北京初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)期中典型試卷1

2021-2022學(xué)年下學(xué)期北京初中數(shù)學(xué)八年級(jí)期中典型試卷1

一.選擇題（共8小題）

1.（2020秋?和平區(qū)期末）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則下列條件中不能判定4

A8C是直角三角形的是（）

A.。=1,b=l,c=yf2B.Z?=3,c=4

C.Q=l,/7=V3?C=2D.a=3,b—4,c—yfj

2.（2021春?西城區(qū)校級(jí)期中）下列方程中，一元二次方程是（）

22

A.x-2x+l=0B.x-2y=0C.ax+bx+c=0D._J^+g=g

x

3.（2020春?朝陽(yáng)區(qū)期末）若菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和10,則菱形的面積為（）

A.60B.30C.24D.15

4.（2021春?曲阜市期末）下列曲線中，表示y是x的函數(shù)的是（）

5.（2019?德?？h模擬）已知一次函數(shù)、=履+6,y隨著x的增大而減小，且幼＜0,則在直

角坐標(biāo)系內(nèi)它的大致圖象是（）

6.（2019春?順義區(qū)期末）方程（x-2）2=3G-2）的解是（）

A.x=5B.x=2C.x=5或x=2D.x=l或x=2

7.（2021春?曲阜市期末）如圖，四邊形ABC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,且互相平分.若添加

下列條件，不能判定四邊形A3CQ為矩形的是（)

A.AC=BDB.ZDAB=90°

C.AB=ADD.ZADC+ZABC=\SO°

8.（2019?河?xùn)|區(qū)一模）如圖，正方形A3CO的邊長(zhǎng)為8,M在OC上，且￡>M=2,N是AC

上一動(dòng)點(diǎn)，則QN+MN的最小值為（）

二.填空題（共8小題）

9.（2014春?天津期末）二次根式缶行有意義的條件是.

10.（2009?大連）計(jì)算：（F+1）（V3-1）=.

11.（2019?黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCC中，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)?zhí)?/p>

加一個(gè)條件,使平行四邊形ABC。是矩形.

12.（2021春?西城區(qū)校級(jí)期中）方程（%-4）（%-5）=0的解為.

13.（2021春?昌平區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)、B（2,-3）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

14.（2021春?昌平區(qū)校級(jí)期中）如圖，為估計(jì)池塘兩岸邊A、B兩點(diǎn)間的距離，在池塘的一

側(cè)選取點(diǎn)C,分別取AC、BC的中點(diǎn)D、E,測(cè)得DE=15m,則A、B兩點(diǎn)間的距離是.

15.（2019春?大興區(qū)期末）一次函數(shù)y^ax+b的圖象如圖，則不等式以+6>0的解集

16.（2016?睢寧縣一模）關(guān)于x的方程/-卷+4=0有兩個(gè)相等實(shí)根，則.

三.解答題（共10小題）

17.（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：

（1）（3.14-n）0-|2-V3I-（―）-1

3

（2）V48V2-）JlxV12+V54-

18.（2021秋?芝果區(qū)期中）如圖，在△A8C中，C￡>_LA8于點(diǎn)。，AC=20,CB=15,BD

=9.求AD與△ABC的面積.

19.（2021春?大興區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC中，ZC=90°,若AC=6,AB=8,求

20.（2021春?大興區(qū)期中）aABC的三邊長(zhǎng)分別為。、b、c,且滿足4：b：c=l：、/&2,

試判斷AABC的形狀并說(shuō)明理由.

21.（2020春?豐臺(tái)區(qū)期末）下面是小明設(shè)計(jì)的“在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形”的尺規(guī)作圖

過(guò)程.

已知：四邊形ABCZ）是平行四邊形.

求作：菱形ABE尸（點(diǎn)E在8C上，點(diǎn)尸在AD上）.

作法：①以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交A。于點(diǎn)F；

②以8為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交8c于點(diǎn)E；

③連接EF.

所以四邊形ABE尸為所求的菱形.

根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：'：AF=AB,BE=AB,

在。ABC。中，AD//BC,

即AF//BE.

，四邊形ABE尸為平行四邊形.（）（填推理的依據(jù)）

"：AF=AB,

...四邊形ABEF為菱形.（）（填推理的依據(jù)）

22.（2021?重慶模擬）已知：如圖，四邊形ABCQ是平行四邊形，CE〃B力交AQ的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E,CE=AC.

