4-1數(shù)列的概念(典例分類精講)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步精講+檢測(解析版)

.1數(shù)列的概念4.1數(shù)列的概念【知識(shí)目錄】【知識(shí)目錄】數(shù)列概念簡單的通項(xiàng)與遞推Sn與an的關(guān)系累加法歸類累積法歸類周期數(shù)列歸類數(shù)列的單調(diào)性和最值高中聯(lián)賽題選。典例分類精講典例分類精講一、數(shù)列概念1.數(shù)列是特殊的函數(shù)，如可以把2.數(shù)列可能具有函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性，周期性，最值等，如例題23.歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式。如例題3【典型例題】【例1】下面四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)；②數(shù)列若用圖像表示，從圖像上看都是一群孤立的點(diǎn)；③數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的；④數(shù)列通項(xiàng)的表達(dá)式是唯一的．其中正確的是（）．A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的定義、數(shù)列的分類判斷．【詳解】數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是有限的，也可以是無限的．?dāng)?shù)列作為一個(gè)函數(shù)，它的定義域是正整數(shù)集或正整數(shù)集的有限子集，數(shù)列通項(xiàng)的表達(dá)式可以不唯一，例如，數(shù)列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通項(xiàng)可以是，也可以是．故①②正確，③④錯(cuò)誤．故選：A．【例2】若數(shù)列{an}滿足an＝3n，則數(shù)列{an}是（）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列【答案】A【分析】作差法判斷出an＋1>an，進(jìn)而可以得出結(jié)論.【詳解】an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是遞增數(shù)列．故選：A.【例3】根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并在橫線上和括號(hào)中分別填上第項(xiàng)的圖形和點(diǎn)數(shù)．（1）（2）（3）【答案】（1）第項(xiàng)圖形見解析，通項(xiàng)公式為，第項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)為（2）第項(xiàng)圖形見解析，通項(xiàng)公式為，第項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)為（3）第項(xiàng)圖形見解析，通項(xiàng)公式為，第項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)為【分析】（1）根據(jù)圖形中點(diǎn)數(shù)的規(guī)律可作出第項(xiàng)的圖形，并根據(jù)各項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)可歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)圖形中點(diǎn)數(shù)的規(guī)律可作出第項(xiàng)的圖形，并根據(jù)各項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)可歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）根據(jù)圖形中點(diǎn)數(shù)的規(guī)律可作出第項(xiàng)的圖形，并根據(jù)各項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)可歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（1）解：設(shè)第項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)為，，，，，該數(shù)列的第項(xiàng)為，數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，第項(xiàng)的圖形如下圖所示：

（2）解：設(shè)第項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)為，，，，，該數(shù)列的第項(xiàng)為，數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，第項(xiàng)的圖形如下圖所示：

（3）解：設(shè)第項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)為，，，，，該數(shù)列的第項(xiàng)為，數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，第項(xiàng)的圖形如下圖所示：

【例4】寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．（1）－，，－，，…；（2）2，3，5，9，17，33，…；（3）…；（4）1，，2，，…；（5）-…；（6）2，6，12，20，30，….【答案】（1）an＝(－1)n；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）an＝n(n＋1)．【分析】根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，逐一分析即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）符號(hào)規(guī)律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n；（2）2＝1＋1，3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，17＝24＋1，33＝25＋1，∴；（3），∴；（4），∴；（5），∴；（6）2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6，∴an＝n(n＋1)．【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.下列敘述正確的是（）A．?dāng)?shù)列1，3，5，7與7，5，3，1是相同的數(shù)列B．?dāng)?shù)列0，1，2，3，…可以表示為{n}C．?dāng)?shù)列0，1，0，1，…是常數(shù)列D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】D【分析】A由數(shù)列的概念即可判斷；B驗(yàn)證首項(xiàng)即可判斷；C根據(jù)常數(shù)列的概念即可判斷；D結(jié)合通項(xiàng)公式，判斷an＋1－an的符號(hào)即可得出結(jié)論.