量子力學(xué)PPT完整全套教學(xué)課件

量子力學(xué)全套PPT課件目錄量子論的誕生：歷史性回顧波函數(shù)與薛定諤方程不含時薛定諤方程及其解法力學(xué)量的本征值和本征函數(shù)態(tài)矢量和力學(xué)量的表象變換對稱性和守恒定律粒子在勢場中的運動角動量理論，自旋定態(tài)微擾論散射理論第一章量子論的誕生：歷史性回顧經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)普朗克量子假說光電效應(yīng)和愛因斯坦光量子假說康普頓散射原子穩(wěn)定性和玻爾量子論德布羅意物質(zhì)波1.1經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)經(jīng)典物理學(xué)（19世紀(jì)末-20世紀(jì)初）:經(jīng)典力學(xué)電磁學(xué)熱力學(xué)與統(tǒng)計物理構(gòu)成了當(dāng)時人們對自然界規(guī)律的基本認(rèn)識1.1經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)經(jīng)典物理學(xué)晴朗上空的兩朵“烏云”：邁克爾遜-莫雷實驗真空中的光速為一絕對常數(shù)，與參考系的選取無關(guān)。這一結(jié)果與經(jīng)典力學(xué)中的伽利略變換相矛盾。相對論(1905)1.1經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)黑體輻射問題量子論(1900)黑體是一種可以吸收全部入射的電磁輻射而不反射的理想物體。因此，黑體看起來不一定是“黑”的，其自身可以輻射電磁波-黑體輻射。1.1經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)黑體空腔模型：落在小孔上的光將最終被空腔完全吸收而無法逃逸。處于熱平衡狀態(tài)的空腔將充滿電磁輻射，即為黑體輻射。1.1經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)研究的現(xiàn)實意義：輻射的光譜與輻射源的材料、尺寸、形狀無關(guān)，只依賴于溫度。1.1經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)1.1經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)輻射光譜線只依賴于輻射源的溫度，而與其材料、大小和形狀等無關(guān)；輻射出射度的值在紅外和紫外極限下趨于零；

1.1經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)

1.1經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)通過電動力學(xué)+統(tǒng)計力學(xué)考查黑體輻射問題：空腔中電磁波

傅里葉分解

黑體輻射是由不同頻率的電磁波疊加而成，而其中單個波可被視為由兩個特定等頻率諧振子（輻射源）發(fā)出；為計算輻射能量密度，可以通過計算輻射源的能量。1.1經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)計算步驟：頻率/波數(shù)處于

的振子數(shù)密度:計算單個振子的平均能量：計算能量密度，通過以下關(guān)系提取輻射出射度:通過電動力學(xué)可以推導(dǎo)出（略）：1.1經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)考慮所有振子處于溫度為T

的熱平衡態(tài)。單個振子處于能量E

狀態(tài)的概率為：以上假設(shè)振子能量E

可以連續(xù)取值。于是，單個振子平均能量為，以上結(jié)果又稱能量均分定理。玻爾茲曼常數(shù)1.1經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)利用關(guān)系最終得到，(瑞利-金斯公式,

1900~1905)1.1經(jīng)典物理學(xué)的危機(jī)通過與黑體輻射曲線對比，在紫外區(qū)域，瑞利-金斯公式的預(yù)言嚴(yán)重偏離；瑞利-金斯公式無法給出斯忒藩-玻耳茲曼定律：

其預(yù)言黑體輻射的能量密度是無窮大，顯示是荒謬的。討論：從數(shù)學(xué)的角度看，“紫外災(zāi)難”的結(jié)果直接源自能量均分定理中振子平均能量與其頻率/波長無關(guān)這一結(jié)論；欲使理論預(yù)言與實際情況相符合，則振子平均能量須是其頻率的函數(shù)，且該函數(shù)在紫外區(qū)域必須衰減得足夠快。1.2普朗克能量量子化假說1900,普朗克假設(shè)振子發(fā)出的電磁波能量只能是某個能量最小單元的整數(shù)倍，該最小單元為其中

分別稱為普朗克常數(shù)和約化普朗克常數(shù)。普朗克當(dāng)時稱其為“作用量子”(quantum

of

action).當(dāng)作這一假設(shè)后，我們將發(fā)現(xiàn)，“紫外災(zāi)難”可以避免。1.2普朗克能量量子化假說根據(jù)普朗克的假設(shè)，單個振子能量的可能取值為，

(1.10)因此，振子能量處于En狀態(tài)的概率為，

(1.11)作業(yè)1-1：通過(1.10)和(1.11)，證明單個振子平均能量為：

(1.12)

提示：利用1.2普朗克能量量子化假說在紫外區(qū)域有，最后，將(1.8)和(1.12)聯(lián)立得到普朗克公式，1.2普朗克能量量子化假說與實驗數(shù)據(jù)和瑞利-金斯公式結(jié)果比較：

由于其在量子論的開創(chuàng)性工作，普朗克于1918年被授予諾貝爾物理學(xué)獎。1.2普朗克能量量子化假說作業(yè)1-2：由普朗克公式推出維恩位移定律和斯忒藩-玻耳茲曼定律(需確定積分常數(shù)a)?？衫茫海╪為正整數(shù)）1.3光電效應(yīng)和愛因斯坦光量子假說光電效應(yīng)

光電效應(yīng)指的是當(dāng)光線照到金屬表面時，從金屬表面逸出電子的現(xiàn)象。根據(jù)電磁學(xué)，光是攜帶能量的電磁波。當(dāng)光照射金屬的時候，若表面受束縛的電子從入射電磁波吸收足夠大的能量，則它們將克服束縛能逃逸出來。根據(jù)能量守恒，1.3光電效應(yīng)和愛因斯坦光量子假說由上式可知，逸出自由電子的條件為。1887,

赫茲在實驗中發(fā)現(xiàn)了無法用經(jīng)典物理學(xué)解釋的現(xiàn)象。實驗裝置如右圖，他發(fā)現(xiàn)如果入射光的頻率足夠大，電路中就有電流。但如果入射光的頻率小，無論光強(qiáng)再大也無電流。這意味著入射光的能量取決于其頻率而非振幅，這一點與經(jīng)典電磁學(xué)中電磁波的能量由其振幅(光強(qiáng))的結(jié)論相矛盾。受普朗克能量量子化假說啟發(fā)，1905年，愛因斯坦假設(shè)光是由光量子組成，每個光量子攜帶的能量為，1.3光電效應(yīng)和愛因斯坦光量子假說由于光的能量是量子化的，金屬中電子一次只能吸收一個光量子，

