湖南省衡陽市祁東縣第三中學2021年高一數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

湖南省衡陽市祁東縣第三中學2021年高一數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設是某港口水的深度y（米）關于時間t（時）的函數(shù)，其中．下表是該港口某一天從0時至24時記錄的時間t與水深y的關系：

t03691215182124y1215．112．19．111．914．911．98．912．1

經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖像可以近似地看成函數(shù)的圖像．下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應關系的函數(shù)是（）（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A2.設a，b，c為△ABC中的三邊長，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.參考答案：B【分析】由，則，再根據(jù)三角形邊長可以證得，再利用不等式和已知可得，進而得到，再利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，即可求解．【詳解】由題意，記，又由，則，又為△ABC的三邊長，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨設，且為的三邊長，所以．令，則，當時，可得，從而，當且僅當時取等號．故選：B．【點睛】本題主要考查了解三角形，綜合了函數(shù)和不等式的綜合應用，以及基本不等式和導數(shù)的應用，屬于綜合性較強的題，難度較大，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于難題．3.已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，4}，則?UA=（）A．{5，6} B．{1，2，3，4} C．{2，5，6} D．{2，3，4，5，6}參考答案：C【考點】補集及其運算．【專題】計算題．【分析】根據(jù)全集U，以及A，求出A的補集即可．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，4}，∴?UA={2，5，6}．故選C【點評】此題考查了補集及其運算，熟練掌握補集的定義是解本題的關鍵．4.函數(shù)的值域是

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.若變量x，y滿足約束條件，則2x+y的最大值是（）A．2B．4C．7D．8參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】本題考查的知識點是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據(jù)已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域，再用角點法，求出目標函數(shù)的最大值．【解答】解：滿足約束條件的可行域如下圖中陰影部分所示：∵目標函數(shù)Z=2x+y，∴ZO=0，ZA=4，ZB=7，ZC=4，故2x+y的最大值是7，故選：C6.函數(shù)圖像不過第二象限，則m的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A7.《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一．書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，問最小1份是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.下列函數(shù)中，周期為且圖象關于直線對稱的是A B C D 參考答案：C略9.函數(shù)的定義域是（）A．（1，+∞） B．（1，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）參考答案：B【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，然后求解對數(shù)不等式得答案．【解答】解：由=，得0＜x﹣1≤1，即1＜x≤2．∴函數(shù)的定義域是（1，2]．故選：B．10.已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f:x→y＝ax＋b，若4和10的原象分別對應是6和9，則19在f作用下的象為()A.18 B.30 C. D.28參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正三棱柱的所有棱長都等于，且各頂點都在同一球面上，則此球的表面積等于__________．參考答案：解：由題意可知：正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，底面中心到頂點的距離為：；所以外接球的半徑為：．所以外接球的表面積為：．故答案為．12.如果，則=___________；參考答案：13513.下列說法正確的是

．（只填正確說法的序號）①若集合，，則；②函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；③若函數(shù)在，都是單調(diào)增函數(shù)，則在上也是增函數(shù)；④函數(shù)是偶函數(shù)．參考答案：③④14.方程sinx=lgx的解的個數(shù)為

．參考答案：3【考點】57：函數(shù)與方程的綜合運用．【分析】此題關鍵在于畫出函數(shù)的圖象，特別要注意y=lgx過點（10，1）與y=sinx的最大值為1；結(jié)合圖象易知答案．【解答】解：畫出函數(shù)y=sinx和y=lgx的圖象，結(jié)合圖象易知這兩個函數(shù)的圖象有3交點．【點評】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎題．15.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

