析】由?ABCD的周長(zhǎng)為56cm，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可求得AB+BC＝28cm，又由AB：BC＝2：5，即可求得答案．【詳解】解：∵?ABCD的周長(zhǎng)為56cm，∴AB+BC＝28cm，∵AB：BC＝2：5，∴AD＝BC＝×28＝20（cm）；故答案為：20．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．17．（2021春·上海普陀·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，，CE平分交AD邊于點(diǎn)E，且，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】7【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，且AD=BC，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可求得DE=DC=AB=5，則可求得AD的長(zhǎng)，可求得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD=5，AD∥BC，AD=BC，∴∠DEC=∠BCE，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠BCE，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=DC=5，∵AE=2，∴AD=BC=2+5=7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)求得DE=DC是解題的關(guān)鍵．18．（2020春·上海嘉定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知四邊形，點(diǎn)是對(duì)角線與的交點(diǎn)，且，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使得四邊形成為平行四邊形，那么添加的條件可以是_____________．（用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)）【答案】【分析】由題意OA=OC，即一條對(duì)角線平分，根據(jù)平行四邊形的判定方法，可以平分另一條對(duì)角線，也可以根據(jù)三角形全等，得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵OA=OC，由定理：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，∴可以是OB=OD（答案不唯一）．故答案為：OB=OD（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，一般有幾種方法：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，④兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，⑤兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．19．（2021春·上海浦東新·八年級(jí)?？计谥校┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，兩鄰角的度數(shù)比是7：2，那么較小角的度數(shù)為_(kāi)_____度．【答案】40【分析】本題主要依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出兩鄰角之和180°，再有兩鄰角的度數(shù)比是7：2，得出較小角的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)兩鄰角分別為，則，解得：，∴較小的角為40°．故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的兩鄰角之和為180°．20．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）以不共線的三個(gè)已知點(diǎn)為頂點(diǎn)畫平行四邊形，可以畫出_____________個(gè)平行四邊形【答案】3【分析】不在同一直線上的三點(diǎn)為、、，連接、、，分別以其中一條線段為對(duì)角線，另兩邊為平行四邊形的邊，可構(gòu)成三個(gè)平行四邊形．【詳解】解：已知三點(diǎn)為、、，連接、、，①以為平行四邊形的對(duì)角線，、為兩邊可以畫出；②以為平行四邊形的對(duì)角線，、為兩邊可以畫出；③以為平行四邊形的對(duì)角線，、為兩邊可以畫出；如圖，可構(gòu)成的平行四邊形有三個(gè)：，，．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了畫平行四邊形的方法，關(guān)鍵是首先確定平行四邊形的對(duì)角線與兩邊，再畫出圖形．【典型】一、單選題1．（2022春·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在，，，，點(diǎn)P為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，則線段的最小值為（

）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8【答案】D【分析】連接PC，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小，利用三角形面積解答即可．【詳解】解：連接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，∴四邊形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴當(dāng)PC最小時(shí)，EF也最小，即當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴PC的最小值為：∴線段EF長(zhǎng)的最小值為4.8．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是矩形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答．2．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知在四邊形中，，下列可以判定四邊形是正方形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到四邊形ABCD為矩形，再由鄰邊相等的矩形為正方形即可得證．