因此只有當(dāng)時才有電子逸出。完美地解釋了光電效應(yīng)實驗中觀察到的現(xiàn)象。經(jīng)典物理學(xué)中，楊氏雙縫干涉實驗已經(jīng)表明，光是(電磁)波。但在愛因斯坦的光量子假設(shè)物理圖像中，光分明具有粒子的屬性。這暗示著光具有波和粒子的雙重屬性。以上就是量子理論中，微觀粒子所具有的波粒二象性。1.3光電效應(yīng)和愛因斯坦光量子假說因此，光(量)子也應(yīng)像粒子一樣具有動量。根據(jù)狹義相對論中，無(靜)質(zhì)量粒子的能量-動量關(guān)系，可知，其動量應(yīng)為，由于應(yīng)用量子理論成功地解釋了光電效應(yīng)(而非相對論)，愛因斯坦被授予1921年的諾貝爾物理學(xué)獎。1.4康普頓散射光的粒子性之后也被康普頓散射這一現(xiàn)象所證實。1923年，康普頓發(fā)現(xiàn)當(dāng)X射線經(jīng)過石墨散射時，散射光呈現(xiàn)出增加的紅移，且這個紅移隨著散射角度的增加而增加，這現(xiàn)象被稱為康普頓效應(yīng)。1.4康普頓散射康普頓利用光量子假設(shè)，優(yōu)雅地解釋了這個現(xiàn)象。能量守恒:動量守恒：

1.4康普頓散射在其研究生吳有訓(xùn)的幫助下，康普頓進(jìn)一步測試了幾種不同的材料，并發(fā)現(xiàn)他的理論結(jié)果是普遍適用的。1927,康普頓由于對該現(xiàn)象的解釋和驗證獲得了諾貝爾獎。1.5原子穩(wěn)定性和玻爾量子論原子穩(wěn)定性問題1911,盧瑟福通過alpha粒子散射實驗探測測原子結(jié)構(gòu)。實驗結(jié)果顯示原子結(jié)構(gòu)看起來像是一個迷你的太陽系，它們由中心的原子核和周圍運動的電子構(gòu)成。但是，根據(jù)經(jīng)典電磁學(xué)，加速運動的電子會輻射電磁波，從而帶走原子能量。于是，電子最終無法維持其軌道而撞到原子核上。這導(dǎo)致原子是不穩(wěn)定的這一結(jié)論。1.5原子穩(wěn)定性和玻爾量子論

原子光譜問題原子中的電子在圓周運動過程中由于能量連續(xù)變化，發(fā)射光譜應(yīng)該是連續(xù)譜。然而實驗上，通過觀測氫原子可見光譜，發(fā)現(xiàn)其為離散譜，且滿足如下形式：其中為里德伯常數(shù).

為了克服經(jīng)典物理學(xué)遇到的困難，玻爾于1913提出了一個量子化的原子理論。

1.5原子穩(wěn)定性和玻爾量子論該理論主要由以下三個假設(shè)構(gòu)成：在原子只能穩(wěn)定地存在于與一系列離散能量相對應(yīng)的狀態(tài)中，這些狀態(tài)叫做定態(tài)。處于定態(tài)的原子不輻射能量。處于定態(tài)的原子中電子繞特定的軌道運動，其角動量為，

即角動量的量子化條件。1.5原子穩(wěn)定性和玻爾量子論原子只有在兩個定態(tài)之間躍遷時才發(fā)射或吸收電磁波。發(fā)射或吸收電磁波的頻率為，

其中

和

為兩個定態(tài)的能量。

1.5原子穩(wěn)定性和玻爾量子論作業(yè)1-3：對于氫原子，試通過波爾的假設(shè)結(jié)合經(jīng)典力學(xué)推導(dǎo)如下結(jié)果，

其中

為電子電荷，為電子質(zhì)量，為電子軌道半徑，為定態(tài)的能量，此處我們設(shè)庫倫常數(shù)為1（高斯制單位）.1.5原子穩(wěn)定性和玻爾量子論通過應(yīng)用波爾的第三個假設(shè)以及作業(yè)中第二個關(guān)系，原子的發(fā)射光譜線就可以由電子躍遷解釋，其中

即為里德伯常數(shù)。該公式也適用于不可見光。1.6德布羅意物質(zhì)波受光波粒二象性的啟發(fā)，年輕的科學(xué)家德布羅意于1924年進(jìn)一步提出，所有實物粒子都具有波粒二象性，且它們的能量和動量也滿足與光子相同的關(guān)系(稱德布羅意關(guān)系)注意，與光子不同，這兩個式子對于有質(zhì)量粒子而言是獨立的。這一假設(shè)于1927年被電子衍射實驗所證實。德布羅意也于1929年獲得諾貝爾物理學(xué)獎。1.6德布羅意物質(zhì)波把電子波動性用到氫原子的電子運動中，通過駐波條件可以得到波爾的角動量量子化假設(shè)：第二章波函數(shù)與薛定諤方程波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋平面波與波包量子態(tài)及其表象量子態(tài)的相干疊加性不確定性關(guān)系薛定諤方程連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值2.1波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋經(jīng)典力學(xué)中，要知道粒子的狀態(tài)即指的是確定該粒子的軌跡

一旦知道其軌跡，其他如，速度、動量和動能等都確定了。經(jīng)典力學(xué)中粒子的位置和動量是可以同時準(zhǔn)確知道的。2.1波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋在前一章中，我們提到任意實物粒子都可以用相應(yīng)的波來描述。但問題是，這是關(guān)于什么的波？2.1波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋在量子(波動)力學(xué)中，粒子軌跡這個經(jīng)典的概念被拋棄。引入一個新的物理量-波函數(shù)來刻畫粒子的狀態(tài)。通過求解其動力學(xué)方程-薛定諤方程，就能得知粒子的具體狀態(tài)。波函數(shù)：在給定時間粒子的一種分布函數(shù)，如(空間分布函數(shù))，且一般為復(fù)函數(shù)。Q:表示的這種分布的物理含義是什么？波恩統(tǒng)計詮釋1926,波恩首次提出了關(guān)于波函數(shù)的概率詮釋。2.1波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋波恩的統(tǒng)計詮釋認(rèn)為與發(fā)現(xiàn)粒子的概率直接相關(guān)。更準(zhǔn)確地來說

因此，可解釋為概率在空間的分布，物質(zhì)波就是概率波。例1.

如下一維波函數(shù)Q:何處是最(不)可能發(fā)現(xiàn)粒子的地方?

思考1分鐘2.1波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋:在b與e之間區(qū)域發(fā)現(xiàn)粒子的概率.

Q:假設(shè)某一時刻我們在a處觀測到了一個粒子，則該粒子在測量前的位置在哪?

