2021-2022學年福建省龍巖市華僑中學高三數(shù)學理測試題含解析

2021-2022學年福建省龍巖市華僑中學高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)（其中＞0，＜）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象（

）A．向右平移個單位長度

B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度

D．向左平移個單位長度參考答案：C2.已知等比數(shù)列的前三項依次為,,.則 A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.若，則cos2θ＝

（A）（B）－（C）（D）－參考答案：D4.設(shè)且，則銳角x為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.執(zhí)行程序框圖，如果輸入的t∈[﹣1，3]，則輸出的s屬于(

) A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]參考答案：A考點：程序框圖；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法．專題：圖表型；算法和程序框圖．分析：本題考查的知識點是程序框圖，分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算一個分段函數(shù)的函數(shù)值，由條件為t＜1我們可得，分段函數(shù)的分類標準，由分支結(jié)構(gòu)中是否兩條分支上對應的語句行，我們易得函數(shù)的解析式．解答： 解：由判斷框中的條件為t＜1，可得：函數(shù)分為兩段，即t＜1與t≥1，又由滿足條件時函數(shù)的解析式為：s=3t；不滿足條件時，即t≥1時，函數(shù)的解析式為：s=4t﹣t2故分段函數(shù)的解析式為：s=，如果輸入的t∈[﹣1，3]，畫出此分段函數(shù)在t∈[﹣1，3]時的圖象，則輸出的s屬于[﹣3，4]．故選A．點評：要求條件結(jié)構(gòu)對應的函數(shù)解析式，要分如下幾個步驟：①分析流程圖的結(jié)構(gòu)，分析條件結(jié)構(gòu)是如何嵌套的，以確定函數(shù)所分的段數(shù)；②根據(jù)判斷框中的條件，設(shè)置分類標準；③根據(jù)判斷框的“是”與“否”分支對應的操作，分析函數(shù)各段的解析式；④對前面的分類進行總結(jié)，寫出分段函數(shù)的解析式．6.已知函數(shù)f（x）=，則y=f（x）的圖象大致為(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用；對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】考慮函數(shù)f（x）的分母的函數(shù)值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定義域能排除D，這一性質(zhì)可利用導數(shù)加以證明【解答】解：設(shè)則g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故選B【點評】本題主要考查了函數(shù)解析式與函數(shù)圖象間的關(guān)系，利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的應用，排除法解圖象選擇題，屬基礎(chǔ)題7.sin（﹣600°）=（）A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：B8.慶“元旦”的文藝晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須安排在前兩位，節(jié)目乙不能安排在第一位，節(jié)目丙必須安排在最后一位，則該晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有A．36種

B．42種

C．48種

D．54種參考答案：B9.函數(shù)的定義域為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略10.已知函數(shù)的定義域為，值域為，則在平面直角坐標系內(nèi)，點的運動軌跡與兩坐標軸圍成的圖形的面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，，是的中點，若，在線段上運動，則下面結(jié)論正確的是__________.①是直角三角形；

②的最小值為；③的最大值為；

④存在使得參考答案：①②④略12.已知，為單位向量，且夾角為60°，若=+3，=2，則在方向上的投影為．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】運用向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，再由向量投影的定義可得在方向上的投影為，計算即可得到所求值．【解答】解：，為單位向量，且夾角為60°，可得?=||?||?cos60°=1×1×=，若=+3，=2，則?=22+6?=2+6×=5，||====，則在方向上的投影為==．故答案為：．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，同時考查向量投影的概念，運算能力，屬于中檔題．13.若對任意正實數(shù)a，不等式x2＜1+a恒成立，則實數(shù)x的最小值為．參考答案：-1考點：函數(shù)恒成立問題．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：根據(jù)a是正實數(shù)，確定x2≤1，解得﹣1≤x≤1，所以實數(shù)x的最小值為﹣1．解答：解：∵a是正實數(shù)，∴1+a＞1，∴不等式x2＜1+a恒成立等價于x2≤1，解得：﹣1≤x≤1，∴實數(shù)x的最小值為﹣1，故答案為：﹣1．點評：本題考查不等式性質(zhì)的應用以及恒成立命題的轉(zhuǎn)化．屬于中檔題．14.現(xiàn)用若干張撲克牌進行撲克牌游戲．小明背對小亮，讓小亮按下列四個步驟操作：第一步：分發(fā)左、中、右三堆牌，每堆牌不少于兩張，且各堆牌的張數(shù)相同；第二步：從左邊一堆拿出兩張，放入中間一堆；第三步：從右邊一堆拿出一張，放入中間一堆；第四步：左邊一堆有幾張牌，就從中間一堆拿出幾張牌放入左邊一堆．這時，小明準確地說出了中間一堆牌現(xiàn)有的張數(shù)．你認為中間一堆牌的張數(shù)是