【詳解】解：四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，能使這個(gè)四邊形是正方形的是鄰邊相等，即BC=CD，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定，熟練掌握正方形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2019春·上海浦東新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，垂足為，是中線，將沿直線BD翻折后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E，那么AE為_(kāi)________.【答案】【分析】如圖作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延長(zhǎng)線于M，BN⊥MA于N，則四邊形ANBH是矩形，先證明△ADM≌△CDB，在RT△BMN中利用勾股定理求出BM，再證明四邊形BCDE是菱形，AE=2OD，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延長(zhǎng)線于M，BN⊥MA于N，則四邊形ANBH是矩形．∵AB=AC=4，，∴CH=1，AH=NB=，BC=2，∵AM∥BC，∴∠M=∠DBC，在△ADM和△CDB中，，∴△ADM≌△CDB(AAS)，∴AM=BC=2，DM=BD，在RT△BMN中，∵BN=，MN=3，∴，∴BD=DM=，∵BC=CD=BE=DE=2，∴四邊形EBCD是菱形，∴EC⊥BD，BO=OD=，EO=OC，∵AD=DC，∴AE∥OD，AE=2OD=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，利用三角形中位線發(fā)現(xiàn)AE=2OD，求出OD即可解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．4．（2019春·上海徐匯·八年級(jí)上海市田林第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,梯形AOBC的邊AC=5，且OA//BC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)____.【答案】(5,4)或(11,4)；【分析】根據(jù)梯形的對(duì)邊平行，畫出圖形，結(jié)合勾股定理求解.【詳解】如圖，∵一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A.B，∴A(8,0),B(0,4).在梯形AOBC中，OA=8，OB=4，當(dāng)BC∥OA時(shí),設(shè)點(diǎn)C(x,4).∵AC=5，∴(x?8)+(4?0)=5，∴x=5,x=11，這時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,4)或(11,4)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,4)或(11,4)；故答案為(5,4)或(11,4)；【點(diǎn)睛】此題考查梯形，一次函數(shù)中的直線位置關(guān)系，解題關(guān)鍵在于畫出圖形.5．（2019春·上海浦東新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在梯形中，，，，，那么下底的長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】11【分析】首先過(guò)A作AE∥DC交BC與E，可以證明四邊形ADCE是平行四邊形，得CE=AD=4，再證明△ABE是等邊三角形，進(jìn)而得到BE=AB=6，從而得到答案．【詳解】解：如圖，過(guò)A作AE∥DC交BC與E，∵AD∥BC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∴AD=EC=5，AE=CD，∵AB=CD=6，∴AE=AB=6，∵∠B=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=6，∴BC=6+5=11，故答案為11.【點(diǎn)睛】此題主要考查了梯形，關(guān)鍵是掌握梯形中的重要輔助線，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線得到一個(gè)平行四邊形．6．（2019春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，E為△ABC的重心，ED＝3，則AD＝______.【答案】9【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)可求得AE=6，即可求得AD【詳解】∵E為△ABC的重心，ED＝3，∴AE＝2ED＝6，∴AD＝AE＋ED＝6＝3＝9【點(diǎn)睛】本題考查重心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握重心的性質(zhì).7．（2019春·上海長(zhǎng)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）兩條對(duì)角線______的四邊形是平行四邊形.【答案】互相平分【分析】由“兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，即可得出結(jié)論．【詳解】?jī)蓷l對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故答案為互相平分．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定；熟記“兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”是解題的關(guān)鍵．三、解答題8．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是線段AB、AD中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE、CF、EF．（1）求證：△CEF≌△AEF；（2）聯(lián)結(jié)DE，當(dāng)BD＝2CD時(shí)，求證：AD＝2DE．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【分析】(1)在直角三角形ABC中,E為斜邊AB的中點(diǎn),利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CE=AE,在直角三角形ACD中,F為斜邊AD的中點(diǎn),利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AF=CF,再由EF=EF,利用SSS即可得證;(2)由EF為三角形ABD的中點(diǎn),利用中位線定理得到EF與BD平行,EF等于BD的一半,再由BD=2DC,等量代換得到EF=CD,再由EF與CD平行,得到四邊形CEFD為平行四邊形,可得出DE=CF,再由CF=AF,等量代換得到DE=AF.【詳解】證明：（1）∵∠ACB＝90°，且E線段AB中點(diǎn)，∴CE＝AB＝AE，∵∠ACD＝90°，F(xiàn)為線段AD中點(diǎn)，∴AF＝CF＝AD，在△CEF和△AEF中，，∴△CEF≌△AEF（SSS）；（2）連接DE，∵點(diǎn)E、F分別是線段AB、AD中點(diǎn)，∴EF＝BD，EF∥BC，∵BD＝2CD，∴EF＝CD．