（1）求證：四邊形A8CD是矩形；

（2）若AB=4,AO=3,求四邊形BCE。的周長(zhǎng).

23.(2009?永州)如圖，平行四邊形A8CZ),E、尸兩點(diǎn)在對(duì)角線BO上，且BE=￡>F,連接

AE,EC,CF,FA.

24.(2021春?辛集市期末)如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,網(wǎng)格的中

心標(biāo)記為點(diǎn)。按要求畫(huà)四邊形，使它的四個(gè)頂點(diǎn)均落在格點(diǎn)上，且點(diǎn)。為其對(duì)角線交

點(diǎn)：

(1)在圖1中畫(huà)一個(gè)兩邊長(zhǎng)分別為6和4的矩形；

(2)在圖2中畫(huà)一個(gè)平行四邊形，使它有且只有一條對(duì)角線與(1)中矩形的對(duì)角線相

圖3

25.(2021春?東城區(qū)期中)直線人：y=kx+b(k￥0)與直線田y=ox+l(aWO)相交于點(diǎn)

A(1,3).

(1)求直線/2的表達(dá)式；

(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)記直線/i，直線/2,和x軸圍成的區(qū)域(不含邊

界)為W.

①當(dāng)&=-3時(shí)，直接寫(xiě)出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

小明同學(xué)遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,M是邊長(zhǎng)為。的正方形A8C。內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)?/p>

圖中作出兩條直線(要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M),將正方形ABCD的面積分割成面積

相等的四個(gè)部分.

小明是這樣思考的：數(shù)學(xué)課上曾經(jīng)做過(guò)一道類似的題目，如圖2,。是邊長(zhǎng)為。的正方形

ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，將以點(diǎn)0為頂點(diǎn)的直角繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，且兩直角邊分別與BA,

C8相交，與正方形重疊部分(即陰影部分)的面積為一個(gè)確定的值.可以類比解決此問(wèn)

題.

參考小明同學(xué)的想法，解答問(wèn)題：

(1)請(qǐng)你回答圖2中重疊部分(即陰影部分)的面積為；

(2)請(qǐng)你在圖3中，解決原問(wèn)題：

(3)如圖4,在四邊形AOCD中，A(0,1),C(4,0),D(4,3),點(diǎn)P是的中

點(diǎn)，在邊OC上存在一點(diǎn)Q,使PQ所在直線將四邊形AOCO的面積分成相等的兩部分,

請(qǐng)你畫(huà)出該直線，并直接寫(xiě)出該直線的表達(dá)式.

2021-2022學(xué)年下學(xué)期北京初中數(shù)學(xué)八年級(jí)期中典型試卷1

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2020秋?和平區(qū)期末）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則下列條件中不能判定4

ABC是直角三角形的是（）

A.a=\,b=1>c—y/2B.a—2,b—3,c—4

C.a=l,c=2D.a=3,b=4,C=A/7

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】先分別求出兩小邊的平方和和最長(zhǎng)的邊的平方，再看看是否相等即可.

【解答】解：A.Vl2+12=（V2）2,

...以1，1，正為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.V22+32^42,

.?.以2,3,4為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

C.V12+（V3）2=22,

...以1,炳,2為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.V32+（V?）2=42,

.?.以3,4,夜為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意：

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊〃、人的平方和等

于第三邊c的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

2.（2021春?西城區(qū)校級(jí)期中）下列方程中，一元二次方程是（）

22

A.x-2x+l=0B.x-2y—0C.ax+bx+c—0D._^-+2=Q

x

【考點(diǎn)】一元二次方程的一般形式；一元二次方程的定義.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；符號(hào)意識(shí).

【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

【解答】解：兒屬于一元二次方程，符合題意；

B.屬于二元二次方程，不符合題意；

C.當(dāng)4=0時(shí).，該方程不是一元二次方程，不符合題意；

D.屬于分式方程，不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定義，一元二次方

程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：

①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；

②只含有一個(gè)未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

3.（2020春?朝陽(yáng)區(qū)期末）若菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和10,則菱形的面積為（）

A.60B.30C.24D.15

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)菱形面積等于對(duì)角線乘積的一半進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：根據(jù)菱形面積等于對(duì)角線乘積的一半可得：5-1x10X6=30.

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握菱形面積等于對(duì)角線乘積的一

半.

