2021年福建省龍巖市中復(fù)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析

2021年福建省龍巖市中復(fù)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.將函數(shù)f（x）=cos（πx）圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把圖象上所有的點向右平移1個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間是（）A．[4k+1，4k+3]（k∈Z） B．[2k+1，2k+3]（k∈Z） C．[2k+1，2k+2]（k∈Z） D．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）參考答案：A【考點】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)圖象的變換規(guī)則逐步得出函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．【解答】解：∵將函數(shù)f（x）=cos（πx）圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)解析式為：y=cos（πx）；再把圖象上所有的點向右平移1個單位長度，得到函數(shù)的解析式為：g（x）=cos[π（x﹣1）]；∴可得：，∵由2k≤≤2kπ+，k∈Z，解得：4k+1≤x≤4k+3，k∈Z，可得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是：[4k+1，4k+3]，k∈Z，由2kπ﹣≤≤2k，k∈Z，解得：4k﹣1≤x≤4k+1，k∈Z，可得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[4k﹣1，4k+1]，k∈Z，對比各個選項，只有A正確．故選：A．2.已知函數(shù)，若是的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)在原點附近的圖象大致是（

）

A

B

C

D

參考答案：A略3.已知平面向量，滿足，，與的夾角為，以為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條長度為（

）A．2

B．

C.1

D．參考答案：B因為與的夾角為，所以此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條長度為，而，故選B.

4.設(shè)F是雙曲線﹣=1的右焦點，雙曲線兩漸近線分別為l1，l2，過點F作直線l1的垂線，分別交l1，l2于A，B兩點，若A，B兩點均在x軸上方且|OA|=3，|OB|=5，則雙曲線的離心率e為（）A． B．2 C． D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】運(yùn)用勾股定理，可得|AB|=4，設(shè)出直線l1：y=x，直線l2：y=﹣x，由直線l1到直線l2的角的正切公式，可得tan∠AOB==，求得b=2a，運(yùn)用離心率公式計算即可得到所求值．【解答】解：在直角三角形AOB中，|OA|=3，|OB|=5，可得|AB|==4，可得tan∠AOB==，由直線l1：y=x，直線l2：y=﹣x，由直線l1到直線l2的角的正切公式，可得tan∠AOB==，化簡可得b=2a，即有e===．故選：C．5.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)的是（）A．y=3﹣x B．y=x3 C．y=x﹣1 D．參考答案：C考點： 奇偶性與單調(diào)性的綜合．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，可判斷A的真假；根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，可判斷B的真假；根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，可判斷C的真假；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，可判斷D的真假；解答： 解：函數(shù)y=3﹣x是非奇非偶函數(shù)，但在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)函數(shù)y=x3是奇函數(shù)，但在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)函數(shù)y=x﹣1=奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，但在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)故選C點評： 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，其中熟練掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解答的關(guān)鍵．6.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀一定是(

)(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等邊三角形

(D)等腰直角三角形參考答案：A7.如圖，是一個幾何體的正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）、俯視圖，正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）都是矩形，則該幾何體的體積是

（

）

A．24

B．12

C．8

D．4參考答案：B略8.已知直線l:ax+by=1，點p(a,b)在圓C：外，則直線l與圓C的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定參考答案：A9.已知則x,y之間的大小關(guān)系是（

）A.

B.

C.

D．不能確定參考答案：答案：C10.已知點與點在直線的兩側(cè)，且，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，Sn﹣=0（n∈N*），則{an}的通項公式為an=

．參考答案：考點：數(shù)列的求和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．解答： 解：當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=an，化為an+1=3an．a(chǎn)1﹣a2=0，解得a2=2．∴當(dāng)n≥2時，數(shù)列{an}為等比數(shù)列，∴．∴{an}的通項公式為an=．故答案為：an=．點評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．12.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)時，則滿足的值域是 。參考答案：答案：13.設(shè)適合等式，則的值域是

.參考答案：略14..如圖是一個算法的流程圖，若輸入的值是10，則輸出的值是

▲

.參考答案：

略15.已知數(shù)列{an}為1，3，7，15，31，…，2n﹣1，數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn=an﹣an﹣1，則數(shù)列的前n﹣1項和Sn﹣1為