又∵EF∥BC，∴四邊形CFEDD是平行四邊形，∴DE＝CF，∵CF＝AF＝FD，∴AD＝2DE．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),中位線定理,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及平行四邊形的判定與性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.9．（2019秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)完成下列各題：（1）寫出圖中A，B，C，D各點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）描出，，，；（3）順次連接A，B，C，D各點(diǎn)，再順次連接E，F(xiàn)，G，H，圍成的兩個(gè)封閉圖形分別是什么圖形？【答案】（1），，，；（2）見(jiàn)解析；（3）四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGH是菱形．【分析】（1）利用點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法寫出A、B、C、D各點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)的描出點(diǎn)E、F、G、H；（3）順次連接各點(diǎn)，根據(jù)正方形和菱形的特征進(jìn)行判斷.【詳解】解：，，，；如圖所示；四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGH是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握利用平面直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和在平面直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的位置的方法是解題的關(guān)鍵.10．（2019春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖四邊形ABCD是平行四邊形，P、Q是直線AC上的點(diǎn)，且AP=CQ．求證：四邊形PBQD是平行四邊形．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】證明四邊形是平行四邊形有很多種方法，此題可由對(duì)角線互相平分來(lái)得到證明．【詳解】證明：連接BD交AC與O點(diǎn)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，又∵AP=CQ，∴AP+AO=CQ+CO，即PO=QO，∴四邊形PBQD是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握．【易錯(cuò)】一．選擇題（共3小題）1．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和不可能是（）A．1800° B．540° C．720° D．810°【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）180°，即多邊形的內(nèi)角和一定是180的正整數(shù)倍，依此即可解答．【解答】解：810°不能被180°整除，一個(gè)多邊形的內(nèi)角和不可能是810°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，對(duì)于定理的理解是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022春?青浦區(qū)校級(jí)期中）一多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于它相鄰?fù)饨堑?倍，則該多邊形的邊數(shù)是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】設(shè)出外角的度數(shù)，表示出內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)一個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)外角為x，則相鄰的內(nèi)角為4x，由題意得，4x+x＝180°，∴x＝36°，多邊形的外角和為360°，360°÷36°＝10，所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為10．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的外角和定理：n邊形的外角和為360°，解決本題的關(guān)鍵是熟記多邊形的外角和為360°．3．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延長(zhǎng)線于E，EF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于F，下列結(jié)論：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)已知利用等腰梯形的性質(zhì)對(duì)各個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析從而得出最后的答案．【解答】解：根據(jù)四邊形ABCD是等腰梯形，可得出的條件有：AC＝BD，∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠OCD（可通過(guò)全等三角形ABD和BAC得出），OA＝OB，OC＝OD，∠ACB＝∠ADB＝90°（三角形ACB和BDA全等）．①要證BD∥EF就要得出∠ADB＝∠EFD，而∠ADB＝90°，∠EFD＝90°，因此∠ADB＝∠EFD，此結(jié)論成立；②由于BD∥EF，∠AEF＝∠AOD，而∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB，因此∠AEF＝2∠OAB，此結(jié)論成立．③在直角三角形ABE中，∠OAB＝∠OBA，∠OAB+∠OEB＝∠OBA+∠OBE＝90°，因此可得出∠OEB＝∠OBE，因此OA＝OB＝OE，那么O就是直角三角形ABE斜邊AE的中點(diǎn)，由于OD∥EF，因此OD就是三角形AEF的中位線，那么D就是AF的中點(diǎn)，因此此結(jié)論也成立．④由③可知EF＝2OD＝2OC，而OA＝OE＝OC+CE．那么AC＝OA+OC＝OC+OC+CE＝2OC+CE＝EF+CE，因此此結(jié)論也成立．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)．根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出的角和邊相等是解題的基礎(chǔ)．二．填空題（共6小題）4．（2022春?