2023屆新高考數(shù)學(xué)小題限時練含答案 (九)

2023屆新高考數(shù)學(xué)小題限時練含答案專題09小題限時練9

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4（）分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.集合｛xeZ|log?f2｝的子集個數(shù)為（）

C.16

2.已知復(fù)數(shù)z=2+R（aeR,i為虛數(shù)單位），滿足zN=6,則|z-l|=（

A.A/3C.逐

函數(shù)/（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期和最小值分別為（

已知拋物線V=2y上點力的橫坐標(biāo)為3,則A到拋物線焦點F的距離為（

5.如圖所示的三角形數(shù)陣叫‘'萊布尼茲調(diào)和三角形”、它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的.第〃行有”個數(shù)且兩端

的數(shù)均為1（〃2）,且有個數(shù)是它下一行左、右相鄰兩數(shù)的和，如：-=-+-=-+-=-+則

n1222363412

第7行第5個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）

11_

22

1￡1

363

￡2.11

412124

JL_L_L!

52030205

-1,1

6.已知a=/〃2,b=log2e>c=2,則Q,b,c的大小關(guān)系為()

A.b>a>cB.h>c>aC.a>h>cD.c>a>b

7.已知直線x+>-1=0與圓〃：/+/一2*一2y=0交于力，8兩點，若NAMB=4/MAB,則a=()

A.±2B.±1C.2或一1D.1或一2

7

8.已知函數(shù)〃x)=---------X3+2,則不等式/(〃/)+/(m-2)<6的解集為()

3+1

A.(-1,2)B.(-00,-1)U(2，+8)

C.(-2,1)D.(-co,-2)U(1,+oo)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知函數(shù)/(x)=xcosx-sinx,下列結(jié)論正確的是()

A./(X)是以為周期的函數(shù)B./(x)是區(qū)間阿，2句上的增函數(shù)

C.“X)是R上的奇函數(shù)D.0是/(x)的極值點

10.已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量(單位：g)X?N(500,16).尸(〃-〃+<r)=0.6827,

尸(〃一2b<x〃+2b)=0.9545,尸(〃-3b<X〃+3b)=0.9973,則下面結(jié)論正確的是()

A.a=4

B.P(496<X504)=0.9545

C.隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間(492,504］的約8186袋

D.隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量小于488g的一定不多于14袋

11.已知拋物線C:/=2px,C的準(zhǔn)線與x軸交于K,過焦點廠的直線/與C交于1,B兩點,連接NK、

BK,設(shè)的中點為P,過P作Z8的垂線交x軸于。，下列結(jié)論正確的是()

A.\AF\-\BK\^AK\-\BF\B.tanNAKF=cosNPQF

2

C.A/1K8的面積最小值為勺D.\AB\=2\FQ\

12.已知正四棱臺/88-48CQ1的上、下底面邊長分別為4,6,高為近，E是4耳的中點，則()

A.正四棱臺4BCD-4ACQ的體積為若&

B.正四棱臺/5CO-48CQ的外接球的表面積為104萬

C.4E//平面BQD

D.4到平面8CQ的距離為警

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量2與石的夾角為(，伍|=1,展伍+5)=2,則|B|=.

14.在(x-苧尸的展開式中，的系數(shù)為28,則0=—.

15.在棱長為2的正方體48CD-44GA中，E是的中點，尸是CG上的動點，則三棱錐4-?！晔?/p>

接球表面積的最小值為一.

16.已知三棱錐O-48C,P是面/8C內(nèi)任意一點，數(shù)列也,}共9項，q=l,《+%=2%，且滿足

OP={a?-an_^OA-laftB+3(a?_,+1)OC(2n9,〃wN*),滿足上述條件的數(shù)列共有個-

專題09小題限時練9

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4()分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.集合{xeZ|log?f2}的子集個數(shù)為()

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【詳解】???{xeZI/ogzf2}={xeZ|-2x0}={-2,-1,1,2},

24

/.(xeZjlog2x2}的子集個數(shù)為2=16.