2.1波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋正統(tǒng)觀點:

該粒子并不確切在任何地方。是觀測這一操作“迫使”選擇出現(xiàn)在一個切確的地方。盡管我們并不清楚它為何以及如何選擇了選擇出現(xiàn)在a。這也是哥本哈根學(xué)派的觀點。隱變量觀點：該觀點毫不含糊地認(rèn)為，粒子本就在那兒，這與觀測這一操作無關(guān)。波函數(shù)不包含所有信息，為了完備地描述粒子的所有信息，需要額外引入其他的信息(稱隱變量)。這一觀點為愛因斯坦和其他一些科學(xué)家所堅持。波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋從某種意義來說為量子力學(xué)引入了某種不確定性。這一點為愛因斯坦等人所堅決反對。而近期的一些實驗傾向于否定隱變量的假設(shè)。2.1波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋“Is

the

moon

there

when

nobody

looks?”---David

Mermin

in

19852.1波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋第5屆索爾維會議2.1波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋例2.

氫原子的“電子云”在波爾原子理論中，使用了電子軌道這一經(jīng)典概念。而量子力學(xué)只能預(yù)測電子出現(xiàn)的可能位置及其概率，這形成了電子云。下圖中，點最稠密的位置，就對應(yīng)與經(jīng)典物理中的軌道概念，因為它們是最容易找到電子的地方。在第7章,我們將詳細(xì)探討該話題。2.1波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋波函數(shù)的一般性討論我們將在2.6節(jié)介紹波函數(shù)的動力學(xué)方程-薛定諤方程。該方程是線性微分方程。若是方程的解，則也是方程的解，這里為任意有限的復(fù)常數(shù)。物理上，這兩個解表示同一狀態(tài)。對于現(xiàn)實中粒子而言，波函數(shù)應(yīng)是平方可積的，對于現(xiàn)實中粒子而言，其波函數(shù)總是可歸一化的，即總可以定義

使得

我們稱為歸一化波函數(shù)，C

為歸一化常數(shù)。2.1波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋當(dāng)為歸一化波函數(shù)時，才準(zhǔn)確表示概率密度。若在某一時刻t

是歸一化的，那它在任意時刻都是歸一化的。(在2.6節(jié)，我們將通過薛定諤方程給予證明。)

由于表示概率密度，所以它應(yīng)該是單值的。2.2平面波和波包

2.2平面波和波包

2.2平面波和波包于是，量子力學(xué)中的平面波也可以表示為對于3維空間的情況，

2.2平面波和波包波包

2.2平面波和波包在量子力學(xué)中，3維空間中的波包一般形式可以表示為，

此時，能量為動量的函數(shù)，而它們的值一般都不是確定的。但現(xiàn)實中的粒子一般由波包描述。2.2平面波和波包例：高斯波包波函數(shù)主要集中在，波包寬度可以認(rèn)同為粒子主要出現(xiàn)在波包寬度范圍內(nèi)，因此該粒子可以近似視作局域化的粒子。Q:波函數(shù)是否已經(jīng)歸一化?思考2分鐘。

2.2平面波和波包作業(yè)2-1:

確定一下波函數(shù)的歸一化常數(shù)2.2平面波和波包相速度VS群速度考慮如下平面波：其中稱相位。決定波前。

這里稱為相速度,刻畫波前傳播的速度。2.2平面波和波包現(xiàn)考慮如下波包的群速度：由于其中有許多不同組分的單色波，為群速度定義良好（波包波形變化足夠慢），需假定一個窄分布函數(shù)。2.2平面波和波包若頻率不依賴于波數(shù)或者其為常數(shù)，則

則其為駐波，在空間不傳遞(局域的)能量。若頻率依賴波數(shù)(色散關(guān)系)，，則其極值條件決定波包的包絡(luò)面，2.2平面波和波包于是，

其中為波包的群速度(即包絡(luò)面的移動速度)。在量子力學(xué)中，波包的群速度與經(jīng)典意義的粒子速度相對應(yīng)。

波包的移動速度為群速度“條紋”的移動速度為相速度。2.3量子態(tài)和表象根據(jù)波恩統(tǒng)計詮釋，波函數(shù)的振幅的平方表示在出找到粒子的概率密度。這是一種關(guān)于位置的分布。

但有些時候，對于同一個系統(tǒng)和狀態(tài)，我們需要知道概率關(guān)于的動量分布?？紤]如下狀態(tài)的波函數(shù)，其中已歸一化。2.3量子態(tài)和表象可以知道，根據(jù)統(tǒng)計詮釋，表示粒子處于動量的概率。

2.3量子態(tài)和表象

2.3量子態(tài)和表象例動量本征態(tài)

動量表象

坐標(biāo)表象

位置本征態(tài)

坐標(biāo)表象動量表象2.3量子態(tài)和表象總結(jié):

—實空間的概率密度分布。

—動量空間的概率密度分布。兩個波函數(shù)對應(yīng)于同一狀態(tài)，差別只在表象的選取。在第五章，我們將就表象變換作更為系統(tǒng)的探討。2.4量子態(tài)的相干疊加性如前所述，微觀粒子狀態(tài)由波函數(shù)描述。與經(jīng)典波不同，其本質(zhì)上是概率波；但作為波，一定就有相干的特性。這一點已被實驗所證實。2.4量子態(tài)的相干疊加性態(tài)疊加原理：若為系統(tǒng)可能的狀態(tài)，則它們的線性疊加也是系統(tǒng)允許的狀態(tài)，其中ci

為復(fù)數(shù)。這也被作稱量子相干性。2.4量子態(tài)的相干疊加性考慮如下量子態(tài)：則其概率分布為因此，測量的結(jié)果不僅僅是簡單的強(qiáng)度疊加。2.4量子態(tài)的相干疊加性

2.5不確定性關(guān)系考慮電子衍射實驗：由于電子也具有波動性，我們并不切確知道電子是如何穿過小縫的。因此，在到達(dá)小縫的時候，其位置不確定度應(yīng)為我們并不切確知道電子如何到達(dá)屏幕的，可以推測其在小縫位置時動量的不確定度為。2.5不確定性關(guān)系假設(shè)偏轉(zhuǎn)不大，根據(jù)衍射原理，其光程差為于是，我們可以估算于是，我們有如下不確定性關(guān)系：2.5不確定性關(guān)系若，粒子處于動量本征態(tài)，其位置是完全不確定的，即。反之亦然?，F(xiàn)在，我們考慮一個高速運動的自由粒子：由此，我們得到

最后有，2.6薛定諤方程本節(jié)，我們將重點介紹描述量子態(tài)演化的動力學(xué)方程--薛定諤方程。單粒子的薛定諤方程經(jīng)典波動方程一般可以寫成如下形式，該方程可以描述許多形式的波，如聲波、電磁波等。2.6薛定諤方程其最簡單的解為如下平面波：若過渡到量子力學(xué)，則由德布羅意關(guān)系可得，顯然，該解無法描述有質(zhì)量粒子的狀態(tài)。為使更一般的能量-動量關(guān)系得到滿足，則需找到一個更為合適的波動方程。2.6薛定諤方程動量/能量本征態(tài)：牛頓力學(xué)中自由粒子：最簡單的猜想：2.6薛定諤方程引入以下記號標(biāo)記算符：則自由粒子薛定諤方程為，2.6薛定諤方程該方程的最簡單的解為如下平面波解，但該解不是唯一的解。容易檢驗以下波包也為該方程的解,其中色散關(guān)系為，2.6薛定諤方程算符的本征方程和本征函數(shù)本征方程：其中O

