第3章3 2 3 2 1基本不等式證明

3.2

基本不等式ab≤a＋b(a，b≥0)23.2.1

基本不等式的證明第3章 不等式的基本性質(zhì)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期點(diǎn))能利用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式及比較代數(shù)式的大?。芾没静坏仁角蠛?jiǎn)單函數(shù)的最值．(難點(diǎn))1．了解基本不等式的證明過(guò)程．(重1．通過(guò)不等式的證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2．借助基本不等式求簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．01必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知知識(shí)點(diǎn)1

知識(shí)點(diǎn)2知識(shí)點(diǎn)3知識(shí)點(diǎn)1

算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)與基本不等式(1)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)a＋b對(duì)于正數(shù)a，b，我們把

2

稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，

ab

稱為a，b的幾何平均數(shù)．(2)基本不等式立)，我們把不等式2(a，b≥0)稱為基本不等式．a(chǎn)b≤a＋b2a＋b如果a，b是正數(shù)，那么

ab≤

(當(dāng)且僅當(dāng)

a＝b

時(shí)，等號(hào)成b

)2

－2

a

·

b＝(

a

－[提示]

因?yàn)?/p>

a＋b－2

ab＝(

a

)2

＋(b)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)

a＝b時(shí)，等號(hào)成立，所以

a＋b≥2

ab，所以ab≤a＋b2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b

時(shí)，等號(hào)成立．2xy≤402

，所以xy≤400，此時(shí)xa＋b400

20

20

[由

ab≤

知＝y(tǒng)＝20．]知識(shí)點(diǎn)

2

兩個(gè)重要的不等式若a，b∈R，則(1)ab≤a2＋b22，即a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)；2a＋b2(2)ab≤

(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b

時(shí)，等號(hào)成立)．[提示]當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab，a、b∈R

時(shí)a2＋b2>2ab．a(chǎn)＝1

[當(dāng)a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1

時(shí)“＝”成立．]知識(shí)點(diǎn)3

應(yīng)用基本不等式求最值a＋b2求最值時(shí)，要把握好三個(gè)要點(diǎn)在運(yùn)用基本不等式

ab

≤“一正、二定、三相等”．一正：a，b是正數(shù)．二定：①和a＋b一定時(shí)，由ab≤a＋b22a＋b2變形得ab≤

，即積2a＋b2

ab

有最大值

；2最小值2

ab．三相等：取等號(hào)的條件都是當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．②積ab一定時(shí)，由

ab≤a＋b變形得a＋b≥2

ab，即和

a＋b

有[提示]

任意

a，b∈R，有

a2＋b2≥2ab

成立，當(dāng)

a，b≥0

時(shí)，不等式

a＋b≥2

ab成立．(2)若

a>2，則

a＋1≥2

a·1＝2．a(chǎn)

a(

)1[提示]

根據(jù)基本不等式，才有不等式

a＋a≥21a·a＝2

成立，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1

時(shí)取等號(hào)．

2a＋b2(3)若

a>0，b>0，則

ab≤

．(

)[提示]

因?yàn)?/p>

ab≤a＋b22a＋b2，所以

ab≤

．[答案]

(1)×

(2)×

(3)√02關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難類型1類型2類型3

類型4)其中正確的推導(dǎo)為(A．①②C．②③B．①③D．①②③B

[①因?yàn)閍，bb

a為正實(shí)數(shù)，所以a，b為正實(shí)數(shù)，符合基本不等式的條件，故①的推導(dǎo)正確．②因?yàn)閍∈R，a≠0，不符合基本不等式的條件，

4

4所以a＋a≥2

a·a＝4

是錯(cuò)誤的．③由

xy＜0

x，y均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過(guò)程中將整體x＋y提出，得y

x

y

x

x

y

y

x負(fù)號(hào)后，－、－均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故③正確．]21．基本不等式

ab≤a＋b

(a≥0，b≥0)反映了兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和與積之間的關(guān)系．2．對(duì)基本不等式的準(zhǔn)確掌握要抓住以下兩個(gè)方面：(1)定理成立的條件是a，b