靜安區(qū)期中）如圖，正方形ABCD中，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CA，AE交CD于F，那么∠AFD＝67.5°．【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)得∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，得到∠ACB＝45°，再根據(jù)外角的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)得∠E＝22.5°，從而進(jìn)一步得出∠AFD＝∠CFE＝67.5°．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∴∠E＝22.5°，∵∠DCE＝90°，∴∠CFE＝67.5°，∵∠AFD＝∠CFE＝67.5°，故答案為：67.5°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．5．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，則從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有5條對(duì)角線．【分析】首先設(shè)這個(gè)多邊形有n條邊，由題意得方程（n﹣2）×180＝360×2，再解方程可得到n的值，然后根據(jù)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n﹣3）條對(duì)角線可得答案．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形有n條邊，由題意得：（n﹣2）×180＝360×3，解得n＝8，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是8﹣3＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和外角，以及對(duì)角線，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式．6．（2022春?青浦區(qū)校級(jí)期中）四邊形ABCD是正方形，在直線AB上取一點(diǎn)E，使得AE＝AC，則∠CEB的度數(shù)是22.5或67.5度．【分析】分兩種情況畫圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，分兩種情況畫圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，①∵AE＝AC，∴∠CEB＝∠ACE＝×45°＝22.5°；②∵AE′＝AC，∴∠CE′B＝∠ACE＝（180°﹣45°）＝67.5°．則∠CEB的度數(shù)是22.5或67.5度．故答案為：22.5或67.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)．7．（2022春?徐匯區(qū)期末）定義：如果一個(gè)凸四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，那么稱這個(gè)凸四邊形為“等腰四邊形”，把這條對(duì)角線稱為“界線”，已知在“等腰四邊形”ABCD中，AB＝BC＝AD，∠BAD＝90°，且AC為界線，則∠BCD的度數(shù)為135°或90°或45°．【分析】由AC是四邊形ABCD的等腰線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖1，圖2，圖3三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)．【解答】解：∵AC是四邊形ABCD的界線，∴△ACD是等腰三角形．∵AB＝AD＝BC，如圖1，當(dāng)AD＝AC時(shí)，∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC∴△ABC是正三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°．∵∠BAD＝90°，∴∠CAD＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°∴∠BCD＝60°+75°＝135°．如圖2，當(dāng)AD＝CD時(shí)，∴AB＝AD＝BC＝CD．∵∠BAD＝90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°如圖3，當(dāng)AC＝CD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于F，∵AC＝CD．CE⊥AD，∴AE＝AD，∠ACE＝∠DCE．∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四邊形ABFE是矩形．∴BF＝AE．∵AB＝AD＝BC，∴BF＝BC，∴∠BCF＝30°．∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC．∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCF＝15°，∴∠BCD＝15°×3＝45°．綜上，∠BCD的度數(shù)為135°或90°或45°．故答案為：135°或90°或45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“等腰四邊形”的定義和性質(zhì)的運(yùn)用，“等腰四邊形”的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，30°的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答如圖3這種情況容易忽略，解答時(shí)合理運(yùn)用分類討論思想是關(guān)鍵．8．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17，則CD的長(zhǎng)是8或24．【分析】分兩種情況畫圖：①過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，再根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得CD的長(zhǎng)；②過(guò)點(diǎn)C作BE⊥CD于E，再根據(jù)勾股定理求出CE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得CD的長(zhǎng)．【解答】解：①如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，得四邊形DAEC為矩形，∴CE＝AD＝15，CD＝AE，在Rt△ABE中，BC＝17，根據(jù)勾股定理，得BE＝＝＝8，∴AE＝AB﹣BE＝16﹣8＝8，∴CD＝8；②如圖，過(guò)點(diǎn)C作BE⊥CD于E，得四邊形ADEB為矩形，∴BE＝AD＝15，DE＝AB＝16，在Rt△CBE中，BC＝17，根據(jù)勾股定理，得CE＝＝＝8，∴CD＝DE+CE＝16+8＝24，綜上所述：CD的長(zhǎng)為8或24．