第3章3 2 3 2 1基本不等式證明

3.2

基本不等式ab≤a＋b(a，b≥0)23.2.1

基本不等式的證明第3章 不等式的基本性質成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉存自動更新永不過期點)能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數(shù)式的大?。芾没静坏仁角蠛唵魏瘮?shù)的最值．(難點)1．了解基本不等式的證明過程．(重1．通過不等式的證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2．借助基本不等式求簡單的最值問題，提升數(shù)學運算素養(yǎng)．01必備知識·情境導學探新知知識點1

知識點2知識點3知識點1

算術平均數(shù)、幾何平均數(shù)與基本不等式(1)算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)a＋b對于正數(shù)a，b，我們把

2

稱為a，b的算術平均數(shù)，

ab

稱為a，b的幾何平均數(shù)．(2)基本不等式立)，我們把不等式2(a，b≥0)稱為基本不等式．ab≤a＋b2a＋b如果a，b是正數(shù)，那么

ab≤

(當且僅當

a＝b

時，等號成b

)2

－2

a

·

b＝(

a

－[提示]

因為

a＋b－2

ab＝(

a

)2

＋(b)2≥0，當且僅當

a＝b時，等號成立，所以

a＋b≥2

ab，所以ab≤a＋b2，當且僅當a＝b

時，等號成立．2xy≤402

，所以xy≤400，此時xa＋b400

20

20

[由

ab≤

知＝y(tǒng)＝20．]知識點

2

兩個重要的不等式若a，b∈R，則(1)ab≤a2＋b22，即a2＋b2≥2ab(當且僅當a＝b時，等號成立)；2a＋b2(2)ab≤

(當且僅當a＝b

時，等號成立)．[提示]當a＝b時，a2＋b2＝2ab，a、b∈R

時a2＋b2>2ab．a＝1

[當a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1

時“＝”成立．]知識點3

應用基本不等式求最值a＋b2求最值時，要把握好三個要點在運用基本不等式

ab

≤“一正、二定、三相等”．一正：a，b是正數(shù)．二定：①和a＋b一定時，由ab≤a＋b22a＋b2變形得ab≤

，即積2a＋b2

ab

有最大值

；2最小值2

ab．三相等：取等號的條件都是當且僅當a＝b時，等號成立．②積ab一定時，由

ab≤a＋b變形得a＋b≥2

ab，即和

a＋b

有[提示]

任意

a，b∈R，有

a2＋b2≥2ab

成立，當

a，b≥0

時，不等式

a＋b≥2

ab成立．(2)若

a>2，則

a＋1≥2

a·1＝2．a

a(

)1[提示]

根據(jù)基本不等式，才有不等式

a＋a≥21a·a＝2

成立，當且僅當a＝1

時取等號．

2a＋b2(3)若

a>0，b>0，則

ab≤

．(

)[提示]

因為

ab≤a＋b22a＋b2，所以

ab≤

．[答案]

(1)×

(2)×

(3)√02關鍵能力·合作探究釋疑難類型1類型2類型3

類型4)其中正確的推導為(A．①②C．②③B．①③D．①②③B

[①因為a，bb

a為正實數(shù)，所以a，b為正實數(shù)，符合基本不等式的條件，故①的推導正確．②因為a∈R，a≠0，不符合基本不等式的條件，

4

4所以a＋a≥2

a·a＝4

是錯誤的．③由

xy＜0

x，y均為負數(shù)，但在推導過程中將整體x＋y提出，得y

x

y

x

x

y

y

x負號后，－、－均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故③正確．]21．基本不等式

ab≤a＋b

(a≥0，b≥0)反映了兩個非負數(shù)的和與積之間的關系．2．對基本不等式的準確掌握要抓住以下兩個方面：(1)定理成立的條件是a，b

都是非負數(shù)．(2)“當且僅當”的含義：當a＝b

時，2ab≤a＋b的等號成立，即a＝b?a＋b

a＋b2

＝

ab；僅當

a＝b

時，

2

≥ab的等號成立，即a＋b2＝

ab?a＝b．[跟進訓練]1．下列不等式的推導過程正確的是

．(填序號)11①若

x＞0，則

x＋x≥2

x·x＝2；4x

4

x②若x＜0，則x＋＝－(－x)＋－≤－2

4

x(－x)·－

＝－4；b

a③若a，b∈R，則a＋b≥2a·bb

a＝2．①②

[③中忽視了利用基本不等式時每一項必須為正數(shù)這一條件．]a－2[解]

m＝a＋

1

＝(a－2)＋1(a－2)＋2，∵a>2，∴a－2>0，1a－2>0，∴m＝a－2＋1a－2＋2≥2(a－2)·1(a－2)＋2＝4，當且僅當a－2＝1a－2時等號成立，此時a＝3．∴m≥4．

b

aa

bn＝－

＋

＋5≤－2b

aa

b·

＋5＝3，當且僅當a＝b

時等號成立．綜上m>n．在理解基本不等式時，要從形式到內含中理解，特別要關注條件．運用基本不等式比較大小時應注意成立的條件，即a＋b≥2

ab

成立的條件是a≥0，b≥0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b．[跟進訓練]22．如果0＜a＜b＜1，P＝a＋b，Q＝ab，M＝a＋b，那么P，)Q，M

的大小順序是(A．P＞Q＞MC．Q＞M＞PB．M＞P＞QD．M＞Q＞PB

[顯然a＋b2>ab，又因為a＋b2＜

a＋b(由a＋b＞(a＋b)24，也就是由a＋b4＜1

可得)，所以a＋b＞a＋b2>ab．故M＞P＞Q．][思路點撥]

