廣東省東莞市東華中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

廣東省東莞市東華中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若aR，則a=2是（a-1）（a-2）=0的A.充分而不必要條件

B必要而不充分條件C.充要條件

C.既不充分又不必要條件參考答案：A

本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，難度較小。若a=2時(shí)（a－1）(a－2)=0成立。充分性成立。若（a－1）(a－2)=0時(shí)，a=1或a=2.必要性不成立2.已知實(shí)數(shù)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A．c＜b＜a

B．c＜a＜b

C．b＜a＜c

D．a(chǎn)＜c＜b參考答案：B3.已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)(1,2)，則雙曲線E的離心率為（

）A．

B．2

C．

D．5參考答案：C4.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，且?=2，已知點(diǎn)A（﹣2，0），B（2，0），則（|PA|﹣|PB|）2（）A．為定值8 B．為定值4 C．為定值2 D．不是定值參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】可畫出圖形，并設(shè)P（x，y），Q（x，﹣y），從而由可得到y(tǒng)2=x2﹣2，進(jìn)而得出，從而求出，這樣便可得到，這樣便可得出正確選項(xiàng)．【解答】解：如圖，設(shè)P（x，y），Q（x，﹣y），則：；∴y2=x2﹣2，，或；∴==，；∴=；∴=8．故選A．5.一條長(zhǎng)為2的線段，它的三個(gè)視圖分別是長(zhǎng)為的三條線段，則ab的最大值為

A．

B．

C．

D．3參考答案：C略6.已知函數(shù)f（x）=alnx﹣+bx存在極小值，則有（）A．a(chǎn)＜0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＞0 C．a(chǎn)＜0，b＜0 D．a(chǎn)＞0，b＜0參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，推出a，b符號(hào)，得到結(jié)果．【解答】解：函數(shù)f（x）=alnx﹣+bx定義域?yàn)椋簒＞0，可得函數(shù)f′（x）=﹣x+b=，令﹣x2+bx+a=0，函數(shù)f（x）=alnx﹣+bx存在極小值，可得b2+4a＞0，∴極小值點(diǎn)x1=﹣＞0，可得a＜0，b＞0．故選：A．7.已知函數(shù)的圖象是下列兩個(gè)圖象中的一個(gè)，請(qǐng)你選擇后再根據(jù)圖象做出下面的判斷：若，且，則A．

B．

C．

D．參考答案：D8.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，b=2，則△ABC面積的最大值是A.1 B. C.2 D.4參考答案：B 由題意知，由余弦定理，，故，有，故.故選B.9.已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，向量a與b的夾角為，c＝a＋2b，則｜c(diǎn)｜＝（）A、B、C、2D、3參考答案：A.10.是數(shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)都有，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A由，可知，兩式相減，得，整理得由可得，則故選：A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=sinx+5x，x∈（﹣1，1），如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，則a的取值范圍是

．參考答案：1＜a＜【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】計(jì)算題．【分析】判定函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，然后通過f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，推出a的不等式，求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=sinx+5x，x∈（﹣1，1），所以函數(shù)是增函數(shù)，奇函數(shù)，所以f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，可得﹣1＜1﹣a2＜a﹣1＜1，解得1＜a＜，故答案為：1＜a＜．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)以及隱函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，以及不等式的解法，是易錯(cuò)題．12.若關(guān)于x的不等式對(duì)任意在上恒成立，則實(shí)

常數(shù)的取值范圍是

；參考答案：得，即恒成立.因?yàn)椋丛诤愠闪?，令，則，二次函數(shù)開口向上，且對(duì)稱軸為.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，要使不等式恒成立，則有，解得.當(dāng)，左邊的最小值在處取得，此時(shí)，不成立，綜上的取值范圍是，即.13.函數(shù)的定義域?yàn)?，則值域?yàn)開__________．參考答案：【分析】由誘導(dǎo)公式及正弦的二倍角公式化簡(jiǎn)可得：，結(jié)合該函數(shù)的定義域即可求得，問題得解.【詳解】由得：當(dāng)時(shí)，，，該函數(shù)值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式及正弦的二倍角公式，還考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，屬于中檔題.14.曲線y=2x﹣lnx在點(diǎn)（1，2）處的切線方程是．參考答案：x﹣y+1=0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題．【分析】求出曲線的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入即可得到切線的斜率，然后根據(jù)（1，2）和斜率寫出切線的方程即可．【解答】解：由函數(shù)y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切線的斜率k=2﹣=1則切線方程為：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案為：x﹣y+1=0【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生會(huì)根據(jù)曲線的導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，從而利用切點(diǎn)和斜率寫出切線的方程．15.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

。參考答案：4略16.函數(shù)的遞增區(qū)間是______.參考答案：略17.江湖傳說，蜀中唐門配制的天下第一奇毒“含笑半步癲”是由3種藏紅花，2種南海蛇毒和1種西域毒草順次添加煉制而成，其中藏紅花的添加順序不能相鄰，同時(shí)南海蛇毒的添加順序也不能相鄰，現(xiàn)要研究所有不同添加順序多藥效的影響，則總共要進(jìn)行次試驗(yàn)．參考答案：48【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】先不考慮蛇，再減去蛇相臨情況，即可得出結(jié)論．【解答】解：先不考慮蛇N1=C42×C53，再減去蛇相臨情況，N2=N1﹣C31C43=48，故答案為48．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）