4.（2021春?曲阜市期末）下列曲線中，表示y是x的函數(shù)的是（）

【考點(diǎn)】函數(shù)的概念.

【專題】函數(shù)及其圖象；應(yīng)用意識(shí).

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義解答即可.

【解答】解：A、不能表示y是x的函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；

B、不能表示y是x的函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；

C、不能表示y是x的函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；

D、能表示y是x的函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了函數(shù)概念，關(guān)鍵是掌握在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量*與y,對(duì)

于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù)，x是自變量.

5.（2019?德?？h模擬）已知一次函數(shù)y隨著x的增大而減小，且幼<0,則在直

角坐標(biāo)系內(nèi)它的大致圖象是（）

【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】模型思想.

【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【解答】解：???一次函數(shù)）'=依+兒y隨著x的增大而減小

“<0

又?：kb<0

：.b>0

此一次函數(shù)圖象過(guò)第一，二，四象限.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì).k>0,圖象過(guò)第1,3象限；k<0,圖象過(guò)第2,4

象限.b>0,圖象與），軸正半軸相交；。=0,圖象過(guò)原點(diǎn)；b<0,圖象與y軸負(fù)半軸相

交.

6.（2019春?順義區(qū)期末）方程（x-2）2=3（x-2）的解是（）

A.x=5B.x=2C.x=5或x=2D.x=l或x=2

【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.

【專題】計(jì)算題；一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案.

【解答】解：：(x-2)2=3(x-2),

/.(x-2)2-3(%-2)=0,

(x-2)(x-2-3)=0,

；.x=2或x=5,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬

于基礎(chǔ)題型、

7.(2021春?曲阜市期末)如圖，四邊形ABC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,且互相平分.若添加

下列條件，不能判定四邊形為矩形的是()

A.AC=BDB.NDAB=90°

C.AB=ADD.ZADC+ZABC=180°

【考點(diǎn)】矩形的判定.

【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】首先證出四邊形4BCO是平行四邊形，再分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判定是不是

矩形即可.

【解答】解：???四邊形A8C。的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,且互相平分，

二四邊形488是平行四邊形，

若AC=BD,則四邊形ABCD是矩形，

故選項(xiàng)A不符合題意；

若/D4B=90°,則四邊形A3C。是矩形，

故選項(xiàng)8不符合題意；

若則四邊形A8C。是菱形，

故選項(xiàng)C符合題意；

?；四邊形ABC。是平行四邊形，

，ZADC=ZABC,

若/ADC+/A3c=180°,

，/A￡>C=NA8C=90°,

則四邊形48C。是矩形，

故選項(xiàng)。不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握矩形

的判定定理.

8.（2019?河?xùn)|區(qū)一模）如圖，正方形4BCC的功長(zhǎng)為8,M在OC上，且OM=2,N是AC

上一動(dòng)點(diǎn)，則。N+MN的最小值為（）

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.

【分析】要求OV+MN的最小值，DN,MN不能直接求，可考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化。N,

例N的值，從而找出其最小值求解.

【解答】解：如圖，連接

???點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，

:.NB=ND,

則BM就是DN+MN的最小值，

,/正方形ABCD的邊長(zhǎng)是8,DM=2,

：.CM=6,

BM=y§2+§2=10,

.,.OV+MN的最小值是10.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的難點(diǎn)在

于確定滿足條件的點(diǎn)N的位置：利用軸對(duì)稱的方法.然后熟練運(yùn)用勾股定理.

二.填空題（共8小題）

9.（2014春?天津期末）二次根式收￡?有意義的條件是一年工.

2-

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.

【分析】二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

【解答】解：依題意得2x-1>0,

解得在工

2

故答案是：

2

【點(diǎn)評(píng)】考查了二次根式的意義和性質(zhì).概念：式子4Q20）叫二次根式.性質(zhì)：二

次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義.

10.（2009?大連）計(jì)算：（通+1）（V3-1）=2.

【考點(diǎn)】二次根式的乘除法；平方差公式.

【分析】直接利用平方差公式解題即可.

【解答】解：（我+1）（V3-1）=（V3）2-1=3-1=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生利用平方差公式進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算能力，既要掌握數(shù)學(xué)中常用的平

方差公式?2-序=（。+6）（a-b）,還要掌握無(wú)理數(shù)乘方的運(yùn)算規(guī)律.