都是非負(fù)數(shù)．(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)a＝b

時(shí)，2ab≤a＋b的等號(hào)成立，即a＝b?a＋b

a＋b2

＝

ab；僅當(dāng)

a＝b

時(shí)，

2

≥ab的等號(hào)成立，即a＋b2＝

ab?a＝b．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．下列不等式的推導(dǎo)過(guò)程正確的是

．(填序號(hào))11①若

x＞0，則

x＋x≥2

x·x＝2；4x

4

x②若x＜0，則x＋＝－(－x)＋－≤－2

4

x(－x)·－

＝－4；b

a③若a，b∈R，則a＋b≥2a·bb

a＝2．①②

[③中忽視了利用基本不等式時(shí)每一項(xiàng)必須為正數(shù)這一條件．]a－2[解]

m＝a＋

1

＝(a－2)＋1(a－2)＋2，∵a>2，∴a－2>0，1a－2>0，∴m＝a－2＋1a－2＋2≥2(a－2)·1(a－2)＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a－2＝1a－2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a＝3．∴m≥4．

b

aa

bn＝－

＋

＋5≤－2b

aa

b·

＋5＝3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b

時(shí)等號(hào)成立．綜上m>n．在理解基本不等式時(shí)，要從形式到內(nèi)含中理解，特別要關(guān)注條件．運(yùn)用基本不等式比較大小時(shí)應(yīng)注意成立的條件，即a＋b≥2

ab

成立的條件是a≥0，b≥0，等號(hào)成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號(hào)成立的條件是a＝b．[跟進(jìn)訓(xùn)練]22．如果0＜a＜b＜1，P＝a＋b，Q＝ab，M＝a＋b，那么P，)Q，M

的大小順序是(A．P＞Q＞MC．Q＞M＞PB．M＞P＞QD．M＞Q＞PB

[顯然a＋b2>ab，又因?yàn)閍＋b2＜

a＋b(由a＋b＞(a＋b)24，也就是由a＋b4＜1

可得)，所以a＋b＞a＋b2>ab．故M＞P＞Q．][思路點(diǎn)撥]

看到1＋1＋1>9，想到將“1”換成“a＋b＋c”，a

b

c裂項(xiàng)構(gòu)造基本不等式的形式，用基本不等式證明．[證明]因?yàn)閍，b，c

是正數(shù)，且a＋b＋c＝1，1

1

1所以a＋b＋c＝a

b＋

＋a＋b＋c

a＋b＋c

a＋b＋cc＝3＋b＋c＋a＋c＋a＋b

a

a

b

b

c

c＝3＋

＋b

aa

b

＋＋c

aa

c

＋＋c

bb

cb

a≥3＋2

a·b＋2c

a＋2

c

ba·c

b·c＝3＋2＋2＋2＝9．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c

時(shí)取等號(hào)，1

1又因?yàn)閍，b，c互不相等，所以a＋b＋c1>9．[母題探究]本例條件不變，求證：1a1－1

－1

1b

c

－1

>8．[證明]

因?yàn)?/p>

a，b，c

是正數(shù)，且

a＋b＋c＝1，1所以a－1＝>0，b－1＝b＋c

a＋ca

b1

1>0，c－1＝a＋bc>0，1

1

1

a

b

c

所以

－1

－1

－1＝·

b

·b＋c

a＋c

a＋ba

c≥2

bc·2ac·2

ababc＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c

時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閍，b，c

互不相等，所以a－1

－11

1

1

b

c－1>8．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結(jié)合起來(lái)考慮，比如本題通過(guò)“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用基本不等式創(chuàng)造條件，另一方面可實(shí)現(xiàn)約分與不等式的右邊建立聯(lián)系．先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)(注意限制條件)，通過(guò)相加(乘)合成為符合待證的不等式，既是運(yùn)用基本不等式時(shí)的一種重要技能，也是證明不等式時(shí)的一種常用方法．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知a，b，c