．參考答案：2﹣22﹣n（n≥2）【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】an=2n﹣1．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1，n≥2時bn=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，（n=1時也成立）．可得bn=2n﹣1．利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：an=2n﹣1．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1，n≥2時bn=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，（n=1時也成立）．∴bn=2n﹣1．∴=．∴數(shù)列的前n﹣1項和Sn﹣1=1+=2﹣22﹣n（n≥2）．故答案為：2﹣22﹣n（n≥2）．16.把函數(shù)f（x）=圖象上各點向右平移?（?＞0）個單位，得到函數(shù)g（x）=sin2x的圖象，則?的最小值為．參考答案：【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；三角函數(shù)的最值．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用三角函數(shù)的恒等變換及化簡f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：把函數(shù)f（x）==sin2x+cos2x=sin（2x+）圖象上各點向右平移?（?＞0）個單位，得到函數(shù)g（x）=sin[2（x﹣?）+]=sin（2x﹣2?+）=sin2x的圖象，則?的最小值為，故答案為：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．17.設(shè)公比大于1的正項等比數(shù)列{an}滿足：a3+a5=20，a2a6=64，則其前6項和為．參考答案：63【考點】等比數(shù)列的前n項和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意可得a3和a5為方程x2﹣20x+64=0的兩根，解方程結(jié)合題意可得q=2，a1=1，代入求和公式可得．【解答】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a3a5=a2a6=64，∴a3和a5為方程x2﹣20x+64=0的兩根，解得a3=4，a5=16，或a3=16，a5=4，又?jǐn)?shù)列{an}為公比大于1的正項等比數(shù)列，∴a3=4，a5=16，∴q=2，a1=1，∴其前6項和S6==63故答案為：63．【點評】本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)和韋達(dá)定理，屬中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=a（a≠3），，設(shè)，n∈N*．（1）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）若an+1≥an，n∈N*，求實數(shù)a的最小值；（3）當(dāng)a=4時，給出一個新數(shù)列{en}，其中，設(shè)這個新數(shù)列的前n項和為Cn，若Cn可以寫成tp（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，則稱Cn為“指數(shù)型和”．問{Cn}中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和．【專題】：綜合題；新定義．【分析】：（1）依題意，可求得Sn+1=2Sn+3n，當(dāng)a≠3時，=2，利用等比數(shù)列的定義即可證得數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，從而可求得an=，由an+1≥an，可求得a≥﹣9，從而可求得實數(shù)a的最小值；（3）由（1）當(dāng)a=4時，bn=2n﹣1，當(dāng)n≥2時，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可證得對正整數(shù)n都有Cn=2n+1，依題意由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇數(shù)．分①當(dāng)p為偶數(shù)時與②當(dāng)p為奇數(shù)討論即可得到答案．解：（1）an+1=Sn+3nSn+1=2Sn+3n，bn=Sn﹣3n，n∈N*，當(dāng)a≠3時，===2，所以{bn}為等比數(shù)列．b1=S1﹣3=a﹣3，bn=（a﹣3）×2n﹣1．（2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，∴an=，∵an+1≥an，∴a≥﹣9，又a≠3，所以a的最小值為﹣9；（3）由（1）當(dāng)a=4時，bn=2n﹣1，當(dāng)n≥2時，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，所以對正整數(shù)n都有Cn=2n+1．由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇數(shù)．①當(dāng)p為偶數(shù)時，tp﹣1=（+1）（﹣1）=2n，因為tp+1和tp﹣1都是大于1的正整數(shù)，所以存在正整數(shù)g，h，使得tp+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，所以2h=2且2g﹣h﹣1=1h=1，g=2，相應(yīng)的n=3，即有C3=32，C3為“指數(shù)型和”；②當(dāng)p為奇數(shù)時，tp﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1），由于1+t+t2+…+tp﹣1是p個奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又t﹣1為正偶數(shù)，所以（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1）=2n不成立，此時沒有“指數(shù)型和”．【點評】：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列求和，突出邏輯思維與創(chuàng)新思維、綜合分析、運(yùn)算能力的考查，屬于難題．19.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F1（﹣2，0），點在橢圓C上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N．求證：以MN為直徑的圓必過橢圓的兩焦點．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）由題意可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，結(jié)合已知及隱含條件列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a2，b2的值，則橢圓方程可求；（2）設(shè)F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標(biāo)，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經(jīng)過定點（±2，0）．【解答】（1）解：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為，則，解得：a2=8，b2=4．∴橢圓C的方程為+=1；（2）證明：如圖，設(shè)F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），則+=1，即有y02=（8﹣x02），A（﹣2，0），AF所在直線方程y=（x+2），取x=0，得y=，∴N（0，），AE所在直線方程為y=（x+2），取x=0，得y=，∴M（0，），則以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為（0，），半徑r=，圓的方程為x2+（y﹣）2==，即x2+（y+）2=，取y=0，得x=±2．∴以MN為直徑的圓經(jīng)過定點（±2，0），即為橢圓的焦點．20.已知圓C與兩圓，外切，圓C的圓心軌跡方程為L，設(shè)L上的點與點的距離的最小值為，點與點的距離為.(Ⅰ)求圓C的圓心軌跡L的方程；（Ⅱ）求滿足條件的點的軌跡Q的方程；（Ⅲ）試探究軌跡Q上是否存在點，使得過點B的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于。若存在，請求出點B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

參考答案：(I)(II)(III)或解析：解：（Ⅰ）兩圓半徑都為1，兩圓心分別為、，由題意得，可知圓心C的軌跡是線段的垂直平分線，的中點為，直線的斜率等于零，故圓心C的軌跡是線段的垂直平分線方程為，即圓C的圓心軌跡L的方程為。(4分)（Ⅱ）因為，所以到直線的距離與到點的距離相等，故點的軌跡Q是以為準(zhǔn)線，點為焦點，頂點在原點的拋物線，，即，所以，軌跡Q的方程是

(8分)（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，所以過