看到1＋1＋1>9，想到將“1”換成“a＋b＋c”，a

b

c裂項構造基本不等式的形式，用基本不等式證明．[證明]因為a，b，c

是正數(shù)，且a＋b＋c＝1，1

1

1所以a＋b＋c＝a

b＋

＋a＋b＋c

a＋b＋c

a＋b＋cc＝3＋b＋c＋a＋c＋a＋b

a

a

b

b

c

c＝3＋

＋b

aa

b

＋＋c

aa

c

＋＋c

bb

cb

a≥3＋2

a·b＋2c

a＋2

c

ba·c

b·c＝3＋2＋2＋2＝9．當且僅當a＝b＝c

時取等號，1

1又因為a，b，c互不相等，所以a＋b＋c1>9．[母題探究]本例條件不變，求證：1a1－1

－1

1b

c

－1

>8．[證明]

因為

a，b，c

是正數(shù)，且

a＋b＋c＝1，1所以a－1＝>0，b－1＝b＋c

a＋ca

b1

1>0，c－1＝a＋bc>0，1

1

1

a

b

c

所以

－1

－1

－1＝·

b

·b＋c

a＋c

a＋ba

c≥2

bc·2ac·2

ababc＝8，當且僅當a＝b＝c

時取等號，因為a，b，c

互不相等，所以a－1

－11

1

1

b

c－1>8．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結合起來考慮，比如本題通過“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用基本不等式創(chuàng)造條件，另一方面可實現(xiàn)約分與不等式的右邊建立聯(lián)系．先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質(注意限制條件)，通過相加(乘)合成為符合待證的不等式，既是運用基本不等式時的一種重要技能，也是證明不等式時的一種常用方法．[跟進訓練]3．已知a，b，c

為不全相等的正實數(shù)．求證：a＋b＋c> ab＋

bc＋

ca．ca>0．[證明]

∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2

ab>0，b＋c≥2

bc>0，c＋a≥2∴2(a＋b＋c)≥2(

ab＋bc＋ca)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca．由于a，b，c

為不全相等的正實數(shù)，故等號不成立．∴a＋b＋c> ab＋

bc＋

ca．[解]

∵x>0，∴12

0,4x>0．x

>∴1212x

＋4x≥2

x

·4x＝8

3．12當且僅當

x

＝4x，即

x＝

3時取最小值

8

3，12∴當

x>0時，

x

＋4x

的最小值為

8

3．(2)當

x<0時，求12

4x的最大值；x

＋[解]

∵x<0，∴－x>0．則

12

＋(－4x)≥2

12

·(－4x)＝8

3，－x

－x－x當且僅當12

＝－4x

時，即x＝－3時取等號．∴12x

＋4x≤－8

3．x12∴當

x<0

時， ＋4x

的最大值為－8

3．(3)當x>1時，求2x＋8x－1的最小值；[解]

2x＋8x－1＝2(x－1)＋4x－12

＋

，∵x>1，∴x－1>0，∴2x＋

8

≥2×2

4＋2＝10，x－1當且僅當x－1＝4x－1，即x＝3

時，取等號．x－1∴當

x>1

時，2x＋

x

的最小值為

10．x(4)已知4x＋a(x>0，a>0)在x＝3

時取得最小值，求a

的值．a[解]

4x＋x≥2a4x·x＝4

a，a當且僅當4x＝x，即a＝4x2＝36

時取等號，∴a＝36．利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件，解題時應對照已知和欲求的式子運用適當?shù)摹安痦棥⑻眄?、配湊、變形”等方法?chuàng)設應用基本不等式的條件.具體可歸納為三句話：一不正，用其相反數(shù)，改變不等號方向；二不定應湊出定和或定積；三不等，一般用單調性.[跟進訓練]44x－54．(1)已知

x<5，求

y＝4x－2＋

1

的最大值；5[解]

∵x<4，∴5－4x>0，∴y＝4x－2＋

1

4x－5

＝－5－4x＋

1

5－4x＋3≤－2＋3＝1，當且僅當

5－4x＝

1

，即

x＝1

時，上式等號成立，5－4x故當x＝1

時，ymax＝1．(2)已知0<x<1，求y＝1x(1－2x)的最大值；2

22[解]

∵0<x<1，∴1－2x>0，14

42∴y＝

×2x(1－2x)≤

×

＝

×

＝1

2x＋1－2x2

1

1

14

4

16．1214∴當且僅當

2x＝1－2x0<x<

，即

x＝

時，ymax＝

1

16．(3)已知x>0，求函數(shù)y＝x2＋5x＋4x的最小值．[解]

∵y＝x2＋5x＋4x4＝x＋x＋5≥24＋5＝9，4當且僅當x＝x即x＝2

時等號成立．故y＝x2＋5x＋4x(x>0)的最小值為9．學習效果·課堂評估夯基礎0391．已知

x>0，則x＋x

的最小值為(

)A．6

B．5

C．4D．399A

[∵x>0，∴x＋x≥2

x·x＝6．x當且僅當x＝9即x＝3

時取得最小值6．]2．設a，b

為正數(shù)，且a＋b≤4則()1

1A．a＋b≤1C．ab≤4B．1＋1≥2a

bD．ab≥82a＋b2C

[設

a，b

為正數(shù)，且

a＋b≥