為不全相等的正實(shí)數(shù)．求證：a＋b＋c> ab＋

bc＋

ca．ca>0．[證明]

∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2

ab>0，b＋c≥2

bc>0，c＋a≥2∴2(a＋b＋c)≥2(

ab＋bc＋ca)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca．由于a，b，c

為不全相等的正實(shí)數(shù)，故等號(hào)不成立．∴a＋b＋c> ab＋

bc＋

ca．[解]

∵x>0，∴12

0,4x>0．x

>∴1212x

＋4x≥2

x

·4x＝8

3．12當(dāng)且僅當(dāng)

x

＝4x，即

x＝

3時(shí)取最小值

8

3，12∴當(dāng)

x>0時(shí)，

x

＋4x

的最小值為

8

3．(2)當(dāng)

x<0時(shí)，求12

4x的最大值；x

＋[解]

∵x<0，∴－x>0．則

12

＋(－4x)≥2

12

·(－4x)＝8

3，－x

－x－x當(dāng)且僅當(dāng)12

＝－4x

時(shí)，即x＝－3時(shí)取等號(hào)．∴12x

＋4x≤－8

3．x12∴當(dāng)

x<0

時(shí)， ＋4x

的最大值為－8

3．(3)當(dāng)x>1時(shí)，求2x＋8x－1的最小值；[解]

2x＋8x－1＝2(x－1)＋4x－12

＋

，∵x>1，∴x－1>0，∴2x＋

8

≥2×2

4＋2＝10，x－1當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝4x－1，即x＝3

時(shí)，取等號(hào)．x－1∴當(dāng)

x>1

時(shí)，2x＋

x

的最小值為

10．x(4)已知4x＋a(x>0，a>0)在x＝3

時(shí)取得最小值，求a

的值．a(chǎn)[解]

4x＋x≥2a4x·x＝4

a，a當(dāng)且僅當(dāng)4x＝x，即a＝4x2＝36

時(shí)取等號(hào)，∴a＝36．利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件.具體可歸納為三句話：一不正，用其相反數(shù)，改變不等號(hào)方向；二不定應(yīng)湊出定和或定積；三不等，一般用單調(diào)性.[跟進(jìn)訓(xùn)練]44x－54．(1)已知

x<5，求

y＝4x－2＋

1

的最大值；5[解]

∵x<4，∴5－4x>0，∴y＝4x－2＋

1

4x－5

＝－5－4x＋

1

5－4x＋3≤－2＋3＝1，當(dāng)且僅當(dāng)

5－4x＝

1

，即

x＝1

時(shí)，上式等號(hào)成立，5－4x故當(dāng)x＝1

時(shí)，ymax＝1．(2)已知0<x<1，求y＝1x(1－2x)的最大值；2

22[解]

∵0<x<1，∴1－2x>0，14

42∴y＝

×2x(1－2x)≤

×

＝

×

＝1

2x＋1－2x2

1

1

14

4

16．1214∴當(dāng)且僅當(dāng)

2x＝1－2x0<x<

，即

x＝

時(shí)，ymax＝

1

16．(3)已知x>0，求函數(shù)y＝x2＋5x＋4x的最小值．[解]

∵y＝x2＋5x＋4x4＝x＋x＋5≥24＋5＝9，4當(dāng)且僅當(dāng)x＝x即x＝2

時(shí)等號(hào)成立．故y＝x2＋5x＋4x(x>0)的最小值為9．學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)0391．已知

x>0，則x＋x

的最小值為(

)A．6

B．5

C．4D．399A

[∵x>0，∴x＋x≥2

x·x＝6．x當(dāng)且僅當(dāng)x＝9即x＝3

時(shí)取得最小值6．]2．設(shè)a，b

為正數(shù)，且a＋b≤4則()1

1A．a(chǎn)＋b≤1C．a(chǎn)b≤4B．1＋1≥2a

bD．a(chǎn)b≥82a＋b2C

[設(shè)

a，b

為正數(shù)，且

a＋b≥