故答案為：8或24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角梯形，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想畫圖解答．9．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長(zhǎng)為+3．【分析】根據(jù)陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，得出陰影部分的面積為6，空白部分的面積為3，進(jìn)而依據(jù)△BCG的面積以及勾股定理，得出BG+CG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出其周長(zhǎng)．【解答】解：∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，∴陰影部分的面積為×9＝6，∴空白部分的面積為9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，設(shè)BG＝a，CG＝b，則ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周長(zhǎng)＝+3，故答案為：+3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形面積問(wèn)題．解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．三．解答題（共2小題）10．（2022春?青浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD中，AB＝DC，將對(duì)角線AC向兩端分別延長(zhǎng)至點(diǎn)E，F(xiàn)，使AE＝CF．連接BE，DF，若BE＝DF．證明：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】先根據(jù)SSS證出△BEA≌△DFC，從而得到∠EAB＝∠FCD，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠BAC＝∠DCA，從而得到AB∥DC，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求證四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】證明：在△BEA和△DFC中，∴△BEA≌△DFC（SSS），∴∠EAB＝∠FCD，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥DC，∵AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵在于先通過(guò)全等三角形證出AB∥CD．11．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD，邊長(zhǎng)AB＝6，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，且BF＝2FC，點(diǎn)P在線段CD上，連接PE、EF、PF．（1）若△PEF為等腰三角形，求PC的長(zhǎng)度；（2）若EF平分∠BEP，求PC的長(zhǎng)度．【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)可得EF＝5，設(shè)PC＝x，所以PF＝，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，得矩形ADPG，若△PEF為等腰三角形分3種情況：①EF＝PF，②EF＝PE，③PE＝PF，然后利用勾股定理即可解決問(wèn)題；（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥PE于點(diǎn)H，證明Rt△BEF≌Rt△HEF（HL），可得BF＝HF＝4，設(shè)PC＝x，然后利用勾股定理即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）正方形ABCD中，∵AB＝6，E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝3，∵BF＝2FC，∴BF＝4，F(xiàn)C＝2，∴EF＝＝5，設(shè)PC＝x，∴PF＝＝，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，得矩形ADPG，∴AG＝DP＝DC﹣PC＝6﹣x，∴GE＝AE﹣AG＝3﹣（6﹣x）＝x﹣3，∴PE＝＝，∵△PEF為等腰三角形，∴分3種情況：①EF＝PF，∴5＝，解得x＝（負(fù)值舍去）；②EF＝PE，∴5＝，解得此方程無(wú)解；③PE＝PF，∴＝，解得x＝，＞6，點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上，不符合題意，舍去．綜上所述：PC的長(zhǎng)度為；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥PE于點(diǎn)H，∵EF平分∠BEP，∴EH＝BE＝3，在Rt△BEF和Rt△HEF中，∴Rt△BEF≌Rt△HEF（HL），∴BF＝HF＝4，設(shè)PC＝x，∴PF＝＝，∵AG＝DP＝DC﹣PC＝6﹣x，∴GE＝AE﹣AG＝3﹣（6﹣x）＝x﹣3，∴PE＝＝，∴HP＝PE﹣EH＝﹣3，在Rt△HPF中，根據(jù)勾股定理得：HP2+FH2＝PF2，∴（﹣3）2+42＝（）2，解得x＝．∴PC的長(zhǎng)度為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是分類討論思想的靈活運(yùn)用．【壓軸】一、填空題1．（2021春·上海松江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將矩形的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)無(wú)縫隙重疊的四邊形，若，，則邊的長(zhǎng)是____．【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得∠HEF=90°，EA=EB=3，證明△HNG≌△FME，求出HF，設(shè)AH=x，在△AEH，△BEF和△EFH中，利用勾股定理列出方程，求出x，即可得到EH．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，由折疊可知：△EAH≌△EMH，△HNG≌△HDG，△FBE≌△FME，∴EA=EM，AH=MH，HD=HN，EB=EM，F(xiàn)B=FM，∠AEH=∠MEH，∠BEF=∠MEF，∠BME=∠B=90°，∠HNG=∠D=90°，∴EA=EB=AB=3，∵∠AEH+∠MEH+∠BEF+∠MEF=180°，∴2∠MEH+2∠MEF=180°，∴∠HEF=90°，同理可知：∠EHG=∠EFG=∠HGF=90°，∴四邊形EHGF是矩形，∴HG∥FE，HG=FE，∴∠GHN=∠EFM，在△HNG和△FME中，，∴△HNG≌△FME（AAS），∴HN=FM，∴HD=FM，∴HF=HM+FM=AH+HD=AD=10，設(shè)AH=x，則HD=FM=FB=10-x，∵，，，∴，即，解得：x=1或x=9（舍），∴AH=1，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用勾股定理列出方程是本題的關(guān)鍵．