【詳解】A由數(shù)列的概念可知數(shù)列1，3，5，7與7，5，3，1是不同的數(shù)列，故A錯(cuò)誤；B因?yàn)槭醉?xiàng)是0，所以不能表示為{n}，故B錯(cuò)誤；C根據(jù)常數(shù)列的概念可知數(shù)列0，1，0，1，…不是常數(shù)列，故C錯(cuò)誤；D由數(shù)列的通項(xiàng)an＝知，an＋1－an＝－＝>0，即數(shù)列{}是遞增數(shù)列，故D正確；故選：D．2.寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．（1），，，，…；（2）1，0，，0，，0，，…；（3）0.8，0.88，0.888，…；（4），，，，…．【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】觀察并總結(jié)各項(xiàng)數(shù)列的規(guī)律，直接寫出對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式即可.（1）所給數(shù)列可寫成，，，，…，∴原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．（2）由題設(shè)數(shù)列的奇偶項(xiàng)的規(guī)律，易知一個(gè)通項(xiàng)公式為．（3）由原數(shù)列可寫成，，，…，∴原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．（4）由數(shù)列可寫成，，，，…，∴原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．3.圖中由火柴棒拼成的一列圖形中，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)圖形中，火柴棒的根數(shù)為（）A．3n-1 B．3nC．3n+1 D．3(n+1)【答案】C【分析】觀察給出的4個(gè)圖形，分析出增加一個(gè)正方形，需在前一個(gè)圖中增加的火柴棒數(shù)即可總結(jié)得解.【詳解】觀察圖形知，第1個(gè)圖形中，火柴棒有4根，第2個(gè)圖形在第1個(gè)圖形中增加一個(gè)正方形，需增加3根火柴棒，則第2個(gè)圖形中火柴棒有4+3=4+3×1根，第3個(gè)圖形在第2個(gè)圖形中增加一個(gè)正方形，需增加3根火柴棒，則第3個(gè)圖形中火柴棒有4+3+3=4+3×2根，第4個(gè)圖形在第3個(gè)圖形中增加一個(gè)正方形，需增加3根火柴棒，則第4個(gè)圖形中火柴棒有4+3+3+3=4+3×3根，可以發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)圖形中，火柴棒的根數(shù)為an=4+3(n-1)=3n+1.故選：C4.下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）①數(shù)列1，2，3可以表示成，2，；②數(shù)列，0，1與數(shù)列1，0，是同一數(shù)列；③數(shù)列的第項(xiàng)是；④數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)．A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【分析】利用數(shù)列的基本概念對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】解：對(duì)于①，是集合，不是數(shù)列，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；對(duì)于②，數(shù)列是有序的，故數(shù)列，0，1與數(shù)列1，0，是不同的數(shù)列，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；對(duì)于③，數(shù)列的第項(xiàng)是，故選項(xiàng)③正確；對(duì)于④，由數(shù)列的定義可知，數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)，故選項(xiàng)④正確．故選：．二、簡單的通項(xiàng)與遞推作為剛學(xué)習(xí)數(shù)列感念，要了解和認(rèn)識(shí)一些簡單的遞推和通項(xiàng)關(guān)系，通過一項(xiàng)一項(xiàng)的推導(dǎo)，有助于對(duì)數(shù)列概念深層次的理解。三階遞推關(guān)系。如例題1分式型遞推關(guān)系，如例題2奇偶常數(shù)型遞推關(guān)系，如例題3正負(fù)相間型遞推關(guān)系，如例題4分段型遞推關(guān)系，如例題5內(nèi)外復(fù)合型遞推關(guān)關(guān)系，如例題6前n項(xiàng)和與通項(xiàng)型遞推關(guān)系，如例題7【典型例題】【例1】數(shù)列滿足，且，，則（）A．1 B．2 C．5 D．8【答案】C【分析】根據(jù)遞推公式一一計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，且，，所以，，故選：C【例2】數(shù)列中，，，則為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由遞推公式直接計(jì)算．【詳解】由題意，，．故選：A．【例3】已知數(shù)列中，，，則（）A．3009 B．3025 C．3010 D．3024【答案】B【分析】由已知得奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為2，代入計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】解：數(shù)列中，，，可得，，，…，即奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為2，則．故選：B．【例4】在數(shù)列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，則a5等于（）A．－ B．C．－ D．【答案】B【分析】根據(jù)遞推公式代入數(shù)據(jù)即可直接求出結(jié)果.【詳解】∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×＝，a3＝(－1)3×2×＝－，a4＝(－1)4×2×＝－，a5＝(－1)5×2×＝.故選：B.【例5】已知數(shù)列{an}滿足，，則254是該數(shù)列的（）A．第8項(xiàng) B．第10項(xiàng)C．第12項(xiàng) D．第14項(xiàng)【答案】D【分析】根據(jù)已知條件寫出數(shù)列中的前幾項(xiàng)，進(jìn)而根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出通項(xiàng)公式，解方程即可求解.