結(jié)構(gòu)化學(xué)-課后習(xí)題答案-郭用猷張冬菊第二版

題解

1.1.給出黑體輻射頻率分布函數(shù)R(u,T)的單位。

解：黑體輻射的頻率分布函數(shù)RW,T)表示黑體輻射的頻率分布，RW,T)di/表示在溫度r單位時(shí)間內(nèi)

由單位黑體表面積上所發(fā)射的頻率在v-v+dv間的輻射能量。

/?(v)s-1=Jm-2-s-'

R(y)=J-m~2

J-m-2=-m2-s=w-m'2-s

s

式中w是功率.

1.2.分別計(jì)算紅光2=600nm和X射線/I=100pm的1個(gè)光子的能量、動(dòng)量和質(zhì)量。

chhv

解：V——，E=hv1p=—,77?=——

A2c2

(1)波長4=600nm的紅光，

E.=hv.^6.626X10-34J-SX3X1°—^3.313X10-19J

11eooxio^m

/?6.626x10-34j.$

=1.104xl(T27kg.m7

4—600xIO'm

hv_3.313xlOl9J

m,}=3.681xlO-36kg

7r-(3x101『y

(2)X射線^EOOpm

。?-1

￡,=/7V=6.626xlO-34J-sx—~=i§88x10-打

22?100xl0-12m

h6.626x10-34j.$

=6.626x10-24kg

PlIT-100xlQ-12m

M-1.988xl(r”j

2.209x1O-32kg

m27r—(3xl()8m-sT)2

1.3.計(jì)算波長X=400nm的光照射到金屬鈉上所產(chǎn)生的光電子的初速度。已知鈉的臨閾波長為600nm

解：根據(jù)r=hv-w

1

其中，9

T=3〃[,?,W=hvQ

~me02=hv-hv。

2(//v-/iv)

O=0

me

2x^626x10^x3x10^1

)

9.110xl0-31400x10-9600x1O-9

=6.030xlO5(m-s-1)

氫原子光譜中巴爾麥系中波長最長的一條譜線的波數(shù)、波長和頻率各是多少？波長最短的一條呢？

解：氫原子光譜中巴爾麥系譜線的波數(shù)可表達(dá)為

?11

八R(齊一/)〃=3,4,???

i

其中R=1.097X105cm1,稱為Rydberg常數(shù)。

n=3對應(yīng)波長最長的一條譜線，

=1.097x105x(U)=1.524x1()4cm-i

49

—~6.562x103cm=656.2pm

叫

68-1141

v,=v}c=(1.524X10m-')X(3x10m-s)=4.572x10s-

〃=8對應(yīng)波長最長的一條譜線，

*2=R*—-=1.097X105X=2.743x104cm-'

2,=——=3.646x10scm=364.6nm

6-18_114-1

r2=v2c=(2.743xlOcm)x(3xlOm-s)=8.229xIOs

1.5.求氫原子光譜中賴蛇系第3條譜線的波數(shù)、波長和頻率。

~11

解：v—/?(-z-----z-)Yi—2,3,4,-,

1武

〃二4為第三條譜線

v=1.097x10W-(1--)=1.028x105cm1

2=9.728x10-6cm=972.8nm

V=VC=(1.028xio7m-,)x(3xl08s-,)=3.084xl015sJ

1.6.氫原子光譜中賴曼系、巴爾麥系和帕邢系的譜線能否互相穿插，為什么

答：不能。

賴曼系:v=巨("■-4)，〃=2,3,4???

?3

波數(shù)最長的一條譜線("=8)是黃，波數(shù)最短的一條譜線(〃=2)是一頁，所以賴曼系的波數(shù)

4

3??108~~

范圍在區(qū)間［一R,R］,即［—R,R］.