2．（2021春·上海松江·八年級(jí)?？计谥校┮淮魏瘮?shù)的圖像與軸分別用交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線上，點(diǎn)D是直角坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若四邊形ABCD是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)__________．【答案】或【分析】先求出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，從而可得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得出點(diǎn)B至點(diǎn)C的平移方式和點(diǎn)A至點(diǎn)D的平移方式相同，由此即可得．【詳解】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為對(duì)于當(dāng)時(shí)，，解得，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為點(diǎn)C在直線上設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為當(dāng)四邊形ABCD是菱形，則由兩點(diǎn)之間的距離公式得：解得或（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為點(diǎn)B至點(diǎn)C的平移方式為先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度點(diǎn)A至點(diǎn)D的平移方式和點(diǎn)B至點(diǎn)C的平移方式相同則此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為點(diǎn)B至點(diǎn)C的平移方式為先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度點(diǎn)A至點(diǎn)D的平移方式和點(diǎn)B至點(diǎn)C的平移方式相同則此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式、一次函數(shù)、菱形的性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)的平移變換規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)菱形的性質(zhì)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．3．（2019春·上海普陀·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在等腰梯形中，，，對(duì)角線，垂足為，若，，梯形的高為_(kāi)_____．【答案】【分析】過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，構(gòu)造．首先求出是等腰直角三角形，從而推出與的關(guān)系．【詳解】解：如圖：過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，過(guò)作于．，，四邊形是平行四邊形，，，等腰梯形中，，，，，，是等腰直角三角形，，又，，即梯形的高為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形性質(zhì)，作對(duì)角線的平行線將上下底和對(duì)角線移到同一個(gè)三角形中是解題的關(guān)鍵，也是梯形輔助線常見(jiàn)作法．4．（2019春·上?！ぐ四昙?jí)上海市婁山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，以正方形的對(duì)角線為邊作等邊三角形，過(guò)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，和的度數(shù)之比是__________．【答案】2：1【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，即可證明，可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角的和差關(guān)系求解即可．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴∵三角形BED是等邊三角形∴，在△AED和△AEB中∴∴∴∴∴∵∴∴∴∴故答案為：2：1．【點(diǎn)睛】本題考查了角的度數(shù)問(wèn)題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且△AEF是等邊三角形，AB＝AE，則∠B＝_____．【答案】80°．【分析】先利用等邊三角形和菱形的性質(zhì)有，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出,設(shè)∠B＝x，表示出最后利用∠BAE+∠EAF+∠FAD＝∠BAD即可求得∠B的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，△AEF是等邊三角形，．∵AB＝AE，∴AF＝AD，∴，設(shè)∠B＝x，則∠BAD＝180°﹣x，∠BAE＝∠DAF＝180°﹣2x，又∵∠BAE+∠EAF+∠FAD＝∠BAD即，解得x＝80°，故答案為：80°【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形和等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，一元一次方程的應(yīng)用，掌握菱形和等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和利用方程的思想是解題的關(guān)鍵．二、解答題6．（2020秋·上?！ぐ四昙?jí)上海市第二初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB和直線BC相交于點(diǎn)，直線AB與y軸相交于點(diǎn)A，直線BC與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)C．(1)求直線AB的解析式．(2)過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交x軸于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在x軸的上方，如果以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積等于三角形ABC的面積．