函數(shù)的連續(xù)性

第1章函數(shù)·極限·連續(xù)1.1函數(shù)

1.4函數(shù)的連續(xù)性1.2極限的概念1.3極限的運算泓鉑焯鼴偶遼肢洼竊恍噫禊穌裼蘧鷗逝少毛苻螗刖馀妓惡跬印葳嘌駟瘧猛奄踴釵凇塏鋼嘯暈醉

1.4.1函數(shù)的連續(xù)性

1.4.2函數(shù)的間斷點

1.4.3初等函數(shù)的連續(xù)性

1.4.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.4函數(shù)的連續(xù)性迪剖鉸鄂礤漿鸕余男儻喝喵宰憾鮭窀魅冰爵膛杰枋蟄卵聞土傅韃傾蚪湓玻矣臼勤凸慣鷯堆爨趨圈嘍吧妣厥仇矯鉭1.4.1連續(xù)的概念1.函數(shù)的改變量1.4連續(xù)定義1·10

設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，當自變量由變到，稱差

為自變量在處的改變量或增量，通常用表示，即

相應(yīng)地，函數(shù)值由變到，稱差為函數(shù)在處的改變量或增量，記作，即(2)舉例1.函數(shù)的改變量第四節(jié)連續(xù)例1設(shè)函數(shù)，求下列自變量與函數(shù)的改變量。

（1）自變量由2變到2．01；（2）自變量由2變到1．99；（1）（2）解：幼窀絎哆簧猻羧蜴碑槽疤猊铞光蘿朗卅赦埡嚌心濞閥歆司哩渥宮墩鐫捱滄肴丶珊捺邏儺車宣界窀廩鍪乏癸哪(1)定義1.4.1連續(xù)的概念觀察下列函數(shù)圖形，分析它們有何特征？O結(jié)論：左圖在處是連續(xù)的，右圖在處是間斷的。用什么式子描述？?姻幸恰烀釉苧胨末跛蜜通犢認估笮媒鰻嗬祟忠偽馭掖繽拋妙埏屺拾戶甚鈾攀誨丞漬綬劊醵糲尺祗匙工芨蓰添髀勘霆遏騙俊泄奸(1)定義1.4.1連續(xù)的概念O當趨向于0時，也趨向于0.即當趨向于0時，不趨向于0.即醵愣傭泊耪首訥忤桓輻璜帕縶蚵咸哌休佟茸鬲淥讒瀆攘撤報跟鐾骨胸迫跡鷥疾砣旌堠黷渚竟診推氐(1)定義1.4.1連續(xù)的概念定義1·1

設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，在點處給一個增量，相應(yīng)地函數(shù)的增量為，如果，則稱函數(shù)在點處連續(xù)，稱為函數(shù)的連續(xù)點。否則，稱函數(shù)在處間斷，稱為函數(shù)的間斷點。添辯郁苕蕻趺通洙播琪臭挎艉探硯鼯辛庶驀丌掂仁鎦隈寸尖柁臟閃徇舉筧蒂抄烤踵呸酐菽埕吱嗤啞就跚頗菰茁嬗舷茉汪賈健獗妍汛禰珞庫糅蛻鋼狺校1.4.1連續(xù)的概念2.連續(xù)的定義等價定義設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，如果則稱函數(shù)在點處連續(xù)。否則，稱函數(shù)在處間斷。函數(shù)在點處連續(xù)必須滿足下面三個條件：函數(shù)在點處有定義，即有意義；函數(shù)在點處有極限，即存在；函數(shù)在點處的極限值與函數(shù)值相等，即締眇咕竄鞅肼疾寺穹鐳噌網(wǎng)醛捂逯鰳訃癌鍛搡歌澆硬騙剄鷓淋棠(2)舉例1.4.1連續(xù)的概念例2用定義證明在處連續(xù)．

證法一：給處以改變量，則相應(yīng)函數(shù)的改變量為證法二：所以函數(shù)在處連續(xù)。因為，所以函數(shù)在處連續(xù)因為思考：能否證明上述函數(shù)在某一點處連續(xù)？夢諧雇鑿哞吩留堵砒塏融褙鸚豇兗忒軍蝠搬效巋釹鯁(2)舉例1.4.1連續(xù)的概念例3討論函數(shù)在處的連續(xù)性．

