不等式證明與最值問(wèn)題

不等式證明與最值問(wèn)題(一)均值不等式的運(yùn)用(1)均值不等式的運(yùn)用：a2+b2>2ab；當(dāng)a>0,b>0時(shí)，a+b>2^ab附：完全的均值不等式：d[(a2+b2)/2]>(a+b)/2>dab>2/(1/a+1/b)(二次冪平均>算術(shù)平均>幾何平均>調(diào)和平均)注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)；可以先假設(shè)成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代換。(1)注意“1”的代換：已知x>0,y>0,滿(mǎn)足4/x+16/y=1。求x+y的最小值解：x+y=(x+y)(4/x+16/y)=20+4y/x+16xy三20+2J[(4y/x)?(16x/y)]=36注意：千萬(wàn)不可：1=4/x+16/y三16/J(xy),J(xy)三16,故：x+y三2J(xy)=32歸納：x,ya,b都是正數(shù)且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。解：因?yàn)?a/x)+(b/y)=1故：x+y=(x+y)[(a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x^a+b+2V(xb/y*ya/x)=a+b+2V(ab)練習(xí)：1、已知x,y>0,1/x+2/y=1,求x+y的最小值。(答案：3+2弋2)2、已知x,y>0,1/x+9/y=1,求x+y的最小值。(答案：16)1、已知a>0,b>0,求證:(1/a+1/b)(1/a2+1/b2)(a3+b3)^8解：(1/a+1/b)(1/a2+1/b2)(a3+b3)^2V[1/(ab)]-2V[1/(a2b2)]-2V(a3b3)=82、已知a+b+c=1,a,b,c為不全相等的實(shí)數(shù)，求證：a2+b2+c2>1/3解：a2+b2^2ab,a2+c2三2ac,b?+c2三2bc因?yàn)閍,b,c為不全相等的實(shí)數(shù)，故：上面三式不能同時(shí)取等號(hào)。故：2(a2+b2+c2)三2ab+2bc+2ac故：3(a2+b2+c2)三(a+b+c)2=1故：a2+b2+c2>1/3練習(xí)：1、已知x>0,y>0,3x+2y=12,求lgx+lgy的最大值。(答案：lg6)2、若x,y>0,且2x2+y2/3=8,求xJ(6+2y2)的最大值答案：943/2,提示：先把xJ(6+2y2)平方]a>0,b>0,c>0,求證：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a三6解：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a=a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)三2+2+2=6()a>0,b>0,c>0,求證：bc/a+ac/b+ab/c三a+b+c解：bc/a+ac/b+ab/c=2bc/(2a)+2ac/(2b)+2ab/(2c)=[bc/(2a)+ac/(2b)]+[ac/(2b)+ab/(2c)]+[ab/(2c)+bc/(2a)]三a+b+c()已知a>0,b>0,c>0,求證：a/Jb+b/Jc+c/Ja三Ja+Jb+Jc證明：a/Jb+Jb三2Ja；b/Jc+Jc三2Jb；c/Ja+Ja三2Jc故：a/Jb+Jb+b/Jc+Jc+c/Ja+JaN2Ja+2Jb+2Jc故：a/Jb+b/Jc+c/Ja^Ja+Jb+Jc()已知x<0,求y=x+1/x的最大值解：因?yàn)閤<0,故：/故：(x)+(1/x)三2故：y=x+1/xW2()1已知a>b>0,求a+1/[(ab)b的最小值解：a+1/[(ab)b]=(ab)+b+1/[(a)b]三3,此時(shí)a=2,b=12、若0Vx<1,求證：a2/x+b2/(1x)三(ab3解：?.?0(x<1,???0(1<1，a2/x+b2/(1x)=2/x*[x+(1x)]+2/(1x)[x+(1x)]=a2+a2(1x)/x+2+b2x/(1x)三a2+b2+2ab=(a+b)2當(dāng)a2(1x)/x=2x/(1x時(shí)，取等號(hào)。練習(xí)：當(dāng)a>1時(shí)，4/(a1)+由勺最小值是()。(答案：)(一)均值不等式的運(yùn)用(2)均值不等式的運(yùn)用：a2+b2>2ab；當(dāng)a>0,b>0時(shí)，a+b>2^ab附：完全的均值不等式：d[(a2+b2)/2]>(a+b)/2>dab>2/(1/a+1/b)(二次冪平均>算術(shù)平均>幾何平均>調(diào)和平均)注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)；可以先假設(shè)成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代換。(已知二次函數(shù)f(x)=ax2bx+,且f(x)=0的兩根為x1,x2都在(0,1)內(nèi)，求證：f(0)?f(1)Wa2/1證明：因?yàn)閒(x)=0的兩根為x1,x2,故：可設(shè)f(x)=a(xx1)(xx2)因?yàn)?<x1<1,0<x2<1故：f(0)?f(1)=a?x1?x2?a(1x1)(1x2)=a*x1(1x1)?x2(1x2)Wa2?[(x1+1x1)/2]2-[(x2+1x2)]2=a2/1(已知a,b>0,a+b=1,求證：J(a+1/2)+J(b+1/2)W2證明：J(a+1/2)=J[1?