為算符的本征值，f

為算符的本征函數(shù)。2.6薛定諤方程顯然，薛定諤方程的平面波解滿足以下本征值方程，引入自由粒子哈密頓算符記號：

因此，此波函數(shù)為能量的本征函數(shù)(定態(tài))。2.6薛定諤方程該平面波解還是另一個矢量的算符本征方程的解，引入動量算符記號：即該平面波解同時還是動量的本征函數(shù)。Q：自由粒子波包是否是動量/能量的本征函數(shù)？2.6薛定諤方程現(xiàn)實中，粒子可能還受勢場的影響,于是可以作如下推廣：于是有這就是單粒子薛定諤方程的一般形式。值得注意的是，該方程為一個線性偏微分方程。2.6薛定諤方程顯然，若n

個波函數(shù),則它們的任意線性疊加態(tài)也是該方程的解。2.6薛定諤方程多粒子的薛定諤方程對于N個粒子構(gòu)成的一個系統(tǒng)，我們每一時刻都需要N個坐標(biāo)標(biāo)記各粒子的位置，于是表示該時刻測得第1個粒子處于,

…

,第N個粒子處于的概率密度。由經(jīng)典物理可知，其中為外場賦予的勢能，為粒子之間相互作用所賦予的勢能。2.6薛定諤方程例.氦原子中的電子于是，多粒子系統(tǒng)的薛定諤方程可寫為：2.6薛定諤方程總之，無論對怎樣的系統(tǒng)，我們都有統(tǒng)一形式的薛定諤方程，2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

連續(xù)性方程考慮一個一般的函數(shù)。我們有如下結(jié)果，

但下面我們證明，在非相對論量子力學(xué)中，平方可積的波函數(shù)滿足如下結(jié)果：

即，全空間找到粒子的幾率是守恒的。這表明我們前面將解釋為概率密度是完全恰當(dāng)?shù)摹?.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

證明：考慮一個粒子在任意實勢場中運動。則其薛定諤方程為

(a)對該方程取復(fù)共軛

(b)2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

引入記號，

(c)

對時間求偏導(dǎo)(d)將(a)和(b)代入(d),

(e)

2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

或

(f)

于是解釋為幾率密度，為幾率流密度。在體積為的空間內(nèi)積分，(g)我們要求波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處足夠快地趨于。于是2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

于是，我們有

(h)由于波函數(shù)對全空間積分為常數(shù)，因此有2.1節(jié)所說的，如果其在一時刻是歸一化的，那么在任意時刻都是歸一化的。2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

作業(yè)2-2:

考慮某粒子滿足以下薛定諤方程：

其中,和為實數(shù)。證明如下結(jié)果其中

。2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

力學(xué)量的平均值Q:計算以下人群的平均年齡？10歲-1人15歲-2人20歲-4人25歲-3人平均值計算公式其中為隨機(jī)挑選一人，其可能的年齡,為人群中選到年齡為的概率。2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

考慮處于某個由（歸一化）波函數(shù)。則根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計內(nèi)涵可知，位置的期望值為，其中為概率密度。同理，勢能是坐標(biāo)的函數(shù)，期望值為2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

Q：動量的期望值是否如下

???A：不行。在量子力學(xué)中，動量和位置不能同時確定。2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

讓我們考慮隨時間的變化,以上，最后一步我們用到分部積分，并假設(shè)在無窮遠(yuǎn)處波函數(shù)衰減足夠快。對以上結(jié)果第二項再分部積分2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

作以下替換：于是我們有此外，對于位置期望值也可以寫成一般形式2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

于是,對于任意力學(xué)量算符的期望值特別地，2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

若波函數(shù)未歸一化，則以上討論，是基于坐標(biāo)表象。下面我們考慮位置和動量的期望值在動量表象中的計算。設(shè)為動量表象中的波函數(shù)，則2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

不難證明，期望值是不依賴于表象的選取的。即，同理可證以下是坐標(biāo)-動量表象中，波函數(shù)和力學(xué)量物理量的形式

(坐標(biāo)表象)

(動量表象)2.7連續(xù)性方程，力學(xué)量的平均值

作業(yè)2-3:

考慮一粒子處于如下波函數(shù)描述的狀態(tài)，

計算

a.

b.第三章波函數(shù)與薛定諤方程

3.1不含時薛定諤方程考慮某粒子在勢場中運動，我們通?？梢苑蛛x變量法求出薛定諤方程的定態(tài)解。假設(shè)此類解的形式為，

(3.1)又，薛定諤方程為，

(3.2)

3.1不含時薛定諤方程將(3.1)代入(3.2)可得，

(3.3)注意，以上方程的左邊只是時間的函數(shù)，右邊只是坐標(biāo)的函數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)兩者等于一常數(shù)時等式成立。我們不妨把該常數(shù)記為。于是，有以下兩個獨立的方程，(3.4)

和(3.5)3.1不含時薛定諤方程我們稱(3.5)為不含時薛定諤方程，該方程又可以記作，

(3.6)顯然該方程本質(zhì)上為哈密頓算符的本征值方程，而該方程的解都是能量的本征態(tài)。首先，我們考慮(3.4)的解，(3.7)于是(3.2)的解可以表示為，

(3.6)3.1不含時薛定諤方程對于能量本征態(tài)，計算以下期望值，因此，粒子在此種狀態(tài)下，能量是確定且不會變化的，這對應(yīng)于1.4節(jié)玻爾所定義的定態(tài)。因此，有的教材中也把(3.5)或(3.6)稱為定態(tài)薛定諤方程。為與此相區(qū)別，我們稱(3.2)為含時薛定諤方程.3.1不含時薛定諤方程定態(tài)的特點若某孤立系統(tǒng)在初始時刻t=0處于定態(tài)，則它在任意時刻t0

都處于該定態(tài)其中為不含時薛定諤方程的解。這意味著：幾率密度以及幾率流密度不隨時間演化；3.1不含時薛定諤方程任意不含時算符的期望值

也不隨時間演化。前面我們說過，薛定諤方程的不同解疊加后仍為它的解。這里，考慮以下由n

個不同的定態(tài)疊加而成的狀態(tài),

Q:它是否仍是定態(tài)?