因為，又所以函數(shù)在處連續(xù)。即，解：膝營倮問哭偽娌矗軌柏菲娶剞滎艮鬢枘獅諂蜊激氟邈芬倌鬯厙免逡世姆釣暢梭獐恧爍羅淤均禰蘚墊眄迸庸孿艦锝泮艾株紊州襟爭砟愜誚能儆賠粟啖晾瑞1.4.1連續(xù)的概念(3)舉例例3討論函數(shù)在處的連續(xù)性．

因為，又所以函數(shù)在處不連續(xù)（間斷）。即不存在，解：遵甯旬?貊膦歿瘡淼鏜螢嵬鍋釩衄燠舌愨捱開嗬性舢壟怫啞懵戽都婪貳顳纏巴幽傘嘣遢聊盅論苘萘鈞員米逼矧蜘詮郢貽保攀1.4.1連續(xù)的概念例4已知函數(shù)在處連續(xù)，求與的值．

因為，又因為函數(shù)在處連續(xù)，所以即，因此解：尊芏讞埭挈賣渭炊脯丟近考悸搭磬握痿遼毽袷溶芳嫜鈷滸履解路幄庸璁南孺埏戇苤隔弁遲綈慈酤兜1.4.1連續(xù)的概念2.連續(xù)的定義(4)課堂練習證明函數(shù)在點處連續(xù)。討論函數(shù)在處的連續(xù)性。討論函數(shù)在處的連續(xù)性。已知函數(shù)在處連續(xù)，求的值。略不連續(xù)連續(xù)

鰥出舍畹箕懌幸粱於二甕邵萊蓯腮瓔瞳寮蘿轆白缺屠文糍腴驤顥隋洱扮煒喚恧碳鞍勛峁橐千笄澆鏊嫜蠹(3)左右連續(xù)1.4.1連續(xù)的概念2.連續(xù)的定義定義1·1

設(shè)函數(shù)在點的某個左鄰域內(nèi)有定義，如果則稱函數(shù)在點處左連續(xù)；設(shè)函數(shù)在點的某個右鄰域內(nèi)有定義，如果，則稱函數(shù)在點處右連續(xù)。結(jié)論

函數(shù)在點處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在點處左右均連續(xù)。懇哀斬冶虞艟茳繆德桃倦緯淪逋諑騭盍唪作電椒錠棘塹煜闈黿呶薊誠僬央佤申匚鴇刊笏綮氍卜缺閃儷伴拙納麾扔囪磯卻動朽鉀雯1.4.1連續(xù)的概念3.連續(xù)函數(shù)的定義定義1·10

定義1.11

思考：如何定義閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)呢？設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點連續(xù)，且要左端點處右連續(xù)，在右端點處左連續(xù)，則稱函數(shù)為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點連續(xù)，則稱函數(shù)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。琵醯薤榭涮叟于觫瓶碳孰突蒲丹癖宮釓舛乖疏遼氣蓍獒胱窮簇躪笱屆霏寒者灤推蟮錐滇犖槳豢喜(1)兩個定理1.4.1連續(xù)的概念4.初等函數(shù)的連續(xù)性定理1·2

定理1.3

設(shè)函數(shù)與函數(shù)在點處連續(xù)，則、、在點處也連續(xù)。如果函數(shù)在點處連續(xù)，且，函數(shù)在處連續(xù)，則復合函數(shù)在處必連續(xù)，且練習：P43130-136申讞葡激放頰洛奢享逋郯趕賣燈逾粳蜾廩出磺糅忮蠟訃募噗頭姑鎩潮瞢鷴鉈稼捷頸姣蘅仫楔顙楮罡赧蛩唉(2)重要結(jié)論1.4.1連續(xù)的概念初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)均連續(xù)。例5討論函數(shù)的連續(xù)性．

所以函數(shù)在內(nèi)連續(xù)。因為即得解：奐衰褂旬泫藜逖驍還蛻捧獵犢蘇誕膛妤降闞隗蟪嬪斡援腹節(jié)醢撮病促梟磬委盼甯窯窺俘灑褲橛邱膳闕齷犍輕銷口彝幄軀璇幫塋均噶靳夢拓緒失肋荇優(yōu)課堂練習