故選：C.

2.已知復(fù)數(shù)z=2+ai(aeR,i為虛數(shù)單位)，滿足zN=6,則|z-l|=()

A.73B.3C.V?D.5

【答案】A

【詳解】?.?復(fù)數(shù)z=2+ai(〃€R,/?為虛數(shù)單位)，滿足zN=6,

:.22+a2=6,解得/=2,

則|z—11=|1+ai|=A/11+a2-6，

故選：A.

3.函數(shù)/(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期和最小值分別為()

A.1B.—C.1D.開，1

4222

【答案】C

【詳解】由于/(%4-y)=|sin(x+y)I+1cos(x+-y)1=1cosx|+1sinx|=f(x),

故函數(shù)/(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是搟；

當(dāng)XE[0—]時,f\x)=sinx+cosx=V2sin(x+—)

???x+暴牛爭,"MU'⑸

故選：c.

4.己知拋物線x?=2y上點4的橫坐標(biāo)為3,則/到拋物線焦點尸的距離為()

11

AB.4C.5D.

-i~2

【答案】C

【詳解】拋物線的準(zhǔn)線：y=-^=~,拋物線f=2y上一點43$到其焦點尸的距離為g+；=5.

故選：C.

5.如圖所示的三角形數(shù)陣叫''萊布尼茲調(diào)和三角形”、它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的.第〃行有“個數(shù)且兩端

的數(shù)均為工52）,且有個數(shù)是它下一行左、右相鄰兩數(shù)的和，如：-=-+-=-+-=-+—,則

n1222363412

第7行第5個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）

1

1

11

22

11

363

412124

!!

52030205

【答案】B

【詳解】設(shè)第〃行第陽個數(shù)為。(〃,〃?)，

由題意知”(6,1)=1,?(7,1)=-,

67

a(7,2)=a(6,l)-tz(7,1)=---=—,

6742

a(6,2)=a(5,l)-a(6,1)=---=—,

5630

a(7,3)=a(6,2)-a(7,2)=-——,

3042105

由“萊布尼茲調(diào)和三角形”的對稱性知第7行第5個數(shù)與第7行第3個數(shù)相同、

故選：B.

6.已知〃=/〃2,b=log,e,c=2''',則“，b,c的大小關(guān)系為()

A.h>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】A

【詳解】a=ln2,則

2

b=log2e,則b>1,

c=2_,-1,貝

2

即6>a>c,

故選：A.

7.已知直線x+y-l=O與圓河：/+_/-2次一2歹=0交于Z,8兩點，若NAMB=4NMAB,貝Ua=()

A.±2B.±1C.2或-1D.1或-2

【答案】B

【詳解】?.?圓〃/2+/-2奴-2了=0可變?yōu)椋ā?。）2+3-1）2=02+1,

圓心M（a』）,R-y1a2+1,圓心到直線x+y-l=O的距離4=

Vi+T叵

?：MA=MB,NMAB=NMBA,又N4MB=4ZMAB,:.NMAB=30°,

d=—7?,-^7=!-=—-\la2+1,解得/=1,a=±1.

2應(yīng)2

故選：B.

7

8.已知函數(shù)/.（x）=i——X3+2,則不等式/1/）+/（加一2）＜6的解集為（）

3+1

A.(-1,2)B.(-a),-1)0(2,+8)

C.(-2,1)D.(—co,—2)U(1,+oo)

【答案】D

【詳解】函數(shù)/。）=二一-丁+2,

3、+1

7

由丁=一/和丁=----在/?上遞減，可得/（X）在及上遞減;

3+1

2

由/(樸3=正/

1-J-x

可得〃-)-3+/*)-3=方+人l-3rT=3T+T=O,

1+3、1+3、

即有/(x)+/(-x)=6，

則不等式/(w2)+/(5-2)<6即為f(m2)+J\m2)+

即為f(m-2<f(-m2)，

由/（x）在R上遞減，可得陽-2＞，解得或機(jī)＜-2,

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知函數(shù)/(x)=xcosx-sinx,下列結(jié)論正確的是()