4144

同理，巴爾麥系(*=黃(」7--1),〃=3,4,5…)的波數(shù)范圍在區(qū)間,即

22n-364

20~36~~11

［—R,——R］：帕邢系(/=/?(丁--^,“=4,5,6…)的波數(shù)范圍在區(qū)間

14414432?2

7~1~7~16~

［一R-R］,即［一R,一R］。

1449144144

由此可知，氫原子光譜中三個(gè)譜系的譜線出現(xiàn)在不同的波數(shù)范圍，不能相互穿插。

1.7.在氫原子光譜的各線系中，相鄰兩譜線間的距離是等間隔、還是朝著短波的方向遞減或遞增？

答：

△江=v?+1-v?,隨丫之增加而減小。

以賴曼系為例予以說明

?11

P=/?(---),〃=2,3,4…

1

2

/?(———r+^-----r)

n(n+1)'??'(?+1)-

我們看到，隨著n的增大，相鄰兩譜線間的間距△吃朝著色增加(短波)的方向在減小。這是由于

隨著"的增大，能級間隔在減小的原因。

1.8.求波長為0.1nm的電子和中子的動(dòng)量和動(dòng)能。

解：電子：^.6626xWj4bsk..-l

7?==1J=6X-24gms

A0.1xl0-9m62610

電子質(zhì)量機(jī)，=9.110x103lkg

7p2(6.626x10-24)2=2.410x10*j

一菽-2x9.110x1()3

h_6.626x10-34jp

=6.626x10-24-1

中子:kg-m-s

2-0.1x10-9m

中子質(zhì)量zn“=1.675xl(r27kg

T=(6.626x10^=i3iixio_2O;

2m,2x1.675x1O-27

1.9.求下列粒子的德布羅意波長：

(1)能量為100eV的自由電子；

(2)能量為0.1eV的白由中子；

(3)能量為0.1eV,質(zhì)量為1g的粒子。

",hh6.626x10-34

解(D4=—=丁-----=-j—

PV2x9.110xl0-3,xl00xl.602xl0-19

=1.226xl0T。m=122.6pm

,6.626x10-34

(2)?=/_

J2x1.675x1()27x0.lxl.602x1019

=9.045x1011m-90.45pm

,6.626xlO*34

(3).=i----=

V2xl.0xl0-3x0.1xl.602xl0-19

=1.171x10-22m=1.171x10Topm

1.10.用速度。=lxl()9cm.sT的電子進(jìn)行衍射試驗(yàn)，若所用晶體粉末的面間距離為242pm,晶體

粉末離底板距離為2.5cm,求第2條和第3條衍射環(huán)紋的半徑。

ar

解：根據(jù)公式2dsin]=和=,進(jìn)行計(jì)算

其中d為晶體粉末的面間距；％為電子的波長；a為衍射角：〃為衍射級次，〃=L2,3,???；

/?為衍射環(huán)紋的半徑，/為晶體粉末離底板的距離。

71=2時(shí)：

,ah26.626xlO-34八

19-2

2dmevd(^.HOiaixlxlOxlOx242x10*

a=34.99°

r-l-tga-2.5x0.6999=1.750cm

n=3時(shí)：

3

.ah33x6.626x1O-34

9-2-12=0.4508

'2-2meud~ZxC^,HOKJ-yx1X10X10x242xlO

a=53.59°

r=I-tga=2.5x1.356=3.390cm

i.n.?個(gè)運(yùn)動(dòng)速度為u的自由粒子，有人作了如下推導(dǎo)：

abhchvdEe1

mup———mu

/2uu2

得出［=■!?的錯(cuò)誤結(jié)論，試問其推導(dǎo)過程中哪些過程是錯(cuò)誤的。

2

答：過程c和e有誤。

c中引入4=2是錯(cuò)誤的，這里的U是振動(dòng)的傳播速度，而非粒子的運(yùn)動(dòng)速度，而開始的〃?U中的U

V

為粒子運(yùn)動(dòng)速度。

11

e中引入E=—mu92是錯(cuò)誤的，這里E不是動(dòng)能，因此，E^-mv9\

22

1.12.測不準(zhǔn)關(guān)系限制我們同時(shí)測定粒子的動(dòng)量和坐標(biāo)，但為什么經(jīng)典的物體不受限制呢？計(jì)算一個(gè)在一

球拍上10-6m范圍內(nèi)的質(zhì)量為500g的球的速度的最小不確定程度是多少？?個(gè)質(zhì)量為5g,速度在

35.00001至35.00000ms"的物體，其位置的不確定程度是多少？由此可知為什么經(jīng)典物理不受測不

準(zhǔn)原理的限制。

解：Ar,Ap2；力

Ap

因Au=—,Np=m，卜1)

in

ti

Ax?Au2——

2m

力h6,626xKT34

A>j—____—______—________________=1.055xl0-28(m-s-1)

2m4r4乃mAx4x3.1416x0.5x10^

由此看到，Au是如此之小，可以忽略不計(jì)。

h_h_6.626x10中

=1.055x10-27⑺)

2mAu4萬加4x3.1416x5x103xl05

由此看到，A。也是如此之小，也可以忽略不計(jì)。

1.13.一個(gè)靜止質(zhì)量為looog的物體，以速度。=3000m-sT運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量增加多少克？若速度為3x10$

78

ms',3xl0ms',lxl0ms',1.5x108ms」其質(zhì)量分別增加多少克?