3.2定態(tài)問題的一般討論定態(tài)問題主要分為兩類:束縛態(tài)問題:粒子始終被束縛在勢場中運動，能量一般取離散值。主要求解能量本征值和本征函數(shù)問題。散射態(tài)問題:粒子從無窮遠(yuǎn)處入射到勢場并被勢場散射后遠(yuǎn)離散射中心，能量一般取連續(xù)值。一維不含時薛定諤方程為，3.2定態(tài)問題的一般討論常用到的定態(tài)波函數(shù)性質(zhì)：若勢函數(shù)有限，則和處處連續(xù)。歸一化：(束縛態(tài))漸近行為：（束縛態(tài)）3.2定態(tài)問題的一般討論定態(tài)的三個有用結(jié)論：分離常數(shù)

E

必為實數(shù)。波函數(shù)總可以取成實函數(shù)(假設(shè)能級無簡并)。若為偶函數(shù)，則總可以取成偶函數(shù)或奇函數(shù)(假設(shè)能級無簡并)。3.3一維無限深方勢阱該勢阱兩壁無限高且無限厚，粒子無法逃逸該阱。3.3一維無限深方勢阱Q:對粒子能量進(jìn)行測量，可能得到的值?對應(yīng)的波函數(shù)?

3.3一維無限深方勢阱在勢阱內(nèi)，薛定諤方程為(3.9)其中.數(shù)學(xué)上，該方程與諧振子的經(jīng)典力學(xué)方程完全一樣。它有兩波動解，。因此通解形式為，(3.10)其中

A

和

B

為積分常數(shù)。該解中共有3個常數(shù)需要確定。3.3一維無限深方勢阱以下我們將通過連續(xù)性條件、邊界條件和歸一化條件分別確定它們:在勢阱外面，，因此有

。也就是在阱外找到粒子的概率為零(后面有更嚴(yán)格證明)。于是，兩壁位置

進(jìn)而有3.3一維無限深方勢阱對于這是平庸解需要排除。此外，負(fù)號也可以吸收到積分常數(shù)A里面去。于是有由于，,解(3.10)可以寫成如下形式，由歸一化條件，

取正實數(shù)，。3.3一維無限深方勢阱因此，能量本征函數(shù)為能量的本征值為對應(yīng)完整含時的波函數(shù)可寫為3.3一維無限深方勢阱討論:當(dāng)

a

為有限時，該系統(tǒng)能級都是離散的；當(dāng)a

為無限時，系統(tǒng)能級連續(xù)。每一個解表示一個能量的本征態(tài)，我們稱能量最低的態(tài)為基態(tài)，其它為激發(fā)態(tài)。這些本征態(tài)并不一定是系統(tǒng)實際處于的狀態(tài)，但粒子的任意可能的狀態(tài)都可以由這些解線性表出(即它們可以充當(dāng)希爾伯特空間的一組完備基)。在測量前，系統(tǒng)處于的狀態(tài)為含時薛定諤方程的解；而對系統(tǒng)能量進(jìn)行測量，粒子的狀態(tài)必會塌縮到這些本征態(tài)(不含時薛定諤方程的解)中的一個。3.3一維無限深方勢阱定態(tài)波函數(shù)的形狀及能級3.4一維有限深對稱方勢阱該系統(tǒng)同時存在著束縛態(tài)解(

)和散射態(tài)解(

)。本節(jié)我們主要關(guān)注前者。3.4一維有限深對稱方勢阱Q:有幾個束縛態(tài)能級?

3.4一維有限深對稱方勢阱將全空間分為I,

II,

III

三個區(qū)域在區(qū)域I和III中，薛定諤方程為該方程有兩支解。則通解的形式為其中A和B為積分常數(shù)。3.4一維有限深對稱方勢阱對于束縛態(tài),于是，在區(qū)域

I,

在區(qū)域III,

在區(qū)域II,薛定諤方程變?yōu)槠渫ń庑问綖槠渲蠧’

和D’為常數(shù)。3.4一維有限深對稱方勢阱由于勢函數(shù)為偶函數(shù)，總可以表示為偶函數(shù)或是奇函數(shù)，即偶函數(shù),奇函數(shù),3.4一維有限深對稱方勢阱下面，我們將要求波函數(shù)在滿足一定的連續(xù)性條件(和連續(xù))。偶函數(shù):

在:3.4一維有限深對稱方勢阱

3.4一維有限深對稱方勢阱顯然，無論什么情況，至少存在一個解，其對應(yīng)于一個束縛態(tài)。特別地，若則至少出現(xiàn)一個（波函數(shù)為偶的）激發(fā)態(tài)。3.4一維有限深對稱方勢阱現(xiàn)在,假設(shè),即,。這時，于是，能量為這就是之前無限深勢阱的結(jié)果，若。同時，對于有這就是為什么在勢阱外面有的結(jié)果。3.4一維有限深對稱方勢阱由于波函數(shù)為偶函數(shù)，A=B。于是，歸一化條件為于是，(*)又根據(jù)處連續(xù)性條件，(**)3.4一維有限深對稱方勢阱聯(lián)立(*)和(**)可得，其中依賴的值。奇函數(shù)的計算與此類似。3.4一維有限深對稱方勢阱奇函數(shù):

僅當(dāng)時，存在束縛態(tài)波函數(shù)為奇函數(shù)的情況3.4一維有限深對稱方勢阱有限深方勢阱束縛態(tài)能級和波函數(shù)圖示有限個離散的束縛態(tài)能級。定態(tài)波函數(shù)只可能是奇或是偶函數(shù)，基態(tài)能級是偶函數(shù)。與經(jīng)典力學(xué)不同，即便仍有一定概率在勢阱外發(fā)現(xiàn)粒子，該現(xiàn)象稱為量子隧穿效應(yīng)。3.4一維有限深對稱方勢阱階躍勢函數(shù)，定態(tài)求解一般步驟：按分段函數(shù)將全空間分成幾個區(qū)域；分別寫下各區(qū)域的薛定諤方程；分別解出各區(qū)域薛定諤方程的通解；

通過波函數(shù)的漸近行為、波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性條件及歸一化條件確定通解中的各積分常數(shù)。注：若勢函數(shù)在某處奇異時，在該處只有波函數(shù)連續(xù)；歸一化條件只用于束縛態(tài)情況。3.5一維??勢阱考慮如下勢函數(shù):下面，我們只考慮時束縛態(tài)的情況。不含時薛定諤方程為：3.5一維??勢阱當(dāng)

,方程的通解為，波函數(shù)的平方可積性要求A=0。同理，當(dāng)，由波函數(shù)在原點處的連續(xù)性可知，B=C。即波函數(shù)一定是偶函數(shù)。由于勢函數(shù)在該點是發(fā)散的，所以不能使用波函數(shù)一階導(dǎo)連續(xù)的條件。需要直接通過薛定諤方程確定該點波函數(shù)一階導(dǎo)的變化。3.5一維??勢阱對方程在區(qū)間積分并令：

3.5一維??勢阱

3.5一維??勢阱因此，對于??勢阱，只有一個能量本征態(tài)，能量本征值為，3.6一維方勢壘有如下方勢壘我們首先考慮的情況，再考慮的情況。3.6一維方勢壘情況:

在經(jīng)典物理中，粒子永遠(yuǎn)無法穿透勢壘。但在量子力學(xué)中，由于量子隧穿效應(yīng)，粒子具有一定概率穿透勢壘。在區(qū)域I,薛定諤方程為在區(qū)域II,

3.6一維方勢壘在區(qū)域III,

于是，相關(guān)通解可以寫為：

3.6一維方勢壘當(dāng),3.6一維方勢壘當(dāng),3.6一維方勢壘由于平面波不能嚴(yán)格歸一化，即不能簡單將認(rèn)同為絕對概率。這里我們考慮相對的幾率流密度。其中，入射波為，反射波為，透射波為，3.6一維方勢壘可定義反射系數(shù)和透射系數(shù)如下，只需知道三個積分常數(shù)的相對大小便可知道這兩個系數(shù)。3.6一維方勢壘

3.6一維方勢壘量子隧穿效應(yīng)的圖示

3.6一維方勢壘

3.6一維方勢壘方勢壘模型的應(yīng)用--約瑟夫遜節(jié)A

和B為超導(dǎo)體，其內(nèi)部載荷子(庫珀對)可以作無耗散運動。C為絕緣體，其可視為具有一點厚度的勢壘。3.6一維方勢壘情況:

唯一與前面不同的是區(qū)域II中的薛定諤于是，各區(qū)域通解為，3.6一維方勢壘重復(fù)之前的推導(dǎo)過程，即得透射系數(shù)為，3.7一維??勢壘考慮delta勢壘如下我們可以將全空間分為三個區(qū)域。3.7一維??勢壘分別寫下其薛定諤方程:區(qū)域

I

和III

的通解為:由于區(qū)域II

中，薛定諤方程是奇異的，我們需要單獨求解。3.7一維??勢壘在積分,得，于是，在原點處的連接條件為，3.7一維??勢壘代入?yún)^(qū)域I和III的通解，消去,透射系數(shù)為，3.8二維方勢阱考慮如下二維勢阱于是，二維薛定諤方程為，3.8二維方勢阱在阱外,在阱內(nèi),連續(xù)性條件:3.8二維方勢阱根據(jù)勢阱的特點，可以使用分離變量法求解。定義代回阱內(nèi)的薛定諤方程可得，由此，得到兩個獨立的微分方程，3.8二維方勢阱方程的通解分別為由連續(xù)性條件：代回通解可得，3.8二維方勢阱以及于是，相應(yīng)本征能量，3.8二維方勢阱積分常數(shù)F可通過歸一化條件確定:最終，3.8二維方勢阱下面，我們將引入簡并的概念。為此，我們考慮的情況。對應(yīng)于第一激發(fā)態(tài)有兩種不同情況，兩者的波函數(shù)不同，但具有相同本征能量。我們稱該能級是簡并的，簡并度為2。3.8二維方勢阱作業(yè)3-2:假設(shè)某一維勢函數(shù)非奇異，證明其束縛態(tài)能級總是非簡并的。3.9諧振子經(jīng)典力學(xué)中，諧振子為受到固定彈簧里作用的一個有質(zhì)量粒子。其運動滿足胡克定律，該方程的通解為，其中頻率為，3.9諧振子為表示成哈密頓形式，我們需要知道其勢能。由于其勢能為這里，我們已略去積分常數(shù)?，F(xiàn)實中，對于一般形狀的勢能，當(dāng)考慮穩(wěn)定點附近的粒子運動時，我、們基本上可以將之轉(zhuǎn)化為諧振子的問題，3.9諧振子下面，我們考慮一維量子諧振子。不含時薛定諤方程可表示為，為簡單起見，我們引入以下參數(shù)，于是，波動方程可以表示為

Q：本征能量？定態(tài)波函數(shù)？3.9諧振子勢函數(shù)的漸近行為：因此，而在漸近無窮遠(yuǎn)，波動方程為，其束縛態(tài)解行為如下，3.9諧振子這暗示我們可以對方程的解作如下擬設(shè)，此時，代入波動方程得，

厄米方程3.9諧振子厄米方程可以通過級數(shù)解法求解。由于方程在處非奇異，我們在該處作冪級數(shù)展開：于是有，3.9諧振子

3.9諧振子由于勢函數(shù)是偶函數(shù)，分如下情況討論，其中，為偶函數(shù)為奇函數(shù)。3.9諧振子若

很大,于是，其中C

為某常數(shù)。這類似我們學(xué)過如下級數(shù)展開，3.9諧振子

3.9諧振子以下，我們稱此類有限的多項式為厄米多項式，并記作。它們?yōu)閷嵉亩囗検?。于是，第n+1個能級的定態(tài)波函數(shù)為，其中為歸一化常數(shù)。3.9諧振子關(guān)于厄米多項式:為以下方程的解:(1)滿足如下遞推關(guān)系:(2)(3)滿足(4)3.9諧振子其又可表示為

羅德里格斯公式(5)

e.g.

3.9諧振子歸一化常數(shù)：將(5)代入以上公式得，

3.9諧振子由(3),我們知道，代回前面的積分即得，

3.9諧振子最終，其中

3.9諧振子作業(yè)3-3:

對于一維諧振子，證明：提示：應(yīng)用厄米多項式的遞推關(guān)系。計算態(tài)下,

位置、動量、動能以及勢能的期待值。對于基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)，分別確定在何處找到粒子的幾率最大。3.9諧振子討論:幾率分布:

3.9諧振子3.9諧振子零點能:能級間隔：非零基態(tài)能量：

又稱零點能。3.9諧振子除額外的零點能，能級的形式與普朗克能量量子化假說完全一致。

黑體輻射源熱平衡態(tài)下諧振子3.9諧振子下面，我們考慮三維諧振子。為簡單起見，我們假設(shè)系統(tǒng)是各向同性的，即，不含時薛定諤方程為，其中，3.9諧振子引入?yún)⒘?，于是，方程變?yōu)榉蛛x變量：有3.9諧振子于是，我們得到三個獨立的方程：其中以及注意，這三個方程的形式與一維系統(tǒng)完全相同。3.9諧振子于是，解的形式為其中以及最后我們得以及3.9諧振子對于基態(tài)：無簡并。對于第一激發(fā)態(tài):簡并度=3.