11.（2019?黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCD中，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)?zhí)?/p>

加一個(gè)條件NA8C=90°或,使平行四邊形ABCD是矩形.

【考點(diǎn)】矩形的判定；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】根據(jù)“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”填空.

【解答】解：添加條件：N48C=90°或A3LA8（答案不唯一）.

理由：：四邊形ABCZ）是平行四邊形，NABC=90°,

平行四邊形ABC。是矩形（矩形的定義）.

故答案是：ZABC=90°.

【點(diǎn)評(píng)】考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì).矩形的判定：①矩形的定義：有一個(gè)

角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平

行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形"）.

12.（2021春?西城區(qū)校級(jí)期中）方程（%-4）（x-5）=0的解為,=4,&=5.

【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】直接利用因式分解法解方程即可.

【解答】解：；（x-4）（x-5）=0,

.,.X-4=0或x-5=0,

??x\=4,X2=5；

故答案為：xi=4,X2=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

13.（2021春?昌平區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)、B（2,-3）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,3）.

【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).

【專題】平面直角坐標(biāo)系；符號(hào)意識(shí).

【分析】直接利用關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：點(diǎn)3（2,-3）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,3）.

故答案為：（2,3）.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

14.（2021春?昌平區(qū)校級(jí)期中）如圖，為估計(jì)池塘兩岸邊A、B兩點(diǎn)間的距離，在池塘的一

側(cè)選取點(diǎn)C,分別取AC、BC的中點(diǎn)ZXE,測(cè)得￡>E=15，〃，則A、B兩點(diǎn)間的距離是304.

【考點(diǎn)】三角形中位線定理.

【專題】三角形；運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得出OE=LB,再求出答案即可.

2

【解答】解：???￡>、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，

:.DE=1AB,

2

即AB=2DE,

"：DE=\5m,

：.AB=30（而，

故答案為：30m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，注意：三角形的中位線等于第三邊的一半.

15.（2019春?大興區(qū)期末）一次函數(shù)y=ar+b的圖象如圖，則不等式火+〃>0的解集為一

>1.

【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式.

【專題】數(shù)形結(jié)合.

【分析】觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x>l時(shí)，一次函數(shù)圖象在x軸上方，即y=or+6>0.

【解答】解：當(dāng)x>l時(shí)，y>0，即以+。>0.

故答案為x>l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函

數(shù)y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確

定直線在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.

16.（2016?睢寧縣一模）關(guān)于x的方程?-利什4=0有兩個(gè)相等實(shí)根，則m=+4.

【考點(diǎn)】根的判別式.

【專題】探究型.

【分析】先根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得出A=0即可得到關(guān)于m的方程，

求出m的值即可.

【解答】解：???關(guān)于X的方程/-，加+4=0有兩個(gè)相等實(shí)根,

；.△=(-/?)2-4X4=0,解得m=±4.

故答案為：±4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根的判別式，根據(jù)題意得出關(guān)于，〃的方程是解答此題的關(guān)鍵.

三.解答題（共10小題）

17.（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：

（1）（3.14-n）°-|2-V3I-（―）

3

（2）需

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；零指數(shù)幕；負(fù)整數(shù)指數(shù)基.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)鼎、負(fù)整數(shù)指數(shù)基和絕對(duì)值的意義計(jì)算；

（2）先根據(jù)二次根式的乘除法則運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)后合并即可.

【解答】解：（1）原式=1-（2-V3）-3

=1-2473-3

=V3-4；

（2）原式=>48+2-祗X12+3遙

=2瓜-后3a

=4^/6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行

二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈

活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

18.（2021秋?芝景區(qū)期中）如圖，在△ABC中，CO_LAB于點(diǎn)D,AC=20,CB=15,BD

=9.求AO與△ABC的面積.

【考點(diǎn)】三角形的面積.

【專題】三角形；運(yùn)算能力.

【分析】利用勾股定理求得8的長(zhǎng)度，再次利用勾股定理可求得4。的長(zhǎng)度，從而結(jié)合

三角形的面積公式可求AABC的面積.

【解答】解：?.?C￡>_LAB于點(diǎn)￡>,CB=15,BD=9,

AC￡)=VBC2-BD2

=V152-92

=12,

VAC=20,

;MD=VAC2-CD2

=V202-122

=16,

.,?SA4BC=—

2

=A(AD+BD/CD

2

=Ax(16+9)X12

2

=150.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的面積，勾股定理，解答的關(guān)鍵是利用勾股定理求得CD

的長(zhǎng)與的長(zhǎng).