(1)St?=3000ms-i時(shí)，m=.1000=1000.00000005g

Vi-io-10

A/n=5xl0"8g

(2)U=3xl()5ms"時(shí),Am=5xl0-4g

(3)U=3x10’ms"時(shí)，Aw=5.0378g

(4)u=ixi()8ms"時(shí),A/n=60.66g

(5)u=1.5x108ms"時(shí),Am=154.70g

我們看到，隨著u的增加，A加迅速增大。

1.14.1000kg水由0℃升到100℃,其質(zhì)量有何變化？是否需要考慮其質(zhì)量的變化？

4

解：1000kg水由(TC升高到100℃吸收熱量：

Q=1000X1o3gX1cal-g1X(100-0)=1X1o7cal

1cal=4.184J

2=4.184xl07J

Er->=me2

7

E4.184xl0in_9.<in,7

m=—*=--(-3--x-l-(--)8=)20.465xlOkg?5&x10g&

由此可見，質(zhì)量變化非常小，因此不需要考慮質(zhì)量的變化。

1.15.證明如果盧和?是線性算符，則。戶+8。和戶日也是線性算符。式中a,b為常數(shù)。

證明：⑴如果戶和&是線性算符，則有：

=A/]

F(ul+M2)+FU2(1)

戶

aF(u}+%)=a+aFu2(2)

G(W1(3)

+W2)=GW]+GW2

+w)=

b6(U]2hGu]+hGu2(4)

(2)+(4)得：

+劭)++。(知

aF(ux00(〃]+u2)=aFux+aFu^+bGu15

+%)=(。戶+

(aF+hG)(u1bG)u1+(aF+hG)u2

所以〃戶是線性算符。

(2)+w)=

FG(u}2F(Gux+GW2)=FGu]+FGu2

所以聲。也是線性算符。

1.16.證明若聲和不是厄米算符，則盧+G和戶。+。戶也是厄米算符。

證明：若戶和@是厄米算符，則有:

jw(F4-G)vdr=Gv)dr=Jw+Fvdr+Gvdv

=j(Fw)*vJr+j(Gw)\Jr

=j[(F+G)w]\rf

所以，戶+@是厄米算符。

\u(FG+GF)vdT=\u\FG)vdT+\u(GF^dr

=j(Fw)*GvJr+|(Gw)*FvJr

=J(GFw)*v6/r+^FGi^vdv

=j[(FG+GF>]*vJr

所以，戶。+6戶是厄米算符。

1.17.已知戶二人分，[4,月]=1,證明獷是算符戶屬于本征值;I的本征函數(shù)，則是算符戶屬于

本征值入1的本征函數(shù)，與”是算符戶屬于本征值2+1的本征函數(shù)。

人人人人人人人人人人

證明：[48]=1,即—24=1,AB=1-BA

人人人

Fw=W,即=

F(A收)=AB(A夕)=A(BA)i//=A(AB-1)〃

=A(ABi//_〃)=A(Ai//-(//)=

5

-AAy/-Ay/-(2.-1)A甲

即是算符戶屬于本征值4-1的本征函數(shù)。

卞@w)==(BA+1)(月〃)=BABy/+By/

=BAy/+Bi//-ZB+

=(/I+1)(月〃)

即以科是算符戶屬于本征值4+1的本征函數(shù)。

1.18.若〃是線性算符4的本征函數(shù)，則a”(。為常數(shù))是算符X屬于同?本征值的本征函數(shù)。

證明：若“是線性算符0屬于本征值為4的本征函數(shù)，即

Ay/-入w

由于a為一常數(shù)

則有：A(ai//)=aAi//=a^i//=A(a

即a?/也是算符A屬于同一本征值的本征函數(shù)。

1.19.證明線性算符屬于同?本征值的本征函數(shù)的任意線性組合仍然是屬于這?本征值的本征函數(shù)。

證明：設(shè),4、群B為線性算符Z屬于同一本證值2的本征函數(shù)，即：

4VzAMB=WB

設(shè)q、C2為任意常數(shù)

N(C]材A+，2〃8)A+CAl//=C4-A="C'l-A+，2“B)

=C|4-2B+C2A,I//B

即：線性算符屬于同一本征值的本征函數(shù)的任意線性組合仍然是屬于這一本征值的本征函數(shù)。

1,1,I?