【詳解】當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，an＋1＝2an，則a2＝2a1＝2，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次類推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，歸納可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，若為正奇數(shù)，則，則無正奇數(shù)解；若為正奇數(shù)，則，則；故選：D.【例6】由1，3，5，…，2n-1，…構(gòu)成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿足b1=2，當(dāng)n≥2時(shí)，，則b6的值是（）A．9 B．17C．33 D．65【答案】C【分析】利用給定遞推關(guān)系，依次求出數(shù)列{bn}的前6項(xiàng)即可作答.【詳解】因{an}的通項(xiàng)公式為，而n≥2時(shí)，，又b1=2，則.故選：C【例7】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，，則（）A．9 B．27 C．30 D．36【答案】D【分析】先令求出和，再令求出即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，故選：D.【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.已知數(shù)列滿足，，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用遞推關(guān)系即求.【詳解】依題意有，則，由此得，，，．故選：C．2.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù).若對(duì)于任意的正整數(shù)，總有，且，則（）A．16 B．32 C．48 D．64【答案】B【分析】由題意條件能夠求出，從而可求.【詳解】由題意可得，，則，又，則，又，則.故選：B.3.在數(shù)列中，，，（，），則（）A． B．6 C．10 D．【答案】B【分析】根據(jù)遞推公式一一計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，（，），即（，），所以，，故選：B4.設(shè)數(shù)列{an}滿足，則a3=（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式直接計(jì)算即可.【詳解】由且，得，.故選：C5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（）A．91 B．152 C．218 D．27【答案】B【分析】由數(shù)列與的關(guān)系可得，運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以.故選：B.6．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A．35 B． C． D．11【答案】A【分析】直接將代入通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A三、sn與an的關(guān)系1.授課時(shí)，要寫出詳細(xì)的如下關(guān)系，寫到a7再跨越到an注意處檢驗(yàn)n=1的情況。如例題1.“再寫一個(gè)作差”是處理sn與an的主要方法之一，如例題2復(fù)雜的“和”數(shù)列，可以通過換元來理解，實(shí)質(zhì)依舊是“再寫一個(gè)作差”的類型，如例題3.“前你項(xiàng)積”型，可類比“和”型，一個(gè)一個(gè)寫幾項(xiàng)增加理解，如例題4【典型例題】【例1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于()A． B．C． D．【答案】D【分析】利用與之間的關(guān)系即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足，所以.故選：D.【例2】若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an－2，則an與an－1的關(guān)系為（）A．a(chǎn)n＝2an－1 B．a(chǎn)n＝an－1C．a(chǎn)n＝－2an－1 D．a(chǎn)n＝－an－1【答案】A【分析】由求解即可【詳解】∵Sn＝2an－2，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1－2，即a1＝2.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，故選：A.【例3】若數(shù)列滿足：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用整體相減的方法即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式【詳解】由①得，當(dāng)時(shí)②由①②得當(dāng)時(shí)也滿足上式故選：D【例4】在數(shù)列中，，對(duì)于所有的，，都有，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得出當(dāng)時(shí)的式子，兩式相除得，即可得出，的值.【詳解】解：當(dāng)，時(shí)，．當(dāng)，時(shí)，．兩式相除得.，..故選：A.【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2，則an等于（）A．n B．n2C．2n＋1 D．2n－1【答案】D【分析】利用和與通項(xiàng)之間的關(guān)系即可求解．【詳解】∵Sn＝n2，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1．當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝1適合上式，∴an＝2n－1．故選：D2.數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令可求得的值，由，由作差法可得出的表達(dá)式，再對(duì)是否滿足的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，由，①可得，②①②可得，所以，，滿足.故對(duì)任意的，.故選：D.3.若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an－2，則an與an－1的關(guān)系為（）A．a(chǎn)n＝2an－1 B．a(chǎn)n＝an－1C．a(chǎn)n＝－2an－1 D．a(chǎn)n＝－an－1【答案】A【分析】由求解即可【詳解】∵Sn＝2an－2，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1－2，即a1＝2.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，故選：A.四、累加法累加法是指遞推公式滿足： 1.f（n）是常數(shù)型。實(shí)質(zhì)是即將學(xué)習(xí)的等差數(shù)列型，如例題12.f（n）是一次型。如例題23.f（n）是指數(shù)型。