．參考答案：16.若方程2x+x﹣5=0在區(qū)間（n，n+1）上有實數(shù)根，其中n為正整數(shù)，則n的值為．參考答案：1【考點】函數(shù)零點的判定定理．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】方程2x+x﹣5=0在區(qū)間（n，n+1）上有實數(shù)根可化為函數(shù)f（x）=2x+x﹣5在區(qū)間（n，n+1）上有零點，從而由零點的判定定理求解．【解答】解：方程2x+x﹣5=0在區(qū)間（n，n+1）上有實數(shù)根可化為函數(shù)f（x）=2x+x﹣5在區(qū)間（n，n+1）上有零點，函數(shù)f（x）=2x+x﹣5在定義域上連續(xù)，f（1）=2+1﹣5＜0，f（2）=4+2﹣5＞0；故方程2x+x﹣5=0在區(qū)間（1，2）上有實數(shù)根，故n的值為1；故答案為：1．【點評】本題考查了方程的根與函數(shù)的零點的關系應用，屬于基礎題．17.已知，則___________.參考答案：；【分析】把已知式平方可求得，從而得，再由平方關系可求得．【詳解】∵，∴，即，∴，即,∴.故答案為．【點睛】本題考查同角三角函數(shù)關系，考查正弦的二倍角公式，在用平方關系求值時要注意結(jié)果可能有正負，因此要判斷是否只取一個值．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=cos2x+asinx﹣a2+2a+5（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的最大值；（2）若函數(shù)f（x）有最大值2，試求實數(shù)a的值．參考答案：考點：三角函數(shù)的最值．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用；三角函數(shù)的求值．分析：（1）由a=1，化簡可得f（x）=﹣sin2x+sinx+7，從而解得f（x）≤；（2）y=﹣sin2x+asinx﹣a2+2a+6，令sinx=t，t∈，有y=﹣t2+at﹣a2+2a+6，對稱軸為t=，討論即可求得a的值．解答：解：（1）∵a=1∴f（x）=﹣sin2x+asinx﹣a2+2a+6=﹣sin2x+sinx+7∴可解得：f（x）≤（2）y=﹣sin2x+asinx﹣a2+2a+6，令sinx=t，t∈y=﹣t2+at﹣a2+2a+6，對稱軸為t=，當＜﹣1，即a＜﹣2時，是函數(shù)y的遞減區(qū)間，ymax=y|t=﹣1=﹣a2+a+5=2得a2﹣a﹣3=0，a=，與a＜﹣2矛盾；當＞1，即a＞2時，是函數(shù)y的遞增區(qū)間，ymax=y|t=1=﹣a2+3a+5=2得a2﹣3a﹣3=0，a=，而a＞2，即a=；當﹣1≤≤1，即﹣2≤a≤2時，ymax=y=﹣a2+2a+6=2得3a2﹣8a﹣16=0，a=4，或﹣，而﹣2≤a≤2，即a=﹣；∴a=﹣，或．點評：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，一元二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于基本知識的考查．19.設函數(shù)g（x）=3x，h（x）=9x（1）解方程：h（x）﹣24g（x）﹣h（2）=0；（2）令，求的值；（3）若是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且f（h（x）﹣1）+f（2﹣k?g（x））＞0對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)k的取值范圍參考答案：解：（1）h（x）﹣24g（x）﹣h（2）=0，∴9x﹣24×3x﹣81=0，∴3x=27，x=3；（2）令=，∴p（1﹣x）=，∵p（x）+p（1﹣x）=+=1，∴=1006+p（）=；（3）因為是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，所以，解得a=﹣3，b=1，經(jīng)檢驗符合題意，從而，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知：f（x）在實數(shù)集R上單調(diào)遞增．由f（h（x）﹣1）+f（2﹣k?g（x））＞0得f（h（x）﹣1）＞﹣f（2﹣k?g（x）），又因為f（x）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，所以f（h（x）﹣1）＞f（k?g（x）﹣2）又因為f（x）在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，所以h（x）﹣1＞k?g（x）﹣2，即32x﹣1＞k?3x﹣2對任意的x∈R都成立，即對任意的x∈R都成立，令≥2，∴k＜2．考點：函數(shù)恒成立問題．專題：綜合題；轉(zhuǎn)化思想；換元法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：（1）整理可得9x﹣24×3x﹣81=0，解二次方程得3x=27，進而求出x值；（2）求出=，發(fā)現(xiàn)題中所求自變量值和等于1，探索p（x）+p（1﹣x）=+=1，進而得出=1006+p（）=；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性得出32x﹣1＞k?3x﹣2對任意的x∈R都成立，轉(zhuǎn)換為恒成立問題進行求解．解答：解：（1）h（x）﹣24g（x）﹣h（2）=0，∴9x﹣24×3x﹣81=0，∴3x=27，x=3；（2）令=，∴p（1﹣x）=，∵p（x）+p（1﹣x）=+=1，∴=1006+p（）=；（3）因為是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，所以，解得a=﹣3，b=1，經(jīng)檢驗符合題意，從而，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知：f（x）在實數(shù)集R上單調(diào)遞增．由f（h（x）﹣1）+f（2﹣k?g（x））＞0得f（h（x）﹣1）＞﹣f（2﹣k?g（x）），又因為f（x）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，所以f（h（x）﹣1）＞f（k?g（x）﹣2）又因為f（x）在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，所以h（x）﹣1＞k?g（x）﹣2，即32x﹣1＞k?3x﹣2對任意的x∈R都成立，即對任意的x∈R都成立，令≥2，∴k＜2．點評：考查了利用換元法解不等式，利用條件，找出題中的等量關系，恒成立問題20.設集合，，當時，求參考答案：