如圖點(diǎn)A，B是單位圓上的兩點(diǎn)，A，B點(diǎn)分別在第一、二象限，點(diǎn)C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，△AOB是正三角形，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，記∠COA=α。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值。

參考答案：解析：（Ⅰ）∵A的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知

·················3分

∴

·················6分

（Ⅱ）∵△AOB為正△，∴∠AOB=60°

·················7分

∴cos∠COB=cos(α+60°)=cosαcos60°-sinαsin60°

·················8分

·················9分

∴∠COB

················10分

=

················12分19.（12分）醫(yī)生的專業(yè)能力參數(shù)K可有效衡量醫(yī)生的綜合能力，K越大，綜合能力越強(qiáng)，并規(guī)定：能力參數(shù)K不少于30稱為合格，不少于50稱為優(yōu)秀．某市衛(wèi)生管理部門隨機(jī)抽取300名醫(yī)生進(jìn)行專業(yè)能力參數(shù)考核，得到如圖所示的能力K的頻率分布直方圖：

（1）求出這個(gè)樣本的合格率、優(yōu)秀率；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽出一個(gè)樣本容量為20的樣本，再?gòu)倪@20名醫(yī)生中隨機(jī)選出2名．①求這2名醫(yī)生的能力參數(shù)K為同一組的概率；②設(shè)這2名醫(yī)生中能力參數(shù)K為優(yōu)秀的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖．【分析】（1）根據(jù)合格率、優(yōu)秀率的意義即可得出；（2）利用分層抽樣的方法、古典概型的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列和期望即可得出．【解答】解：（1）解：各組的頻率依次為0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，∴這個(gè)樣本的合格率為1﹣0.2=0.8，優(yōu)秀率為0.15+0.1+0.05=0.3．（2）①用分層抽樣抽出的樣本容量為20的樣本中，各組人數(shù)依次為4，6，4，3，2，1．從20名醫(yī)生中隨機(jī)選出2名的方法數(shù)為，選出的2名醫(yī)生的能力參數(shù)K為同一組的方法數(shù)為．故這2名醫(yī)生的能力參數(shù)K為同一組的概率．②20名醫(yī)生中能力參數(shù)K為優(yōu)秀的有6人，不是優(yōu)秀的有14人．依題意，X的所有可能取值為0，1，2，則，，．∴X的分布列為X012P∴X的期望值．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握合格率、優(yōu)秀率的意義、分層抽樣的方法、古典概型的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列和期望是解題的關(guān)鍵．20.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最大距離為3．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）斜率存在的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，并且滿足以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線在y軸上截距的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由題意可知：設(shè)橢圓C的方程為（a＞b＞0），半焦距為c，由題意可知：e==，即a=2c，a+c=3，b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，由△＞0求得3+4k2＞m2，由韋達(dá)定理求得x1+x2=﹣，x1?x2=，由以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，?=0，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示x1?x2+y1?y2=0，求得7m2=12+12k2，代入即可求得m2＞，7m2=12+12k2≥12，即可求得截距y軸上截距的取值范圍．【解答】解：（1）由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則設(shè)橢圓C的方程為（a＞b＞0），半焦距為c．由橢圓的離心率e==，即a=2c，由橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最大距離3，∴a+c=3，解得：a=2，c=1，由b2=a2﹣c2=3，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，整理得：3+4k2＞m2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣，x1?x2=，y1?y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1?x2+km（x1+x2）+m2，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴OA⊥OB，則?=0，∴x1?x2+y1?y2=0，即x1?x2+k2x1?x2+km（x1+x2）+m2=0，則（1+k2）x1?x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）?﹣km?+m2=0，化簡(jiǎn)得：7m2=12+12k2，將k2=m2﹣1，代入3+4k2＞m2，3+4（m2﹣1）＞m2，解得：m2＞，又由7m2=12+12k2≥12，從而m2≥，m≥或m≤﹣．∴實(shí)m的取值范圍（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21.已知△ABC的面積為S，且?=S，|﹣|=3．（Ⅰ）若f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的圖象與直線y=2相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的最短距離為2，且f（）=1，求△ABC的面積S；（Ⅱ）求S+3cosBcosC的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（Ⅰ）由條件利用余弦函數(shù)的圖象特征求出ω，可得f（x）的解析式，再根據(jù)f（）=1求得B，再利用條件求得A，從而△ABC是直角三角形，從而計(jì)算△ABC的面積S．（Ⅱ）利用正弦定理求得△ABC的外接圓半徑R，再化減S+3cosBcosC為3cos（B﹣C），從而求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的圖象與直線y=2相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的最短距離為T，∴T=2，即：，解得ω=π，故f（x）=2cos（πx+B）．又，即：，∵B是△ABC的內(nèi)角，∴，設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，∵，∴，解得，，從而△ABC是直角三角形，由已知得，，從而，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則2R===2，解得R=，∴S+3cosBcosC=bcsinA+3cosBcosC=bc+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B﹣C），故的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象特征，正弦定理，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．22.在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，且a=2csinA．（Ⅰ）確定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面積