1.20.函數(shù)exp(—廠)和xexp(—廣)是否算符(----^~+廣)的本征函數(shù)？若是，其本征值是多

22dx

少？

,d?9、Z1?xd「.10._7/I)、

證明：(-----+x-)exp(——x)=--^―[―xexp(——x-)]+x-exp(——)

=exp(--x2)+x[-xexp(--x2)]+x2exp(--x2)

=exp(-1x2)

即：函數(shù)exp(-x?)是算符(---^+了一)的本征函數(shù)，其本征值為1.

2dx

d2,1,d21,31,

(-—T+X)[xexp(--x-)]=--[xexp(--%-)]+x-exp(--x)

dx2dx~22

=-3fexp(-^x2)-x2exp(-^x2)]+x3exp(一！/)

dx222

1731731\312x

=xexpz(--xx)+2xexpz(--xx)-xexpz(--x)+xexpz(--x)

=3xexp(-^x2)

1d20

即：函數(shù)冗exp(一—爐0)是算符(——7+廣)的本征函數(shù)，其本征值為3.

2dx

1.21求卜列對易關(guān)系

⑴民川；(2)[px.py];⑶區(qū)px];(4)[x,py]

解：⑴[x,y]u=(xy-yx)u=xyu-yxu=0

6

所以：[x,y]=0

⑵[瓦,

/J"=(PxPy-PyPjU

=<(Th—)-(-iti—)>u

dxdydydx

>u=0

dxdydydx

即：加色］=0

(3)[x,p]u=(xp-px)u=[x[-ih—)-(-ih—x)]u

xxxoxox

d5.

=-inx——u+ih——z{XU)

dxdx

aa

=-itix—u+ihu+ihx—u

dxdx

=ihu

即：

(4)[x9p]u=(xp-px)u=[x(-ih^-)-{-ihx)]u

-dydy

d..5....dd

=-inx—u+in—(xu)=-inx—u+inx—u

dydydydy

=0

w：[x,py]=o

1.22證明3cos26-1是算符一力2(J+您夕且)的本征函數(shù)，并求其本征值。

d6~sin0d0

*2,?cos0d..，八.

證明：一方一(—7-----------)(3cos-。-1)

d0-sin^d0

*，&s2c八*，cos6ar2c八

=-h~——7(3COS-----------(3cos0-V)

d鏟sin?朋

8ccqf)

=一力2-----(—6cosOsin。)一力2-:—(-6cossin0)

d0sin。

=-722(6sin26-6cos2^)+/i2(6cos20)

=-6h2sin26+12力2cos20

=-6/72(1-COS26)+12方2cos之0

=-6力2+1802cos2。

=6^2(3COS26^-1)

所以，函數(shù)3cos2?！?是算符一方2（3+吧82）的本征函數(shù)，其本征值為6方2.

dO2sin050

1.23證明5cos3e-3cos6是算符一力2（工~+"，°0）的本征函數(shù),并求其本征值。證明:

d0~sin^SO

一力2（Cy+—）（5cos?。-3cos。）

dO2sin。。。

7

2zj久

=一力2(5cos3。-3cos6)一方2-----(5cos38-3cos。)

sin。。。

cacosf)今

=-h~—[15cos26sin6+3sin0)-h2------(-15cos26sine+3sin0)

d0sin，

=2[30cossin2^-15cos3+3cos2(15cos36)—力23cos6)