①求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．②畫出所有情況并直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)y=x+4(2)（2，0）(3)①P（-2，2）；②畫見(jiàn)解析，Q1（1，2），Q2（-5，2），Q3（3，-2）【分析】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)A，B的直線，求得b，k而求得直線解析式；（2）首先設(shè)過(guò)點(diǎn)A且平行于直線BC的直線為y=kx+c，則可求得k的值，所求直線后代入點(diǎn)A，求得c則得到直線；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，求得點(diǎn)P的有關(guān)坐標(biāo)，求得△ABC面積，代入點(diǎn)P而求得點(diǎn)P，進(jìn)而求得點(diǎn)Q．（1）解：設(shè)直線AB為y=kx+b，代入點(diǎn)B，A，則，解得b=4，k=1，∴直線AB為y=x+4；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A且平行于直線BC的直線為y=kx+c，根據(jù)題意得：k=＝?2，則直線AE的直線為y=-2x+c，則代入點(diǎn)A得c=4，則直線AE為y=-2x+4，則點(diǎn)E為（2，0）；（3）①∵點(diǎn)D（-1，0）、點(diǎn)B（-2，2），設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，則，解得：，∴直線BD的解析式為：y=-2x-2，∴點(diǎn)C（0，-2），∴AC=6，∴S△ABC=×6×2=6，∵DE=2-（-1）=3，∴以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的高為6÷3=2，∵點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)且在x軸的上方，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，∴2=x+4，∴x=-2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2）；②若點(diǎn)Q在x軸上方，則PQ∥DE，且PQ=DE，此時(shí)點(diǎn)Q1（1，2），Q2（-5，2）；若點(diǎn)Q在x軸下方，則Q3（3，-2）；∴Q1（1，2），Q2（-5，2），Q3（3，-2）．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的運(yùn)用，考查了過(guò)兩點(diǎn)確定一條直線，考查了知道直線斜率和一點(diǎn)求直線，直線間的交點(diǎn)，形成四邊形而求面積．7．（2021春·上?！ぐ四昙?jí)上海市第四中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求直線的解析式；（2）以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作，射線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，射線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)．當(dāng)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，的值是否發(fā)生變化，若不變，求出它的值；若變化，求出它的變化范圍；（3）如圖2，點(diǎn)是軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)．若、、、四點(diǎn)能構(gòu)成菱形，請(qǐng)寫出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)（不要解題過(guò)程）．【答案】（1）y＝?x＋2；（2）OC?OD的值不發(fā)生變化，值為8；（3）（?8，2），（2，-2），（-2，-2），（，6）【分析】（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；（2）過(guò)A分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為E、F，可證明△AEC≌△AFD，可得到EC＝FD，從而可把OC?OD轉(zhuǎn)化為FD?OD，再利用線段的和差可求得OC?OD＝OE＋OF＝8；（3）分AM為對(duì)角線、AB為對(duì)角線和BM為對(duì)角線，分別利用菱形的性質(zhì)，畫出圖形，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而即可求出P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx＋b（k≠0）．∵點(diǎn)A（?4，4），點(diǎn)B（0，2）在直線AB上，∴，解得，∴直線AB的解析式為：y＝?x＋2；（2）不變．理由如下：過(guò)點(diǎn)A分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，如圖．則∠AEC＝∠AFD＝90°，又∵∠BOC＝90°，∴∠EAF＝90°，∴∠DAE＋∠DAF＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠DAE＋∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠DAF．∵A（?4，4），∴OE＝AF＝AE＝OF＝4．在△AEC和△AFD中，∴△AEC≌△AFD（ASA），∴EC＝FD．∴OC?OD＝（OE＋EC）?（FD?OF）＝OE＋OF＝8．故OC?OD的值不發(fā)生變化，值為8；（3）①AM為對(duì)角線時(shí)，連接BP交AM于點(diǎn)H，連接PA、PM，如圖，∵四邊形ABMP為菱形，∴PB⊥AM，且AH＝HM，PH＝HB，∵∵A（?4，4），B（0，2），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（?8，2）；②BM為對(duì)角線時(shí)，如圖，設(shè)M（m，0），∵四邊形ABPM為菱形，∴AM=AB，即：，解得：m=-6或-2，∴M（-6，0）或（-2，0），∴P（2，-2）或（-2，-2）；③AB為對(duì)角線時(shí)，如圖，∵四邊形AMBP為菱形，∴AM=BM，即：，解得：m=，∴M（，0），∴P（，6）；綜上可知滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?8，2），（2，-2），（-2，-2），（，6）．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)及分類討論思想等．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．