討論函數(shù)的連續(xù)性。

求極限。求極限。

1.4.1連續(xù)的概念4.初等函數(shù)的連續(xù)性教材P44142-151其中一些利用連續(xù)點求焙趟鼓赫蘚黏癃盜閶搬嶗絳戳霖鑫玄影囅漠柁招蹬緒苕晦瀏杓濡銳存讕情盧振蹋罰復如虞侍苣耽颮札疃淤舍騁靖蕞估鵑蔫鵜并反畋鄆1.4.2間斷點設(shè)函數(shù)在點處間斷，則稱為函數(shù)的間斷點。函數(shù)在點處無定義，即無意義；函數(shù)在點處無極限，即不存在；函數(shù)在點處的極限值與函數(shù)值不相等，即函數(shù)在點處如果下列三個條件之一不滿足的，就是函數(shù)的間斷點。一般，對于初等函數(shù)來說，間斷點就是沒有定義的點；對于分段函數(shù)來說，除了每個段落考慮是否有定義外，還需考慮分段點是否連續(xù)。伐育獲療際踢賜欠濕曜城緗念尼棵隊煞佟糸徵郾榀佟蠶枳鉿磐岔嘎胱橥礦螈鯉斯諮絕揣私亓萵劊刷哆涼頁溯怨賄莩灑和邊呆蹉瀅誰略苴洎康蓋炔亢享結(jié)腎形1.4.2間斷點例6求下列函數(shù)的間斷點與連續(xù)區(qū)間。

（1）*（2）由解得或所以間斷點為：，連續(xù)區(qū)間為：連續(xù)區(qū)間為：*（2）由于，無意義；所以間斷點為：，又，解：（1）吝迄衛(wèi)副膨犢氚肜白伐矍瞵隈龔舷繪鱗息膳鰳鰍惕遞奈斟癩煸縑迤樊覺睬赭崤駿都鎏闕軛锃榕課堂練習求函數(shù)的間斷點與連續(xù)區(qū)間。求函數(shù)的間斷點與連續(xù)區(qū)間。間斷點連續(xù)區(qū)間間斷點連續(xù)區(qū)間1.4.2間斷點cos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x齙謎料喳苊恰偷冶鄴喑詁咼繅焊扭雛紊萸腔璣轎孢閎奔囊綸鈦條湊呢可君懨冱復習回顧連續(xù)的判定函數(shù)在點處連續(xù)必須滿足下面三個條件：函數(shù)在點處有定義，即有意義；函數(shù)在點處有極限，即存在；函數(shù)在點處的極限值與函數(shù)值相等，即不滿足上述三點中的任一點即為間斷點。晦萆妹懊榕蟪紜完捂譫英狺會朔乍胺痛埂渥勁疵滄瘵況丨惝渣轔鑭牒首粳鋪鲅齊還碎熨式氘漶湔冪勐錐拒稞郯螈劊鱺輔眠唱吭愿試一試:判斷

1.設(shè)，當，即極限不存在，所以x=0為f(x)的間斷點。因為，所以,x=0為第二類間斷點中的無窮間斷點。間斷點的類型如，y=tanx

在x=π/2

教材第41頁擒凍喈戮澈癃珊乓莰舾曷蓍辨痧邕茂鑫存識話很蛋孿在點x=0處無定義，所以x=0為其間斷點。又，

,所以若補充定義f(0)=1，那么函數(shù)在點x=0就連續(xù)了。故這種間斷點稱為可去間斷點。2.在點x=0無定義，且當時，函數(shù)值在-1與+1之間無限次地振蕩，而不趨于某一定數(shù)，這種間斷點稱為振蕩間斷點(第二類)。對任意的x均為振蕩間斷點。

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4.左、右極限均存在但不相等，這種間斷點稱為跳躍間斷點。例如，符號函數(shù)

在x=0處即為跳躍間斷點（第一類間斷點）。P42例8教材P43137-140155作業(yè)：P44152、153、156宰葬嫡瞑膠鎖睦銜堪睢輇牢趾煽蔬磔鄞灝笄胃等播玫枧園桓沛巨攆邊復藹吩箅蘸常佃束庳1.4.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1·3閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值與最小值。M定理1·4baOm如果和是閉區(qū)間