3.9諧振子作業(yè)3-5:

宋鶴山書(第四版)習(xí)題3-5?！读孔恿W(xué)》第四版第四章力學(xué)量算符的本征值和本征函數(shù)4.1線性算符的性質(zhì)及其運算法則4.1.1線性算符(linearoperator)

4.1線性算符的性質(zhì)及其運算法則線性算符的性質(zhì)：

算符加法:算符乘法:通常4.1線性算符的性質(zhì)及其運算法則

對易子(commutator)代數(shù)恒等式：4.1線性算符的性質(zhì)及其運算法則4.1.2算符的逆

(單位算符identity

operator)

4.1線性算符的性質(zhì)及其運算法則4.1.3算符的轉(zhuǎn)置兩個函數(shù)的標(biāo)積定義為：標(biāo)積運算的性質(zhì)：4.1線性算符的性質(zhì)及其運算法則4.1.3算符的轉(zhuǎn)置利用標(biāo)積，力學(xué)量的平均值可以表示成：

或也可以證明4.1線性算符的性質(zhì)及其運算法則4.1.4算符的厄米共軛與厄米算符

算符的厄米共軛滿足:證明:

還可以得到：4.1線性算符的性質(zhì)及其運算法則4.1.4算符的厄米共軛與厄米算符

厄米算符之和也是厄米算符，厄米算符之積不一定是厄米算符?；?/p>

4.1線性算符的性質(zhì)及其運算法則4.1.4算符的厄米共軛與厄米算符

意味著厄米算符的平均值為實數(shù)。

在實際上可觀測的力學(xué)量如坐標(biāo)、動量、能量、角動量等的觀測值必須是實數(shù)，各力學(xué)量的平均值也必須是實數(shù)。這就要求力學(xué)量算符必須是厄米算符。4.1線性算符的性質(zhì)及其運算法則4.1.5幺正算符

我們將看到，在量子力學(xué)中常見的各種變換，包括Fourier變換，量子態(tài)隨時間的演化都是幺正變換，表示這些變換的算符都是幺正算符。證明：4.2量子力學(xué)的基本對易關(guān)系4.2.1坐標(biāo)和動量的對易關(guān)系坐標(biāo)和動量的對易關(guān)系如下

其他方向同理。

4.2量子力學(xué)的基本對易關(guān)系4.2.2角動量的基本對易關(guān)系量子軌道角動量定義如下：各個分量為:4.2量子力學(xué)的基本對易關(guān)系4.2.2角動量的基本對易關(guān)系可以證明如下對易關(guān)系：

例如：4.2量子力學(xué)的基本對易關(guān)系4.2.2角動量的基本對易關(guān)系定義,可以證明：

引入兩個算符：可以證明：4.3厄米算符的本征值和本征函數(shù)系4.3.1厄米算符的本征值方程定理1:厄米算符的本征值必為實數(shù)。

定理2:厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此

正交。4.3厄米算符的本征值和本征函數(shù)系4.3.1厄米算符的本征值方程定理1:厄米算符的本征值必為實數(shù)。

定理2:厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此

正交。本征值方程的解法：(i)解微分方程的方法(ii)Heisenberg代數(shù)方法(iii)矩陣方法4.3厄米算符的本征值和本征函數(shù)系4.3.1厄米算符的本征值方程—一維諧振子解之，可得諧振子的能量本征值和本征函數(shù)解微分方程的方法不含時Schr?dinger方程

4.3厄米算符的本征值和本征函數(shù)系4.3.1厄米算符的本征值方程—一維諧振子引入兩個算符：(ii)Heisenberg代數(shù)方法

下降算符上升算符可以得到：4.3厄米算符的本征值和本征函數(shù)系4.3.1厄米算符的本征值方程—一維諧振子利用對易關(guān)系：可以得到：

4.3厄米算符的本征值和本征函數(shù)系4.3.1厄米算符的本征值方程—一維諧振子

另根據(jù)

對應(yīng)的本征態(tài)記為此時4.3厄米算符的本征值和本征函數(shù)系4.3.1厄米算符的本征值方程—一維諧振子(iii)矩陣方法

方程組有非零解的條件是矩陣的行列式等于零，即

4.4量子漲落和不確定性關(guān)系

稱為量子漲落或不確定度，依賴于系統(tǒng)所處狀態(tài)。Heisenberg不確定性關(guān)系

(Heisenberguncertainty

relation)4.4量子漲落和不確定性關(guān)系坐標(biāo)-動量不確定性關(guān)系時間-能量不確定性關(guān)系

有

可以得到4.5力學(xué)量算符在球坐標(biāo)系中的表示在研究中心力場問題時，在球坐標(biāo)系中更為方便。

4.5力學(xué)量算符在球坐標(biāo)系中的表示在球坐標(biāo)系中不含時Schr?dinger方程可以寫成：動量和動能算符分別為：角動量平方算符為：4.5力學(xué)量算符在球坐標(biāo)系中的表示

4.6力學(xué)量算符的共同本征函數(shù)系

如果兩個力學(xué)量具有共同本征函數(shù)系，則體系可同時處于兩個力學(xué)量的共同本征態(tài)，兩個力學(xué)量有可能同時具有確定值。如果兩個力學(xué)量對易，則它們具有共同本征函數(shù)系。4.6力學(xué)量算符的共同本征函數(shù)系利用厄米算符本征函數(shù)的正交、歸一性:

4.6力學(xué)量算符的共同本征函數(shù)系一維諧振子的能量本征函數(shù)構(gòu)成一維諧振子能量算符的一組正交歸一完備的本征函數(shù)系。

動量算符的共同本征函數(shù)

任意波函數(shù)可展開為：

4.6力學(xué)量算符的共同本征函數(shù)系坐標(biāo)算符的共同本征函數(shù)

本征值為離散值的力學(xué)量本征函數(shù)具有正交歸一性如何進(jìn)行“歸一化”？

連續(xù)譜的本征函數(shù)：

數(shù)學(xué)性質(zhì)：

(1)(2)

(3)

(5)

(4)

(6)

(7)

動量本征態(tài)：三維情況坐標(biāo)本征態(tài)：三維情況《量子力學(xué)》第四版第五章

態(tài)矢量和力學(xué)量算符的表象變換5.1量子態(tài)的矢量表示及其表象變換5.1.1量子態(tài)的矢量表示

表象(Representations

)

5.1量子態(tài)的矢量表示及其表象變換5.1.1量子態(tài)的矢量表示Hilbert空間是量子力學(xué)的背景空間，它是一個復(fù)空間。

,

5.1量子態(tài)的矢量表示及其表象變換5.1.1量子態(tài)的矢量表示

,

且

5.1量子態(tài)的矢量表示及其表象變換5.1.2態(tài)矢量的表象變換

變換矩陣(幺正)或

5.2力學(xué)量的矩陣表示及其表象變換5.2.1力學(xué)量的矩陣表示

,

5.2力學(xué)量的矩陣表示及其表象變換5.2.1力學(xué)量的矩陣表示或者表示為

其中,

,

5.2力學(xué)量的矩陣表示及其表象變換5.2.2力學(xué)量算符的表象變換

,

因此

5.3量子力學(xué)的矩陣形式5.3.1平均值公式的矩陣形式

用矩陣形式可表示為：

5.3量子力學(xué)的矩陣形式5.3.1平均值公式的矩陣形式

5.3量子力學(xué)的矩陣形式5.3.2本征值方程的矩陣形式

5.3量子力學(xué)的矩陣形式5.3.2本征值方程的矩陣形式寫成矩陣形式為上式存在非平庸解的必要條件是

5.3量子力學(xué)的矩陣形式5.3.3Schr?dinger方程的矩陣形式

并帶入到Schr?dinger方程得到

5.3量子力學(xué)的矩陣形式5.3.3Schr?dinger方程的矩陣形式寫成矩陣形式為

其中

，在能量表象下Hamiltonian是對角化的，

對角元即為能量本征值。5.4量子力學(xué)的Dirac描述5.4.1Dirac符號引進(jìn)Dirac符號，

bracket右矢左矢

它不涉及具體表象。5.4量子力學(xué)的Dirac描述

(離散譜)(連續(xù)譜)