19.(2021春?大興區(qū)期中)已知：如圖，在△ABC中，ZC=90°,若AC=6,AB=8,求

的長(zhǎng).

B

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】直接根據(jù)勾股定理求出8C的長(zhǎng)即可；

【解答】解：,.?RtZXABC中,ZC=90°,AC=6,AB=8,

BC=y]AB2-AC2=V82-62=V28=2V7-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.

20.（2021春?大興區(qū)期中）ZVIBC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且滿足a：b：c=l：、/§：2,

試判斷AABC的形狀并說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到aABC為直角三角形.

【解答】解：△ABC是直角三角形.

理由：

"?"<7：b：c—1：^3：2,

.,.設(shè)a=A,b-1\f3k,c—2k,

7a2+b2=（k）2+（V3k）2=4k2>d=4二,

'.a2+bz=c2,

.?.△ABC是直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理與其逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形，已知三

角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

21.（2020春?豐臺(tái)區(qū)期末）下面是小明設(shè)計(jì)的“在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形”的尺規(guī)作圖

過(guò)程.

己知：四邊形ABCO是平行四邊形.

求作：菱形ABEF（點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AO上）.

作法：①以A為圓心，A8長(zhǎng)為半徑作弧，交4。于點(diǎn)F；

②以8為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交8c于點(diǎn)E；

③連接EF.

所以四邊形ABEF為所求的菱形.

根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明："：AF=AB,BE=AB,

AF=BE.

在。ABC。中，AD//BC,

即AF//BE.

四邊形ABEF為平行四邊形，（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）（填

推理的依據(jù)）

\"AF=AB,

，四邊形ABE尸為菱形.（鄰邊相等的四邊形是菱形）（填推理的依據(jù)）

【考點(diǎn)】作圖一復(fù)雜作圖；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì).

【專題】作圖題；應(yīng)用意識(shí).

【分析】（1）根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可.

（2）利用平行四邊形的判定，菱形的判定解決問(wèn)題即可.

【解答】（D解：菱形ABEF即為所求.

（2）證明：'：AF=AB,BE=AB,

：.AF=BE,

在。ABC。中，AD//BC,

即AF//BE.

四邊形ABEF為平行四邊形.（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，）（填推

理的依據(jù)）

"：AF=AB,

四邊形ABEF為菱形.（鄰邊相等的四邊形是菱形）

故答案為：AF=BE,一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的四邊形是

菱形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

22.(2021?重慶模擬)己知：如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，CE〃B。交AO的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E,CE=AC.

(1)求證：四邊形A3CD是矩形；

(2)若AB=4,AD=3,求四邊形8CEO的周長(zhǎng).

【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AE//BC,推出四邊形BCED是平行四邊形,

得到CE=BD.根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)勾股定理得到BD=JAB2+AD2=442+32=5-根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)公式即

可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

.'.AE//BC,

■:CE//BD,

...四邊形BCED是平行四邊形,

：.CE=BD.

'：CE=AC,

：.AC=BD.

.“ABC。是矩形；

(2)解：-：AB=4,AD=3,NZMB=90°,

BD=VAB2+AD2=742+32=5-

,/四邊形BCED是平行四邊形，

四邊形BCEQ的周長(zhǎng)為2(BC+BD)=2X(3+5)=16.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形

的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

23.（2009?永州）如圖，平行四邊形ABC。，E、F兩點(diǎn)在對(duì)角線8。上，且BE=OF,連接

AE,EC,CF,FA.

求證：四邊形4EC尸是平行四邊形.

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】根據(jù)兩條對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形AECF是平行

四邊形.

【解答】證明：連接AC交3。于點(diǎn)O,

,/四邊形ABCD為平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD.

:BE=DF,：.OE=OF.

四邊形AECF為平行四邊形.

【點(diǎn)評(píng)】平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，

同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.

24.（2021春?辛集市期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,網(wǎng)格的中

心標(biāo)記為點(diǎn)O.按要求畫(huà)四邊形，使它的四個(gè)頂點(diǎn)均落在格點(diǎn)上，且點(diǎn)O為其對(duì)角線交

點(diǎn)：

（1）在圖1中畫(huà)一個(gè)兩邊長(zhǎng)分別為6和4的矩形；

（2）在圖2中畫(huà)一個(gè)平行四邊形，使它有且只有一條對(duì)角線與（1）中矩形的對(duì)角線相

等；

（3）在圖3中畫(huà)一個(gè)正方形，使它的對(duì)角線與（1）中所畫(huà)矩形的對(duì)角線相等.