=-30^2cos0sin26+15-cos30-3h2cos/9+15^2cos3夕一3方？cos。

=—30%2cos6+30%cos30+15力2cos30—6/22cos￡+15%2cos,0

=60%2cos3。一36方2cos。

=12方"5cos'。-3cos。)

a?°o

所以，函數(shù)5cos3。-3cos。是算符一力2(―7+蟲——L)的本征函數(shù)，其本征值為12方，

d0~sin^SO

1.24函數(shù)sinxcos去，cos2x和sit?x-cos?x中哪些是的本征函數(shù)，本征值是多少？哪些是

dx

力的本征函數(shù)，本征值是多少？

dx2

解：—sinxcoskx=cosxcoskx-sinxsinkx

dx

-^-vsinxcosfcx=-sinxcoskx-kcosxsinkx

dx2

+kcosxsin攵尤一攵2sinxcoskx

—cos2x=-2sinxcosx

dx

-^-rcos2x=-2cos2x+2sin2x

dx2

-j-(sin2x-cos2x)=2sinxcosx+2sinxcosx=4sinxcosx

--(sin2x-cos2x)=-4(sin2x-cos2x)

dx2

所以，只有S.lY2x-COS2X是一d2f的本征函數(shù)，本征值是-4.

dx2

1.25卜列哪些函數(shù)是算符?-的本征函數(shù)，本征值是多少？

dx

ikyF

(I)e■.(2)Inx；(3)k；(4)kx

解：⑴=ike淑

dx

d,1

(2)—Inx=-

dx￡x

=O

(3)公

d

A

(4)z-

e而是，本征值為次：k是,本征值為0：函數(shù)Inx和E不是.

8

j2

1.26下列哪些函數(shù)是算符巴方的本征函數(shù)，本征值是多少？

dx2

(1)elkx\(2)Inx;(3)cosfcc；(4)

解(i)匚*ikeikx=-k2eikx

dxdx

dx2dxxx2

(3)-^-7coskx=—(-ksinkx)=-k2coskx

dx-dx

(4)與e-小=@(_2代e-婷)

dx2dx

所以，e'h是，本征值為d；InX不是；cos丘是，本征值為-比"小不是.

1.27歸一化的波函數(shù)和未歸一化的波函數(shù)的物理意義有何區(qū)別？

答：歸一化的波函數(shù)表示粒子出現(xiàn)在整個(gè)空間的幾率等于】；未歸一化的波函數(shù)表示粒子出現(xiàn)在整個(gè)空間的

幾率等于一個(gè)常數(shù)。

1.28某一體系，其狀態(tài)函數(shù)〃要用三個(gè)量子數(shù)J,K,M標(biāo)記，5K.M，三個(gè)量子數(shù)之間的關(guān)系是

J=0,1,2,

M=0,±1,±2,---±J

K=0,±l,±2,---

能級是

E=BJ(J+\)+(A-B)K2

式中A,B是常數(shù)，討論其簡并度。

解：這要討論同一J,同一片有多少狀態(tài)，即有多少個(gè)(J,M,K)之集合。對于同一J,M有2J+1個(gè)取

值，對于同K2,當(dāng)K2=0,K有?個(gè)取值，當(dāng)K2H0,K有兩個(gè)取值，所以

2J+1當(dāng)K=0

簡并度

2(27+1)當(dāng)KYO

1.29如果函數(shù)①；是正交歸?化的，則其線性組合”=￡匕①j歸化的充要條件是Zq*q=1.

證明：(1)必要條件：

由于函數(shù)中是正交歸一化的,

1(/=；)

所以，J①;①//=<

0(皿)

-=①,=。出+，2①2+…

=J(gq①,)？生中出

=J(C]R+C2①2+…)*(<?']①?+Q①2+…)八

=[(9①]+。2①2+…)*(09+c2①2+…)公

=c；G+c*c2+???=》上

要使“歸一化，使Zq*q.=l即可

9

所以=i是3歸一化的必要條件。

(2)充分條件：

如果2。；生=1,必有J/'y/dT=1

i

即Xc<*c1=i是獷歸一化的充分條件。

1.30—質(zhì)量為"I的自由粒子，在區(qū)間[a,b](a#0.b#0)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，處于波函數(shù)①=’所描述的狀態(tài)，將①歸

X

?化，并求坐標(biāo)x的平均值。

解：f(―)Mx=l

X

fd)2dx=f=(--)*=~T+~=~~T'

xxxbaab

歸一化常數(shù)K=J0一

\b-a

1.31-質(zhì)量為m的自由粒子，在區(qū)間[a,b](aM,b=0)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，求其處于狀態(tài)中=工時(shí)能量的平均值。

X

方=-尤《

解:

2mdx

a八『'1方2d②i

力2

ab

=標(biāo)(__L+_L)

m(b-d)3x32m(Jb-a)3/?33/

_-ah/

m(b-a)3//

a1+ab+b2,

=----------------Ji2

3a2b2m

1.32求處于下列波函數(shù)所描述的狀態(tài)的自由粒子的動(dòng)量平均值。運(yùn)動(dòng)區(qū)間為(-8,+8).