如例題34.f（n）是裂項(xiàng)型。如例題45.f（n）是對(duì)數(shù)型。如例題5，這道題實(shí)質(zhì)也可以裂項(xiàng)。6.換元型累加法，如例題67.更復(fù)雜的換元型累加法，如例題7.此題實(shí)質(zhì)是把例題4題換元而來，授課時(shí)可以利用更多的更復(fù)雜型的數(shù)列換元變型，以加深對(duì)數(shù)列累加法等的例題?！镜湫屠}】【例1】已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A．a(chǎn)n＝3n＋1 B．a(chǎn)n＝3nC．a(chǎn)n＝3n－2 D．a(chǎn)n＝3(n－1)【答案】C【分析】由an－an－1＝3，利用累加法求解.【詳解】∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3.∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式兩邊分別相加，得an－a1＝3(n－1)，∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2，故選：C.【例2】已知數(shù)列滿足，那么的值是（）A．20192 B．2018×2017 C．2019×2018 D．2019×2020【答案】C【分析】根據(jù)可知利用疊加法，，然后利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解即可．【詳解】故選：C【例3】已知數(shù)列滿足，，則（）A．510 B．512 C．1022 D．1024【答案】B【詳解】由,得，，，，以上各式相加得，，所以，所以.故選：B.【例4】已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，利用累加法得出.【詳解】由題意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.故選：B.【例5】在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：利用累加法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，再驗(yàn)證是否符合所得公式即可確定；法二：構(gòu)造數(shù)列，由已知條件確定其性質(zhì)并寫出通項(xiàng)，進(jìn)而可得.【詳解】方法一：，當(dāng)時(shí)，．又也符合所得通項(xiàng)公式，∴．方法二：∵，，∴數(shù)列是常數(shù)列，即，則．故選：A．【例6】數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，，，那么此數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【分析】分析得到是一個(gè)以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，求出，即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以.故答案為：【例7】在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，利用累加法先求出，進(jìn)而求得即可.【詳解】由題意得，，則，…，，由累加法得，，即，則，所以，故選：D【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，利用累加法結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋瑒t，，，，累加得，所以.當(dāng)n=1時(shí)也成立故選：A.2.數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.【答案】【分析】結(jié)合累加法以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可求出，由可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為:3.已知數(shù)列中，，，若對(duì)任意的，存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【詳解】由.∴∴若對(duì)任意的，存在，使得成立.所以對(duì)任意的恒成立.設(shè)，即對(duì)任意的恒成立.函數(shù)是關(guān)于的一次或常數(shù)函數(shù).所以，即解得，即所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：.五、累積法累加法是指遞推公式滿足： 1.f（n）是指數(shù)型。如例題12.f（n）是分?jǐn)?shù)型，這是累積法的標(biāo)配型。如例題2。3.反解型型，如例題3。4.隱藏在sn與an關(guān)系中的累積法，如例題4【典型例題】【例1】若數(shù)列滿足則數(shù)列的通項(xiàng)公式____________.【答案】【分析】利用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：，故答案為：【例2】已知數(shù)列滿足，(，)，則數(shù)列的通項(xiàng)（）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用累乘法的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】解：數(shù)列滿足，，整理得，，，，所有的項(xiàng)相乘得：，整理得：，故選：．【例3】已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得，再利用累乘法計(jì)算可得；【詳解】解：由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故選：D．【例4】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題可得當(dāng)時(shí)，，然后利用累乘法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，整理得，即，由累乘法，得，又，解得，滿足上式，綜上，．故選：A【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.已知數(shù)列的首項(xiàng)是，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．【答案】【分析】利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：由題意得：，所以，所以，因?yàn)?，所以．故答案為?.已知數(shù)列滿足，則__________．【答案】【解析】，得，則。3、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【詳解】由，可得當(dāng)時(shí)，，則，即，故，所以.當(dāng)滿足.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：六、周期數(shù)列周期數(shù)列一般是遞推公式比較復(fù)雜，且不在教學(xué)和考試范圍之內(nèi)的。