P

圖3

【考點(diǎn)】作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；矩形的性質(zhì).

【專題】作圖題；應(yīng)用意識(shí).

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到結(jié)論：

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖1，矩形ABCD即為所求;

(2)如圖2,平行四邊形ABCSQ即為所求；

(3)如圖3,正方形A8CD即為所求.

AP

O

BC

圖3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正方形

的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

25.(2021春?東城區(qū)期中)直線小y^kx+b(kWO)與直線勿y=ar+l(aWO)相交于點(diǎn)

A(1,3).

（1）求直線/2的表達(dá)式；

（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)記直線/i，直線/2,和x軸圍成的區(qū)域（不含邊

界）為W.

①當(dāng)&=-3時(shí)，直接寫(xiě)出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線相交或平行問(wèn)題；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；待定系數(shù)法求一次函

數(shù)解析式.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；

（2）①當(dāng)上=-3時(shí)代入點(diǎn)A坐標(biāo)即可求出直線解析式，進(jìn)而分析出整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②當(dāng)/i繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,1）時(shí)，當(dāng)/|繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,2）時(shí)，當(dāng)繞

點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3,1）時(shí)，當(dāng)/|繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2,1）時(shí)，然后把這些

邊界點(diǎn)代入確定k的值，即可求得4的取值范圍.

【解答】解：（1）?.?直線自y=ax+l過(guò)點(diǎn)A（1,3）.

?**4=2,

??.直線/2為y=2x+l.

（2）①當(dāng)上=-3時(shí)，y=-31+兒把A（1,3）代入得3=-3+4

解得：b=6,

如圖，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè);

②當(dāng)/1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,1）時(shí)，

此時(shí)滿足『+b=3,

l2k+b=l

解得:尸2,

lb=5

當(dāng)人繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,2）時(shí)，

此時(shí)滿足『+b=3,

l2k+b=2

解得

Ib=4

...當(dāng)時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)恰好為3個(gè);

當(dāng)八繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3,1）時(shí)，

此時(shí)滿足付b=3,

I_3k+b=l

g

2

解得：匚，

.噸

當(dāng)/1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2,1）時(shí)，

此時(shí)滿足『+b=3,

I-2k+b=l

岸

3

解得：7，

???當(dāng)工w4<2時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)恰好為3個(gè)；

23

綜上所述，4的取值范圍是-2Vz-1或工

23

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，會(huì)運(yùn)用邊界點(diǎn)分析問(wèn)題是解題

的關(guān)鍵.

26.（2021春?東城區(qū)期中）閱讀下列材料：

小明同學(xué)遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，M是邊長(zhǎng)為。的正方形ABC。內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)?/p>

圖中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M）,將正方形ABC。的面積分割成面積

相等的四個(gè)部分.

小明是這樣思考的：數(shù)學(xué)課上曾經(jīng)做過(guò)一道類似的題目，如圖2,。是邊長(zhǎng)為a的正方形

A8C。的對(duì)角線的交點(diǎn)，將以點(diǎn)。為頂點(diǎn)的直角繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，且兩直角邊分別與BA,

CB相交，與正方形重疊部分（即陰影部分）的面積為一個(gè)確定的值.可以類比解決此問(wèn)

題.

參考小明同學(xué)的想法，解答問(wèn)題：

（1）請(qǐng)你回答圖2中重疊部分（即陰影部分）的面積為12.

-4-

（2）請(qǐng)你在圖3中，解決原問(wèn)題：

（3）如圖4,在四邊形AOCZ）中，A（0,1）,C（4,0）,D（4,3）,點(diǎn)P是的中

點(diǎn)，在邊OC上存在一點(diǎn)。，使PQ所在直線將四邊形AOCD的面積分成相等的兩部分,

請(qǐng)你畫(huà)出該直線，并直接寫(xiě)出該直線的表達(dá)式.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力；應(yīng)用意識(shí).