(a+1/2)]W(1+a+1/2)/2=3/4+a/2同理：J(b+1/2)W3/4+b/2故：J(a+1/2)+J(b+1/2)W3/2+(a+b)/2=2(10)a,b,c>0,比較a3+b3+c3與a2b+b?c+c2a的大小解：a2+b2三2ab故：a2-ab+b2三ab不等式兩邊同乘以a+b,不等號(hào)方向不變?？傻?a3+b3Na2b+b2a(1)同理可得:b3+c3^b2c+c2b(2)c3+a3>c2a+a2c(3)(1)+(2)+(3)得：2(a3+b3+c3)三2(a2b+b2c+c2a)a3+b3+c3三a2b+b2c+c2a(11)設(shè)a、b、c都是正數(shù)，求證1/2a+1/2b+1/2c>1Z(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)證明：因?yàn)?a-b”三0故：a?2ab+b三0故：az+2ab+b2三4ab故：(a+b)2三4ab［兩邊同時(shí)除以4ab/(a+b)故：(a+b)/4ab三1/(a+b)故：1/(4a)+a/(4b)三1/(a+b)同理：1/(4a)+1/(4c)三1/(a+c)；1/(4b)+1/(4c)三1/(b+c)故：1/(4a)+a/(4b)+1/(4a)+1/(4c)+1/(4b)+1/(4c)三1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)故：1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)>1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)(12)均值代換：已知a+b=1,a,b￡R,求證：(a+2)2+(b+2)2三25/2解；?.?a+b=1,設(shè)a=1/2+,b=1/2故：(a+2)2+(b+2)2=22+25/2三25/2(13)已知：x,y>0,2x+y=1,求證：1/x+1/y三3+2J2證明：設(shè)2x=m/(m+n),y=n/(m+n)(m,n>0)故：1/x+1/y=3+2n/m+m/n三3+2J2(二)利用判別式“△=b2-4ac”及一元二次方程1、若x2+xy+y2=1，且x,y為實(shí)數(shù)，則x?+y2的取值范圍？解：令t=x2+y2>0故：y2=t-x2故：y=±V(t-x2)故：t±xJ(t-x2)=1故：x2(t-x2)=(1-t)2故：xA4-tx2+(1-t)2=0故：△=t2-4(1-t)2三0故：2/3WtW2即：2/3Wx2+y2W22、設(shè)a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,求ab、a+b的最小值解：abW［(a+b)/2］2，故：［(a+b)/2］2-(a+b)-1三0故：a+bN2J2+2［其中a+bN—2J2+2舍去］故:a+b的最小值是2J2+2,此時(shí)a=b=J2+1因?yàn)閍b=1+(a+b)三242+3,故ab的最小值是2J2+33、設(shè)a+b+c=1,a2+b2+c2=1且a>b>c,求證:-1/3<c<0證明：因?yàn)閍+b+c=1,故：(a+b+c)2=1,即：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1因?yàn)閍2+b2+c2=1,故：ab+ac+bc=0,故：a、b、c中至少一個(gè)負(fù)數(shù)因?yàn)閍>b>c,故：c<0因?yàn)閍+b+c=1,ab+ac+bc=0故：a+b=1-c,ab=c(1-c)故：a、b可以看作方程x2+(c-1)x+c(1-c)=0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根故：△=(c-1)2-4c(c-1)>0故：(c-1)(c-1-4c)>0故：-1/3<c<1故：-1/3<c<04、已知X>0,Y>0且XY-X-Y=1,求X+Y的最小值解：設(shè)X+Y=t,因?yàn)閄>0,Y>0故：t>0因?yàn)閄Y-X-Y=1故：XY—1+t故：X、Y可以看作方程z2-tz+(1+t)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根故：△=t2-4(1+t)三0故：t2-4t-4三0(t-2)2三8故：后2己2+2,或tW—2J2+2(因?yàn)閠>0)故：tN2J2+2故：X+Y的最小值是2J2+2,此時(shí)X=Y=J2+15、.已知正數(shù)ab滿(mǎn)足a+b=1,求ab+1/ab的最小值解：二,正數(shù)ab.??ab+1/abN2令ab+1/ab=tN2故：ab=[t±V(t2-4)]/2故：a、b可以看作方程x-x+[t±J(t2-4)]/2=0的兩根故：△=1-4義[t±J(t2-4)]/2三0故：士J(t2-4)*1/2因?yàn)閠-1/2>0故：J(t2-4)Nt-1/2>0故：tN17/4故：ab+1/ab的最小值是17/4,此時(shí)a=b=1/2(三)利用幾何意義求極值1、求下面函數(shù)的極小值：y=^(x2+4)+^[(12-x)2+9]解：d(x2+4)+d[(12-x)2+9]可以看作點(diǎn)(x,0)到點(diǎn)(0,2)和(12,3)的距離之和而點(diǎn)(0,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(0,-2)故：最小值就是(0,-2)和(12,3)之間的距離，即：132、a,b,c分別為直角三角形的三邊，c