最常見的是二階分式型遞推，如例題1和2題，兩種分式周期三階遞推，無常數(shù)，一般情況下可能是周期數(shù)列，如例題3分段數(shù)列，也可能會(huì)有周期性，如例題4【典型例題】【例1】已知數(shù)列滿足，，則等于（）．A．0 B． C． D．【答案】B【分析】由遞推公式計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)得數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3，由此易得．【詳解】由，，得，，，由此可知數(shù)列是周期變化的，且三個(gè)值一循環(huán)，所以可得，，故．故選：B．【例2】數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)積為，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依次代入可得是以為周期的周期數(shù)列，由可推導(dǎo)得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；…，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，.故選：D.【例3】已知數(shù)列滿足，，，則（）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】由題可求數(shù)列的前七項(xiàng)，可得數(shù)列是周期為6的數(shù)列，即求.【詳解】，，，可得，，，，，，可得數(shù)列是周期為6的數(shù)列，則．故選：D．【例4】在數(shù)列中，若則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，列舉前面的部分項(xiàng)，即可歸納總結(jié)出周期性的規(guī)律，進(jìn)而求得.【詳解】可以看出四個(gè)循環(huán)一次故故選：B.【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】1.設(shè)數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)之積為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的值確定數(shù)列周期為，利用周期的性質(zhì)得出.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，，，，可知?shù)列是以為周期的周期數(shù)列，所以，故選：B.2.已知數(shù)列{an}滿足a1＝x，a2＝y(tǒng)，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，則a2007＝（）A．x B．y C．y－x D．－x【答案】C【分析】由a1＝x，a2＝y(tǒng)，an＋1＝an－an－1(n≥2)，可得數(shù)列{an}的周期為6，從而可求得答案【詳解】根據(jù)遞推關(guān)系可得x，y，y－x，－x，－y，x－y，這6個(gè)數(shù)值依次重復(fù)出現(xiàn)，即可得數(shù)列{an}的周期為6，所以，故選：C.七、數(shù)列單調(diào)性和最值數(shù)列單調(diào)性的判斷：定義法：為增，為減數(shù)列可以用“差比法”或者“商比法”進(jìn)行判斷，如例題1也可以用將來學(xué)的數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行判斷數(shù)列最值，大多數(shù)可以歸結(jié)為函數(shù)型來求解。但是要注意它是離散函數(shù)。如例題2因?yàn)閿?shù)列是離散型函數(shù)，所以對(duì)于分段數(shù)列，要注意兩段連接處的關(guān)系，如例題3當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)是各種對(duì)應(yīng)的“函數(shù)”時(shí)。在離散的基礎(chǔ)上尋找函數(shù)最值關(guān)系，如例題4和5題數(shù)列通項(xiàng)公式含參，又通過單調(diào)西和最值求參，依舊是在“離散”處設(shè)置了坑，解題時(shí)候要注意這些地方，如例題6【典型例題】【例1】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列為（）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．搖擺數(shù)列 D．先增后減數(shù)列【答案】D【分析】利用數(shù)列單調(diào)性的定義，利用作差法比較與的大小關(guān)系結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，易知：，所以?dāng)時(shí)，，時(shí)，，故該數(shù)列為先增后減數(shù)列，故選：D.【例2】已知數(shù)列，，則下列說法正確的是（）A．此數(shù)列沒有最大項(xiàng) B．此數(shù)列的最大項(xiàng)是C．此數(shù)列沒有最小項(xiàng) D．此數(shù)列的最小項(xiàng)是【答案】B【分析】令，則，，然后利用函數(shù)的知識(shí)可得答案.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由雙勾函數(shù)的知識(shí)可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)即時(shí)，取得最大值，所以此數(shù)列的最大項(xiàng)是，最小項(xiàng)為故選：B．【例3】設(shè)函數(shù)，，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由數(shù)列定義，必須分段函數(shù)的兩段都是減函數(shù)，然后滿足即可．【詳解】因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以只需且，即且，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為．故選：C．【例4】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用與的關(guān)系可求，可得，再利用函數(shù)的單調(diào)性即求.【詳解】∵，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.∴，記，則在與上都是增函數(shù)，∴數(shù)列的最小項(xiàng)是第6項(xiàng)，值為.故選：C【例5】已知數(shù)列中，，則數(shù)列的最小項(xiàng)是（）A．第1項(xiàng) B．第3項(xiàng)、第4項(xiàng) C．第4項(xiàng) D．第2項(xiàng)、第3項(xiàng)【答案】D【分析】根據(jù)題意，可知數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)或3時(shí)，取得最小值，從而得出答案.【詳解】解：由題可知，，由于，所以當(dāng)或3時(shí)，取得最小值，所以數(shù)列的最小項(xiàng)是第2項(xiàng)、第3項(xiàng).