A.“X)是以2萬為周期的函數(shù)B.“X)是區(qū)間［7,2幻上的增函數(shù)

C./(x)是R上的奇函數(shù)D.0是/(x)的極值點

【答案】BC

【詳解】/(x)=xcosx-sinx,/'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

對于4,因為/(0)=0,/(2勿)=2萬*/(0),所以4錯；

對于8,因為當(dāng)xepr,2何時，/(x)=-xsinx0,所以/(x)是區(qū)間［乃，2乃］上的增函數(shù)，所以8對；

對于C,/(-x)=-xcos(-x)-sin(-x)=-/(%),所以C對；

對于。，由C知I,。錯.

故選：BC.

10.已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量(單位：g)X~N(500,16).尸(〃-cr<xM+<T)=0.6827,

P(p-2cr<xp+2(T)=0,9545,尸(〃-3cr<X〃+3b)=0.9973,則下面結(jié)論正確的是()

A.cr=4

B.尸(496cx504)=0.9545

C.隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間(492,504］的約8186袋

D.隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量小于488g的一定不多于14袋

【答案】AC

【詳解】對于/,?.?袋裝食品每袋質(zhì)量(單位：g)X?N(500,16),

:.cr=4,故4正確，

對于8,P(496<X504)=P(500-4<X500+4)=尸(〃-〃+cr)=0.6827,故8錯誤，

對于C,???P(500<%504)=-P(496<504)=-x0.6827=0.34135,

22

P(492<X500)=；P("-2a<x〃+2<T)=0.9545=0.47725,

/.P(492<y504)=P(492<X500)+尸(500<X504)=0.8186,10000x0.8186=8186,

故隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間(492,504］的約8186袋，故C正確，

對于。，P(X488)=；［l-P(〃-3b<X;/+3cr)］=1(l-0.9973)=0.00135,

10000x0.00135=13.5,

故隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量小于488g約為13.5袋，故。錯誤.

故選：AC.

11.已知拋物線C：/=2px,C的準(zhǔn)線與x軸交于K,過焦點戶的直線/與C交于/,8兩點，連接力K、

BK,設(shè)N8的中點為P,過P作48的垂線交x軸于0,下列結(jié)論正確的是()

A.\AF\-\BK\=^AK\-\BF\B.tanNAKF=cosNPQF

C.A4K8的面積最小值為々D.\AB^2\FQ\

【答案】BD

【詳解】設(shè)直線48的傾斜角為a,即4Kr=a,設(shè)4(占，乂)，B(x2,%),P(x?,y0),

對于/選項：

設(shè)直線AB為x=my+g

_p_

聯(lián)立直線AB與拋物線方程r=my+2,

y=2Px

化簡整理可得，y2-2pmy-p2=0,

1

由韋達(dá)定理可得，yt+y2=2pm,yty2=-p,

???K(4,0),

.,一，，.一必，為一切,y_2,明%+%)_必爐+2p，i_,、

.."AK'兒BK~十—?2—.......Jv,

?,￡?,￡myt+pmy-,+p(myx+p)(my2+p)(n^+p)(my2+p)

?522

.??X軸為//K8的角平分線，

???根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，回=烏，即用.|BK|=|/K|.|8尸|,故/正確，

\BF\\BK\

對于B選項：過4作軸，垂足為D,

則tanZ.AFK=———,cosZ.PQF=cos(--a)=sina=——=———

x.+—2I"F?x.+—

1212

所以tanZ.AFK=cosZ.PQF,故3正確;

2

對于c選項：SMKB=S^Kf.+S^Kf.=^\KF^yx-y2|=y|-y2\-2p=p,

當(dāng)即Z8_Lxn寸，取等號,

故MKB的面積最小值p2,故C錯誤;

對于。選項：，兩式相減（必+%）（乂-刈）=2〃（a-9）,

1%=2pX]

tan=21Z&=^^/,

MF凹+為為

所以尸。方程為y—盟=—l（x—%）,令y=0,—典=--x0）,則x=p+x0,

PP

所以。（P+%,0）,

所以I尸。六夕+天-]=5+X。，所以|N8|=X[+*2+。=2%+2=2|/。],故。正確;

故選：BD.