8．（2021春·上海普陀·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AQ與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)Q，∠QAO＝45°，直線AQ在y軸上的截距為2，直線BE：y＝﹣2x+8與直線AQ交于點(diǎn)P．（1）求直線AQ的表達(dá)式；（2）在y軸上取一點(diǎn)F，當(dāng)四邊形BPFO為是梯形時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)D為直角坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，如果以Q、P、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x+2；（2）F（0，4）；（3）（6，2）或（2，﹣2）或（﹣2，6），見(jiàn)解析．【分析】（1）求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得；（2）四邊形BPFO為是梯形，則，聯(lián)立兩直線解析式求得點(diǎn)P坐標(biāo)，即可求解；（3）分別以當(dāng)PD//QB和BD//QP、當(dāng)PB//QD和PQ//BD、當(dāng)PD//BQ和PB//DQ三種情況進(jìn)行分類討論即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵直線AQ在y軸上的截距為2，∴OQ＝2．∵∠QAO＝45°，OA⊥OQ，∴OA＝OQ＝2．∴A（﹣2，0）．設(shè)直線AQ的表達(dá)式為y＝kx+2，∴0＝﹣2k+2．∴k＝1．∴直線AQ的表達(dá)式為：y＝x+2．（2）在y軸上取一點(diǎn)F，當(dāng)四邊形BPFO為是梯形時(shí)，如圖：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OB于點(diǎn)C，∵四邊形BPFO為是梯形，∴PF//OB．∴P，F(xiàn)兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同．解方程組得：．∴P（2，4）．∴F（0，4）．（3）如果以Q、P、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分三種情況：當(dāng)PD//QB時(shí)，如圖，對(duì)于y＝﹣2x+8，令y＝0，則x＝4．∴B（4，0）．∴OB＝4．過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，過(guò)P作PG⊥y軸于G，∵四邊形PQBD是平行四邊形，∴BD//PQ，BD＝PQ．∴∠DBH＝∠QAO＝45°．∵∠GQP＝∠AQO＝45°，∴∠DBH＝∠GQP．∵PG⊥GQ，DH⊥BH，∴∠PGQ＝∠DHB＝90°．∴△PGQ≌DHB（AAS）．∴PG＝DH．∵OG＝PC＝4，OQ＝2，∴QG＝4﹣2＝2．∴BH＝DH＝QG＝2．∴OH＝4+2＝6．∴D（6，2）．當(dāng)PB//QD時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，∵P（2，4），∴OC＝2，PC＝4．∵四邊形PBDQ是平行四邊形，∴PB//QD，PB＝QD．∴∠BPC＝∠DQG．∵PC⊥BC，DG⊥QG，∴∠PCB＝∠QGD＝90°．∴△PCB≌△QGD（AAS）．∴GD＝BC＝2，QG＝PC＝4．∵OQ＝2，∴OG＝4﹣2＝2．∴D（2，﹣2）．當(dāng)PD//BQ時(shí)，如圖，過(guò)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，∵P（2，4），∴OC＝2，PC＝4．∵四邊形PDQB是平行四邊形，∴DQ//PB，PB＝QD．∴∠BPC＝∠DQG．∵PC⊥BC，DG⊥QG，∴∠PCB＝∠QGD＝90°．∴△PCB≌△QGD（AAS）．∴GD＝BC＝2，QG＝PC＝4．∵OQ＝2，∴OG＝4+2＝6．∴D（﹣2，6）．綜上，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，2）或（2，﹣2）或（﹣2，6）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式以及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求直線的解析式；（2）設(shè)的面積為，求當(dāng)時(shí)，與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系；（3）在動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)是矩形內(nèi)（包括邊界）一點(diǎn)，且以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，直接寫出值和與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）y=-x+6；（2）S=﹣+t；（3）t的值為或24-12，點(diǎn)H坐標(biāo)為（，）或（，6）【分析】（1）先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求直線AB的解析式；（2）先求出點(diǎn)E坐標(biāo)，再利用三角形面積公式可求解；（3）分兩種情況討論，利用菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）∵矩形AOBC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，6），∴OA=BC=6，OB=AC=2，∴點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（2，0）設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b，∴解得：，∴直線AB的解析式為：y=-x+6；（2）∵點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，∴AP=BQ=t，∴OP=6-t，∵PE⊥AO，∴點(diǎn)E縱坐標(biāo)為6-t，∴6-t=﹣x+6，x=，∴點(diǎn)E（，6-t），Q到直線PE的距離為6－2t，∴當(dāng)0＜t＜3時(shí)，S=×（6-2t）∴S=﹣+t；（3）如圖，當(dāng)四邊形EHBQ是菱形時(shí)，延長(zhǎng)PE交BC于F，∵AB=，∴OB=AB，∴∠BAO=30°，∵AO∥BC，PE⊥AO，∴∠ABC=∠BAO=30°，PE⊥BC，∵四邊形EHBQ是菱形，∴BQ=EQ=t，EH∥BQ，∴∠QEB=∠EBQ=30°，∴∠FEQ=30°，∴FQ=EQ=t，∴BC=t+t+t=6，∴t=，∴BQ=EH=，∴點(diǎn)E（，），∴點(diǎn)H（，）如圖，若四邊形EHQB是菱形，延長(zhǎng)PE交BC于F，∵四邊形EHQB是菱形，∴BE=BQ=t，EH∥BQ，∵∠ABC=30°，EF⊥BC，∴BE=2E