(1)eikx(2)cosAx(3)e~ax~

io

解：⑴p=-itl—

xdx

9)=e-^i-ih—Y^dx

1-00dx

=￡e-ikx{-ih)eikxikdx

=左力[e-ik'eikxdx

=kh

(注：e人為自由粒子波函數(shù)，其本征值為連續(xù)譜，歸?化為狄拉克b函數(shù))

(2)(p)=[coskx(-ih—)coskxdx

/dx

=訪(coskxsinkxdx

=0

⑶(p)=1e-*(T%geyx

8dx

=e~axihe~aK(-2ax)dx

=o

1.33設(shè)有一個(gè)質(zhì)量為m的自由粒子(勢能V=0),給出下列3種情況的薛定騁方程，并指出描述其狀態(tài)的

波函數(shù)各是哪些變量的函數(shù)。

(1)在三維空間中運(yùn)動(dòng)；

(2)被束縛在半徑為a的球面上運(yùn)動(dòng)(球面上勢能為零，球內(nèi)外勢能為無窮大)；

(3)被束縛在半徑為a的圓周上運(yùn)動(dòng)(圓周上勢能為零，圓周內(nèi)外勢能為無窮大)。

力2?

解：(1)--------▽?〃=

2m

3=〃(x,y,z)

bi"2e、ia,.o°、ia2

r2drddr2sin6d6d0r2sin20d0

(2)〃=-(e,。)，r為常數(shù)

h2.15.9.1d2~\廠

-------7(----------(zsin0n—)+-----------7)y/=Ei//

2mcTsin。。。d0sin*-0d(/)~J

JI

(3)”=r-a,為一常數(shù)，sin^=siny=1

,方-2、ZT

(-------7--w=Ell/

2ma~3.

1.34寫出平面剛性轉(zhuǎn)子，即被束縛在一圓周上的粒子的薛定譚方程，并求其解。解：薛定譚方程

(-------y--)1//=El//

2ma2df

d22ma2E,、

整理得；-一-w+----；一〃=0

(1，方2平

±—^2ma2E^

該方程的兩個(gè)特解為：i//=e"

邊界條件要求3r(。)=什(。+2萬)

+-^2mazEip土-H2m『E(0+2")

即：e*=eG

u

將上式寫成復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表達(dá)式:______________

^2ma2E..^2ma2E^2ma2E、」_??hnYE

hhfih

使該方程成立，需要復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別相等

飛2mdE^2ma2E

cos------------°=cos------------(°+2))

fih

.\llma2E,.《Zma2E.,..

sin------------(p—sin------------\(p+2冗)

hh

J29,

為滿足上述兩式，———2萬=〃2兀,〃=0,1,2,…

力

42moiE

即：---------=n

h

口n2h2

E=-——y

2ma~

波函數(shù)可以寫作：甲=，'漳、(〃=±1,±2,???)

將波函數(shù)歸一化：〃(〃=±1,±2,???)

1.35求被束縛在半徑為。的圓周上運(yùn)動(dòng)的粒子處于狀態(tài)-(°)=COS0時(shí)角度。的平均值。(狀態(tài)

W((p)=cos。未歸一化)

J,cos?阿。

解：(。)=

￡cos2烈。

積分公式j(luò)0cosQ/。=cos0+0sin。

<24°1An

I,0(cosM由=/0(1+cos20)d0

——+a(cos20+20sin20)

fcosW=lf?；2”11,

(1+cos2°)d°=+—sin2。)丁

=兀

⑷=-=71

71

22

1.36將一維箱中粒子的波函數(shù)歸一化時(shí)，得7=一,取8-可不可以，為何只取3=

aaa

而不取69

-也可以，但通常為簡便只取3=J2.這是因?yàn)椴ê瘮?shù)是幾率波，粒子在空間某點(diǎn)出

答：取8

aVci

現(xiàn)的幾率密度與『成正比，將波函數(shù)乘以一個(gè)常數(shù)因子，不改變粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

12

1.37在討論?維箱中粒子的邊界條件時(shí)，由Bsir\Lj2mEa=0，得Lj2mEa=n兀滿足上式的〃

力h

可取o,±1,±2,……，為何只取正值而不取負(fù)值和零？

答：若，2=0,得到的是零解，即以光)=0,我們所要求的是非零解：若〃取負(fù)值，只是波函數(shù)改變符號，

其所描述的粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變。

，、2.7TXa

1.38處于狀態(tài)為Wi(x)=J—sin—的?維箱中的粒子，出現(xiàn)在x=一處的兒率是

\aa2

=(J^sin—.^-)2=—,這種說法對嗎?