【分析】(1)證明△EOB絲△/。C從而SMOB=S?OC，重疊部分(即陰影部分)的面積

為S&BOF+S&EOB=S&BOF+S&FOC=S&BOC，且S^BOC^^A4SC=—X^a2=^-a2,即可得

2224

到答案；

(2)連接AC、BD交于0,作直線OM交AD、8c于G、F,過(guò)。作EH_LOM,交AB、

CD于E、H,直線GF、EH即為滿足條件的直線；

(3)連接OP并延長(zhǎng)交CD延長(zhǎng)線于E,在CO上取C。，使CQ=DE,連接PQ,則直

線CQ即為所求直線，求出P、Q坐標(biāo)，即可得解析式.

【解答】解：(1)如圖：

???四邊形ABC。是正方形，

：.OB=OC,NOBE=NOCF=45°,/8OC=90°,

：NEO尸=90°,

NEOB=90°-ZBOF=ZFOC,

在△EOB和中，

，ZE0B=ZF0C

<OB=OC，

,Z0BE=Z0CF

MEOB冬AFOC(ASA),

:,SAEOB=S4FOC，

.??重疊部分(即陰影部分)的面積為SA8O/;+SAEO8=SZ\B"'+S"'OC=SABOC，

而正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,

===

S/\BOC—SI\ABC工*工2=12,

2224

.?.重疊部分(即陰影部分)的面積為工2,

4

故答案為：」y2；

4

(2)連接4C、BD交于0,作直線O例交A。、BC于G、F,過(guò)。作E/7JLOM,交A8、

由(1)知S叫邊形OEBF=1-4/2,

4

同理可得S四邊膨AEOG=Sni!iniDCOH—SWU1KCHOF=—Cl2>

4

?'?Spqii?OEBF=S叫邊形AEOG=S四邊脛DGOH=SNii?CHOF=-^a~>

4

直線GF、EH即為滿足條件的直線;

(3)連接OP并延長(zhǎng)交CD延長(zhǎng)線于E,在CO上取CQ,使CQ=DE,連接PQ,則直

線CQ即為所求直線，如圖:

過(guò)P作尸M_LOC于M,PN1CD于N,

VA(0,1),C(4,0),D(4,3),點(diǎn)P是A。的中點(diǎn),

：.P(2,2),CD//OA,刑=尸。①，

：.ZEDP=ZOAP?,

設(shè)直線OP解析式為y=/nx,將P(2,2)代入得：

2—2m,解得，〃=1,

二直線OP解析式為產(chǎn)x,

令x=4得y=4,

：.E(4,4),

：.DE=l,

：.DE=OA@f

由①②③可得：/\AOP^/\DEP(SAS),

S^AOP=SADEP，

?'S^Hi^AOCD=S^EOC^

???點(diǎn)P是AD的中點(diǎn),

**?S^POC=S^EPC=—S^EOC=—S四邊形AOCD，

22

VP(2,2),C(4,0),PM_LOC于M,PN工CD于N,

:?PM=2=PN,

又DE=OA=CQ,

SADEP=S〉CPQ，

5ACPQ—S^DEP=SAAOP,

:?S四邊形AOQP=Sz\AOP+S△尸OQ=S/\CPQ+S△尸OQ=SAPOC=1"S四邊形AOCD，

2

：.PQ所在直線將四邊形AOCO的面積分成相等的兩部分，

VC(4,0),CF=OA=\,

：.Q(3,0),

設(shè)直線尸。解析式為了=區(qū)+小將尸(2,2),Q(3,0)代入得：

(2=2k+b,解得(k=-2,

l0=3k+b[b=6

；.PQ解析式為y=-2x+6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形判定、性質(zhì)，一次函數(shù)解析式等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的中心對(duì)稱性.

考點(diǎn)卡片

1.平方差公式

(1)平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

Ca+b)Ca-b)=a2-b2,

(2)應(yīng)用平方差公式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；

②右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；

③公式中的a和方可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；

④對(duì)形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運(yùn)用這個(gè)公式計(jì)算，且會(huì)比用多項(xiàng)式乘以多

項(xiàng)式法則簡(jiǎn)便.

2.零指數(shù)第

零指數(shù)塞：a°=l(a#0)

由可推出/=1(.壬0)

注意：O°W1.

3.負(fù)整數(shù)指數(shù)募

負(fù)整數(shù)指數(shù)幕：ap^\ap(aWO,p為正整數(shù))

注意：①“W0；

②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕時(shí)，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的意義計(jì)算，避免出現(xiàn)(-3)一2=(-3)

X(-2)的錯(cuò)誤.