12.已知正四棱臺N3CQ-44G。的上、下底面邊長分別為4,6,高為近，E是4片的中點，則（）

C.R

A.正四棱臺N8C。-48cA的體積為“/

B.正四棱臺NBCD-48CQ的外接球的表面積為104萬

C.4￡//平面8。1。

D.4到平面8G。的距離為平

【答案】BCD

【詳解】對于4，?.?正四棱臺/8CO-48CQ的上、下底面邊長分別為4,6,高為

正四棱臺/8C。-48cq的體積為：

V=-(SABCD+SABCn+dSABCD-SABCD)h=-(16+36+^6-36)-&=7^,故/錯誤；

對于8,連接4C,BD,交于點。2,連接4G、8自,交于點?,

若外接球的球心。在正四棱臺的內(nèi)部，

則。在。02上，。、0[=近，

?.?正四棱臺N8CO-4AGA的上、下底面邊長分別為4,6,高為近，E是4A的中點，

.,.￡>0=1加=20,DO1=；DB=3五,

設(shè)外接球0的半徑R,：.JDQ=DQ：+\D02_D0；=。02，

即，R2-8+JR2-I8=&,無解，，外接球的球心。在正四棱臺48C。-48cA的外部，如圖,

則。在0。2的延長線上，0。=近,

?.?正四棱臺/8CO-44G4的上、下底面邊長分別為4,6,高為應(yīng)，￡是44的中點,

二￡＞必=2&,DO2=^DB=3y[2,

設(shè)外接球。的半徑R,二4DP'-DP~+S。?-DO；=OR,

即J/?2—8+JR2—18=&,解得后=26,

正四棱臺/8CO-44CQ的外接球的表面積為4萬斤=104萬，故8正確;

對于C,取44的中點尸，連接/尸，EF,4G「|￡F=G,連接4G,

.?.烏瓦//跖，，G是4Q的中點，

???4。|=4近，GC,=3A/2,

又私=3忘,；.GG=AO2,

■：GCJ/AO2,四邊形GC024是平行四邊形，

GA//C}O2,*.*GA色平面C、BD,C}O2u平面CXBD,

.?.GA//平面G8。,

,:D\BJ/BD,EF//BD,

???斯仁平面G8。，8。＜=平面。]8。，:.EF//平面C】BD,

「EFp|AG=G,平面C、BD/1平面AEF,

???ZEu平面4EF,.?.ZE//平面G&),故C正確;

以為原點，、02A,。2。1所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(3/，0,0),8(-30,0,0),C,(0,-2V2,揚(yáng)，4(0,2啦，回，

西=(-3&,-2&,回，西=(30,-2近，①，石=(0,-4&,0),

設(shè)平面8CQ的一個法向量為萬=(x,y,z),

r/西?五=-3&x-2缶+缶=0wk

則—!LL.L，取N=l，得萬=(0，1，2),

[BC1-n=3V2x-2yj2y+V2z=0

A,到平面BCD的距離為.=華="，故正確.

、，尸D

l?lV55

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量2與B的夾角為|叫=1,a-(a+b)=2,貝!]出|=.

【答案】2

【詳解】因為向量。與5的夾角為2，m|=1，a-(a+b)=2,

所以22+展很=2,所以舊||B|cos<a,b>=\,即lx|B|cosq=l,

解得|B|=2.

故答案為：2.

14.在(x-第y的展開式中，x$的系數(shù)為28,則。=—.

【答案】1

【詳解】展開式的通項公式為Tr+i=(-半y