線性算符：

5.4.2Dirac符號的運算規(guī)則5.4量子力學(xué)的Dirac描述根據(jù)

單位算符

連續(xù)譜的單位算符？如坐標(biāo)、動量表象下:

或5.4量子力學(xué)的Dirac描述5.4.3量子力學(xué)的Dirac符號描述

平均值公式：

5.4量子力學(xué)的Dirac描述5.4.3量子力學(xué)的Dirac符號描述本征值方程：

左邊：右邊：

5.4量子力學(xué)的Dirac描述5.4.3量子力學(xué)的Dirac符號描述Schr?dinger方程：

左邊：右邊：

5.4量子力學(xué)的Dirac描述5.4.4表象變換

或?qū)懗?/p>

5.4量子力學(xué)的Dirac描述5.4.4表象變換

或?qū)懗?/p>

《量子力學(xué)》第四版第六章對稱性與守恒定律6.1守恒量的平均值和概率分布

在量子力學(xué)中，如果一個力學(xué)量與體系的哈密頓量對易，則稱該力學(xué)量為守恒量。它的時間演化可寫為：

(4) 守恒量

力學(xué)量確定測值本征態(tài)6.1守恒量的平均值和概率分布6.2對稱性和守恒定律

6.2.1空間平移對稱性與動量守恒

6.2對稱性和守恒定律6.2對稱性和守恒定律

6.2.2時間平移對稱性與能量守恒

6.2對稱性和守恒定律

6.2.3空間旋轉(zhuǎn)對稱性與角動量守恒

6.3全同粒子系波函數(shù)的交換對稱性6.3.1全同性原理和兩種統(tǒng)計全同性原理:

全同粒子不可區(qū)分.粒子的質(zhì)量、電荷、自旋、壽命等是其內(nèi)稟屬性。內(nèi)稟屬性相同的粒子稱為全同粒子。我們通過測量確定一個粒子的能量、位置等時，只能說一個粒子的能量是多少或一個粒子在某一位置，但我們無法判斷所測到的是體系中哪個粒子的能量或位置。全同性原理是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一。一組全同粒子.6.3全同粒子系波函數(shù)的交換對稱性全同粒子的交換對稱性考慮兩個電子的哈密頓量

波函數(shù)滿足:“+”:玻色子(Bosons)，交換兩個粒子波函數(shù)具有

對稱性,遵從Bose-Einstein統(tǒng)計,具有整數(shù)自旋。“-”:費米子(Fermions)，交換兩個粒子波函數(shù)具有反對

稱性,遵從Fermi-Dirac統(tǒng)計,具有半整數(shù)自旋。

6.3全同粒子系波函數(shù)的交換對稱性6.3.2交換算符和Pauli不相容原理引進(jìn)交換算符：

交換一次:

再交換一次:

6.3全同粒子系波函數(shù)的交換對稱性6.3.2交換算符和Pauli不相容原理引進(jìn)交換算符：

因此全同粒子系中，玻色子和費米子的波函數(shù)必須分別具有交換對稱性和交換反對稱性，即：

6.3全同粒子系波函數(shù)的交換對稱性Pauli不相容原理即不允許有兩個或兩個以上的粒子處于完全相同的量子態(tài)。對于玻色體系，處于同一量子態(tài)的粒子數(shù)目沒有限制。在極低溫度下，體系中各粒子的動量都趨于零，大量玻色子可以處于完全相同的量子態(tài)，這種現(xiàn)象被稱為Bose-Einstein凝聚。

*6.4無相互作用全同粒子系的交換簡并無相互作用的全同粒子系中，由于交換對稱性導(dǎo)致的能級簡并稱為交換簡并。

6.5量子力學(xué)的三種繪景量子力學(xué)有三種繪景：Schr?dinger、Heisenberg和相互作用繪景.

Schr?dinger方程:Schr?dinger繪景

:波函數(shù)隨時間變化

:力學(xué)量不隨時間變化

Heisenberg方程:

6.6密度矩陣………

………………

純態(tài)

混合態(tài)

密度矩陣:

基于系綜觀點理解純態(tài)(purestate)和混合態(tài)(mixedstate)6.6密度矩陣密度矩陣的性質(zhì)：

6.6密度矩陣平均值公式：

證明：可見，在混合態(tài)下力學(xué)量的平均值等于各個子體系（純態(tài)）中力學(xué)量的平均值對總體系求概率平均值。6.6密度矩陣劉維爾方程：證明：

6.7量子力學(xué)的基本假設(shè)

第七章粒子在勢場中運動《量子力學(xué)》第四版7.1中心力場問題的一般討論

能量本征值方程:

球坐標(biāo)系:

7.1中心力場問題的一般討論

分離變量

徑向方程

7.1中心力場問題的一般討論

7.1中心力場問題的一般討論

有效勢能:

7.2球方勢阱

求粒子的能量本征值與本征函數(shù).

球Bessel方程

7.2球方勢阱球Bessel方程的解可以用半奇數(shù)階Bessel方程

球Bessel函數(shù)7.2球方勢阱

球Neumann函數(shù)

歸一化：

7.2球方勢阱最簡單的幾個球Bessel函數(shù)

阱內(nèi)粒子的能量本征值由下列邊界條件確定

或

7.3類氫離子7.3.1類氫離子的能量本征值與本征函數(shù)

則：

為折合質(zhì)量。7.3.1類氫離子的能量本征值與本征函數(shù)

質(zhì)心運動方程相對運動方程

質(zhì)心運動方程，它滿足自由粒子的波動方程，與相互作用勢無關(guān)。7.3.1類氫離子的能量本征值與本征函數(shù)球坐標(biāo)系對于相對運動進(jìn)行分離變量，且可得徑向方程為

7.3.1類氫離子的能量本征值與本征函數(shù)

代入比較系數(shù)：

7.3.1類氫離子的能量本征值與本征函數(shù)

徑向量子數(shù)主量子數(shù)

軌道角動量量子數(shù)

7.3.1類氫離子的能量本征值與本征函數(shù)

7.3.1