③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序.

4.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

(1)二次根式的概念.形如八(a20)的式子叫做二次根式.

(2)二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

(3)二次根式具有非負(fù)性.4(a2O)是一個(gè)非負(fù)數(shù).

學(xué)習(xí)要求：

能根據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)來(lái)確定二次根式被開(kāi)方數(shù)中字母的取值范圍，并能利

用二次根式的非負(fù)性解決相關(guān)問(wèn)題.

【規(guī)律方法】二次根式有無(wú)意義的條件

1.如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開(kāi)

方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

5.二次根式的乘除法

（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：4耳=4（?！?,b20）

（2）二次根式的乘法法則：Va*Vb=Va^b（。20，b20）

（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.=泉（心0,b>0）

（4）二次根式的除法法則：苧=卓（“NO,b>0）

規(guī)律方法總結(jié)：

在使用性質(zhì)??4（。20,b20）時(shí)一定要注意”20,b^O的條件限制，如果a

<0,〃<0,使用該性質(zhì)會(huì)使二次根式無(wú)意義，如（皿）X（口）W-4X-9；同樣的

在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此.

6.二次根式的混合運(yùn)算

（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.學(xué)習(xí)二次

根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多

項(xiàng)式

（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式.

（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)

的解題途徑，往往能事半功倍.

7.一元二次方程的定義

（1）一元二次方程的定義：

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：

①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；

②只含有一個(gè)未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”;

“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0"；“整式方程”.

8.一元二次方程的一般形式

（1）一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式以^bx+cu。

（aWO）.這種形式叫一元二次方程的一般形式.

其中一叫做二次項(xiàng)，4叫做二次項(xiàng)系數(shù)；法叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng).一次項(xiàng)系數(shù)h和

常數(shù)項(xiàng)?？扇∪我鈱?shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)。是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)。=0時(shí)，方程中就

沒(méi)有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了.

（2）要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式.

9.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形

式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零：②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式

分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

10.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（△=y-4雙）判斷方程的根的情況.

一元二次方程公?+6%+°=0（a#0）的根與△=房-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立.

11.函數(shù)的概念

函數(shù)的定義：設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量X與y，對(duì)于X的每一個(gè)確定的值，y都有唯

一的值與其對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù)，x是自變量.

說(shuō)明：對(duì)于函數(shù)概念的理解：①有兩個(gè)變量：②一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值的變

化而發(fā)生變化；③對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)值有且只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，即單對(duì)

應(yīng).

12.一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

由于與y軸交于（0,b）,當(dāng)匕>0時(shí)，（0,b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交

于正半軸；當(dāng)6<0時(shí)，（0,6）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸.

①《>0,的圖象在一、二、三象限；

@k>0,匕<0=y=fcc+6的圖象在一、三、四象限；

@k<0,b>0=y=fcv+b的圖象在一、二、四象限；

@k<0,的圖象在二、三、四象限.

13.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是：

（1）先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時(shí)，先設(shè)y=fcr+公

（2）將自變量x的值及與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的

方程或方程組；

（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫(xiě)出函數(shù)解析式.

注意：求正比例函數(shù)，只要一對(duì)x,y的值就可以，因?yàn)樗挥幸粋€(gè)待定系數(shù)；而求一次函

數(shù)y=fcv+6,則需要兩組x,y的值.

14.一次函數(shù)與一元一次不等式

（1）一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=fcc+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范

圍；

從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=^+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所

構(gòu)成的集合.

（2）用畫(huà)函數(shù)圖象的方法解不等式fcr+b>0（或<0）

對(duì)應(yīng)一次函數(shù)它與x軸交點(diǎn)為（-白",0）.

k

當(dāng)2>0時(shí)，不等式依+b>0的解為：上，不等式履+〃<0的解為：x<上；

kk

當(dāng)k〈0,不等式fcv+%>0的解為：》<一殳，不等式履+Z?VO的解為：￡>一殳.

kk

15.兩條直線相交或平行問(wèn)題

直線y=Ax+"(ZWO,且k,匕為常數(shù))，當(dāng)左相同，且，不相等，圖象平行；當(dāng)人不同，且

人相等，圖象相交；當(dāng)％b都相同時(shí)，兩條線段重合.

(1)兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題

兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組

的解.