對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)經(jīng)典題型總結(jié)

對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)經(jīng)典題型總結(jié)

對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)經(jīng)典題型總結(jié)題型一：對數(shù)不等式解法例1.解下列不等式(1)$\log_{1/2}(3x+4)>1/2$(2)$\log_{1/2}(3x+4)<1$(3)$\log_{1/2}(3x+4)>\log_{1/22}(3-x)$(4)$3^{x/2}\geq2$變式1.若實(shí)數(shù)$a$滿足$\log_a3<1$，求$a$的取值范圍。變式2：解不等式:$\log_a(2x+1)>2,(a>0,a\neq1)$.題型二：定點(diǎn)問題例2：求下列函數(shù)恒經(jīng)過哪些定點(diǎn)1、$f(x)=\log_a(x^2+1)+2$2.$y=\log_a(4a-x)+1$恒過$(4,1)$，求$a$的值.題型三:對數(shù)值域問題例3.求下列函數(shù)的值域.(1)$f(x)=\log_2x,\x\in[2,10]$;(2)$f(x)=\log_2(-x^2+2x+3),\x\in(-\infty,+\infty)$;(3)$f(x)=\log_2(x^2-4x-5)$變式1：若函數(shù)$y=\log_2(ax^2+ax+4)$的定義域?yàn)?\mathbb{R}$，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。變式2：若函數(shù)$y=\log_2(ax^2+ax+4)$的值域?yàn)?\mathbb{R}$，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。變式3：若函數(shù)$f(x)=\log_ax\(a<x<1)$在區(qū)間$[a,2a]$上的最大值是最小值的3倍，求$a$的值.變式4：$1\leqx\leq2$，求$y=(\log_2x+1)(\log_2x-3)$的最大、最小值題型四:對數(shù)單調(diào)性問題例4：求$y=\log_1(x^2-4x+3)/3$單調(diào)區(qū)間變式1.求函數(shù)$f(x)=\lg(x-x^2)$的單調(diào)區(qū)間變式2:求函數(shù)$f(x)=\log_a(x-x^2)$的單調(diào)區(qū)間變式3：若$f(x)=\lg(x^2-2ax+a+1)$在$(-\infty,1]$上遞減，求$a$范圍變式4:已知函數(shù)$f(x)=\log_a(x+1)$在$(-1,0)$上有$f(x)>0$，則()A.在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞增；B.在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞減；C.在$(-\infty,-1)$上單調(diào)遞增；D.在$(-\infty,-1)$上單調(diào)遞減.變式5：已知$y=\log_a(2-ax)$在$(0,1]$上為減函數(shù)，求$a$的取值范圍。練習(xí).已知函數(shù)$y=\log_4(2x+3-x^2)$，求(1)函數(shù)的定義域;(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)函數(shù)的值域.題型五:對數(shù)圖像問題例5已知函數(shù)$y=\log_a(x+c)(a,c$為常數(shù)，其中$a>0,a\neq1)$的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是（）A．$a>1,c>1$B．$a>1,0<c<1$C．$0<a<1,c>1$D．$0<a<1,0<c<1$1.當(dāng)$0<x\leq1$時(shí)，$4x<\log_ax$，求$a$的取值范圍。當(dāng)$0<x\leq1$時(shí)，$4x<\log_ax$可以轉(zhuǎn)化為$a^{4x}<x$，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為$a^{4}<x^{1/x}$。由于$x^{1/x}$在$(0,e]$上是單調(diào)遞減的，所以$a^{4}<e$，即$a\in(0,e^{1/4}]$。2.已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}\log_1x,&x\leq0\\2,&x>0\end{cases}$。若關(guān)于$x$的方程$f(x)=k$有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)$k$的取值范圍是()當(dāng)$k\leq0$時(shí)，$f(x)=\log_1x$在$(0,1]$上單調(diào)遞減，$f(x)=2$在$(1,+\infty)$上恒為$2$，因此方程$f(x)=k$在$(0,+\infty)$上只有一個(gè)實(shí)根。當(dāng)$k>2$時(shí)，$f(x)=\log_1x$在$(0,1]$上單調(diào)遞減，$f(x)=2$在$(1,+\infty)$上恒為$2$，因此方程$f(x)=k$在$(0,+\infty)$上無實(shí)根。當(dāng)$0<k\leq2$時(shí)，$f(x)=\log_1x$在$(0,1]$上單調(diào)遞減，$f(x)=2$在$(1,+\infty)$上恒為$2$，因此方程$f(x)=k$在$(0,1]$和$(1,+\infty)$上各有一個(gè)實(shí)根，即$k\in(0,2]$。綜上所述，實(shí)數(shù)$k$的取值范圍是$(0,2]$。3.定義域?yàn)?[1,+\infty)$的偶函數(shù)$f(x)$在$[1,+\infty)$上是增函數(shù)且$f\left(\frac{1}{42}\right)=\frac{1}{2}$，求不等式$f(\logx)>\frac{42}{x^2}$的解集。由于$f(x)$是偶函數(shù)且在$[1,+\infty)$上是增函數(shù)，因此可以將不等式$f(\logx)>\frac{42}{x^2}$轉(zhuǎn)化為$f(x)>\frac{42}{e^{2x}}$，其中$x>0$。又因?yàn)?f\left(\frac{1}{42}\right)=\frac{1}{2}$，所以$f(x)>\frac{1}{2}$，即要求解的不等式為$f(x)>\max\left\{\frac{1}{2},\frac{42}{e^{2x}}\right\}$?？紤]函數(shù)$g(x)=\max\left\{\frac{1}{2},\frac{42}{e^{2x}}\right\}$，則$g(x)$在$x\geq0$時(shí)單調(diào)遞減，且$\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=\frac{1}{2}$。因此，$f(x)>\max\left\{\frac{1}{2},\frac{42}{e^{2x}}\right\}$的解集為$(0,\log_e2)$。4.已知函數(shù)$f(x-1)=\log_m(m^2-x)$，其中$m>0$且$m\neq1$。(1)求函數(shù)$f(x)$的解析式，判斷其奇偶性。令$y=x-1$，則$f(y)=\log_m(m^2-(y+1))=\log_m(m^2-y-1)$。因此，$f(x)=\log_m(m^2-x-1)$，是偶函數(shù)。(2)解關(guān)于$x$的方程$f(x)=\log_m(m^2-x)=\log_ma$。由于$m^2-x>0$，所以方程等價(jià)于$m^2-x=a$，即$x=m^2-a$。(3)解關(guān)于$x$的不等式$f(x)\geq\log_m(3x+1)$。將$f(x)$和$\log_m(3x+1)$兩邊同時(shí)減去$\log_mm^2$，得到$\log_m\frac{m^2-x}{m^2}>\log_m\frac{3x+1}{m^2}$，即