2

答：不對。正確的說法是(3)表示粒子在x=4處出現(xiàn)的幾率密度是4.

22a

1.39求處于基態(tài)的一維箱中的粒子出現(xiàn)在0.25。＜九40.75。內(nèi)的幾率。。是一維箱的長。

,、2.71X

解：基態(tài)波函數(shù)為：=sin—

Vaa

2m

0.75?cc0.75a1-COS---

rZ.2r

幾率：p=—sin2-xdx=---------n-dx

Q.25aaa0025a2

c0.75ai[0.75a。

2f1.1r2m.

=_1_dx—1cos——dx

。0.25〃2a0.25a。

075a

c2小”八八八1iar.1o7ixn-

——(0.75—0.25)?！獂—sin---

aa2"_ci_025a

=0.5———(sin--sin—)

27r22

=0.5+-

71

=0.818

1.40—質(zhì)量為"的粒子，在長為a的?維箱中運(yùn)動(dòng)，若將箱長平均分為3段,求該粒子處于第一激發(fā)態(tài)時(shí)

出現(xiàn)在各段的幾率。

解：/。)=—sm—

Vaa

!

號2.，萬,1

p,=—sin-xdx=-+—=0.4022

*aa38萬

2

%2.2萬,1

p)=—sin—xdx=——■—=0.1955

"faa34萬

-a

c

Pa=1—sin—xdx=-F—=0.4022

2」aa384

—a

3

1.41?電子在長為0.6nm的?維箱中運(yùn)動(dòng),由能級〃=5躍遷到〃=4所發(fā)出的光子的波長是多少？

?n2h2

解：E=、

8"。一

13

25*I6h29h2

44=---------7一7--------22

8mea8meaSmea

考

he6.626x10-34x3x1()8

=1.320x10“m=132.0nm

9x(6.626xIQ-34)2

8x9.110X10-3IX(0.6X10-9)2

1.42一維箱中的電子的最低躍遷頻率為2.0xl0"sT,求箱長。

解:Z-I,=hv

l4/z2h23"

A卜,----------------------------

2-1222

SmaeeSmaeSm,a

3x6.626x10-34

-1.168x109m=1.168nm

8x9.U0xl0-3lx2.0xl014

47CX7CX,

1.43求處于狀態(tài)收(x)=—j=sin—cos?—的?維箱中的粒子的能量。若無確定值，求其平均值。

y/aaa

,/、4.7TX71X4,71XA12玄、

解：i1/(x)=_sin—cos2--=-sin—(—F—cos)

&aa無a22a

2.7DC2環(huán)

sin—(1+cos---)

4aaa

2.m2.TDC27zx

sin—+—j=sin—cos---

yfaaJacia

2

.m21.3TZX.m、

-sin——+—j=x—(zsin----sin——)

Q2aa

.7x1.34T

-sin—+—j=sin---

ay/aa

1歷.玄[2.3玄、

-&(-sin—+-sin——)

VaaVcia

一

一J_(〃]+-3)(波函數(shù)是歸一化的)

V2

是粒子的一個(gè)可能狀態(tài)。少3具有不同的能量本征值，所以處于狀態(tài)〃的粒子其能量無確定值。

27TX1227rx

1.44函數(shù)科(x)=2j-sin----3J—sin----是否?維箱中粒子的一個(gè)可能狀態(tài)？如果是，其能量

VaaVaa

有沒有確定值？如果有，其值是多少？如果沒有，其平均值是多少？

=2-—3憶

根據(jù)狀態(tài)疊加原理，/(X)是粒子的一個(gè)可能狀態(tài)，但處于該狀態(tài)的電子其能量沒有確定值。

/722/*、32/4/72、5h2

能量平均值：(E)=-x(----)+-x