．參考答案：515.設(shè)x，y滿足，則z=2x﹣y的最大值為3，則m=

．參考答案：考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合z=2x﹣y的最大值為3，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．．解答： 解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式對應的可行域（陰影部分），平移直線y=2x﹣z，由平移可知當直線y=2x﹣z，經(jīng)過點A時，直線y=2x﹣z的截距最小，此時z取得最大值3，由，解得，即A（，）．將A的坐標代入x﹣y+m=0，得m=y﹣x=﹣=，故答案為：．點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．16.定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則函數(shù)在上的零點個數(shù)是____________.參考答案：1207由可知是以5為周期的周期函數(shù)，又在區(qū)間內(nèi)有3個零點，故在任意周期上都有3個零點，故上包含402個周期，又時也存在一個零點，故零點數(shù)為.17.將邊長為2的正沿邊上的高折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為_________;

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數(shù)f（x）=x2﹣ex3+ex（x﹣1）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），記f（x）的導函數(shù)為f′（x）．（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：當x＞0時，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．參考答案：考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．專題： 導數(shù)的綜合應用．分析： （1）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間；（2）當x＞0時，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx，求出導數(shù)h′（x），當x=1時，h′（x）=0，由（1）得，ex﹣ex≥0，討論當x＞1時，當0＜x＜1時，導數(shù)的符號，從而得到h（x）的最大值，即可得證．解答： （1）解：）∵f（x）=x2﹣ex3+ex（x﹣1），∴f′（x）=﹣ex2+x+ex（x﹣1）+ex=x（ex+1﹣ex），令y=ex+1﹣ex，則y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，則x=1取極小，也是最小，則y≥1．即ex+1﹣ex＞0恒成立，則g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．故g（x）的增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（﹣∞，0）．（2）證明：當x＞0時，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx，h′（x）=+2ex﹣1﹣exx﹣ex，當x=1時，h′（x）=0，由（1）得，ex﹣ex≥0，當x＞1時，h′（x）＜0，當0＜x＜1時，h′（x）＞0，故x=1為極大值，也為最大值，且為h（1）=0．故當x＞0時，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，故當x＞0時，1+lnx﹣f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．點評： 本題考查導數(shù)的應用：求單調(diào)區(qū)間、求極值，求最值，考查構(gòu)造函數(shù)證明不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，應用導數(shù)求解，本題屬于中檔題．19.已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，求函數(shù)的定義域和極值；（Ⅱ）當時，試確定函數(shù)的零點個數(shù)，并證明.參考答案：（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域為，且.

………………1分.

………………3分令，得，當變化時，和的變化情況如下：↘↘

↗………………4分故的單調(diào)減區(qū)間為，；單調(diào)增區(qū)間為．所以當時，函數(shù)有極小值.

………………5分（Ⅱ）解：結(jié)論：函數(shù)存在兩個零點.證明過程如下：由題意，函數(shù)，

因為，

所以函數(shù)的定義域為.

………………6分

求導，得，

………………7分

令，得，，當變化時，和的變化情況如下：↗

↘

↗故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為，．

當時，函數(shù)有極大值；當時，函數(shù)有極小值.

………………9分

因為函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以對于任意，.

………………10分因為函數(shù)在單調(diào)遞減，且，所以對于任意，.

………………11分因為函數(shù)在單調(diào)遞增，且，，所以函數(shù)在上僅存在一個，使得函數(shù)，

…………12分故函數(shù)存在兩個零點（即和）.

………………13分

略20.（本小題滿分14分）如圖，矩形ABCD中，，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE（1）設(shè)M為線段A1C的中點，求證：BM//平面A1DE；（2）當平面A1DE⊥平面BCD時，求直線CD與平面A1CE所成角的正弦值．

參考答案：【知識點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．G4G11

【答案解析】（1）見解析；（2）解析：（1）取的中點F，連結(jié)MF，則MF//CD，且MFCD，即MF∕∕BE，MF=BE，故四邊形BEFM是平行四邊形，則BM//EF，BM平面A1DE，EF平面A1DE，所以BM//平面A1DE；…………7分（2）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．又∵平面A1DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A1DE，∴CE⊥DA1．又∵DA1⊥A1E，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE，∴∠A1CE即為直線CD與平面A1CE所成的角．在Rt△A1CD中，sin∠A1CD，即直線CD與平面A1CE所成角的正弦值為．

……………14分【思路點撥】（1）取CD中點N，并連接MN，BN，容易證明平面BMN∥平面A1DE，所以便得到BM∥平面A1DE；（2）容易說明CE⊥平面A1DE，所以DA1⊥CE，又DA1⊥A1E，所以DA1⊥平面A1CE，所以∠A1CD便是直線CD與平面A1CE所成角，所以該角的正弦值為．21.（09年揚州中學2月月考）（16分）已知為實數(shù)，數(shù)列滿足，當時，，（Ⅰ）；(5分)（Ⅱ）證明：對于數(shù)列，一定存在，使；(5分)（Ⅲ）令，當時，求證：(6分)參考答案：解析:（Ⅰ）由題意知數(shù)列的前34項成首項為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1,從而=

……(3分)

=.

…………(5分)

（Ⅱ）證明：①若,則題意成立…(6分)②若,此時數(shù)列的前若干項滿足,即.設(shè),則當時,.從而此時命題成立