當時，可知，，此時，滿足題意………………….11分

∴

綜上所述，的值為－3………12分21.（本小題滿分14分）經(jīng)統(tǒng)計，某校學生上學路程所需要時間全部介于0與50之間（單位：分鐘）?，F(xiàn)從在校學生中隨機抽取100人，按上學所需時間分組如下：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖。（Ⅰ）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的值；（Ⅱ）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6人參與交通安全問卷調(diào)查，應從這三組中各抽取幾人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若從這6人中隨機抽取2人參加交通安全宣傳活動，求第4組至少有1人被抽中的概率。參考答案：（Ⅰ）解：因為（0.005+0.01++0.03+0.035） 【2分】所以。 【3分】

（Ⅱ）解：依題意，第3組的人數(shù)為，第4組的人數(shù)為，第5組的人數(shù)，所以這三組共有60人。 【4分】利用分層抽樣的方法從這60人中抽取6人，抽樣比為。 【5分】所以在第3組抽取的人數(shù)為，在第4組抽取的人數(shù)為，在第5組抽取的人數(shù)為。 【8分】

（Ⅲ）解：記第3組的3人為，第4組的2人為第5組的1人為。從6人中抽取2人的所有情形為：（）,（）,（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），共15種可能。 【11分】其中第4組的2人中，至少有1人被抽中的情形為：（），（），（），（），（），（），（），（），（），共9種可能。 【13分】所以，第4組至少有1人被抽中的概率為。 【14分】

22.（12分）中國國家主席習近平在2013年提出共建絲綢之路經(jīng)濟帶和21世紀海上絲綢之路的重要合作倡議，3年來，“一帶一路”建設進展順利，成果豐碩，受到國際社會的廣泛歡迎和高度評價，某地區(qū)在“一帶一路”項目開展之前屬于欠發(fā)達區(qū)域，為了解“一帶一路”項目開展以后對居民的收入情況的影響．前期對居民的月收入情況調(diào)查了10000人，并所得數(shù)據(jù)畫了樣本頻率分布直方圖，每個分組包含左端點，不包含右端點．（1）求居民朋收入在[3000，4000）的頻率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)．

參考答案：【考點】頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】（1）利用頻率分布直方圖能求出居民月收入在[3000，4000）的頻率．（2）利用頻率分布直方圖能求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)．【解答】解：（1）居民月收入在[