有理數(shù)的乘方【 學(xué)霸筆記+典例精析+競(jìng)賽試題 】 初中數(shù)學(xué) 學(xué)科素養(yǎng)能力提升 （ 含答案解析 ）

專題4有理數(shù)的乘方一、乘方的應(yīng)用【典例】有人說，將一張紙對(duì)折，再對(duì)折，重復(fù)下去，第43次后紙的厚度便超過地球到月球的距離，已知一張紙厚0.006cm，地球到月球的距離約為3.85×108m，用計(jì)算器算一下這種說法是否可信．【解答】解：對(duì)折43次后，這張紙的厚度為0.006×243≈5.28×1010（cm）＝5.28×108（m），∵5.28×108m＞3.85×108m，∴這種說法是可信的．【鞏固】1883年，康托爾構(gòu)造的這個(gè)分形，稱作康托爾集，從數(shù)軸上單位長(zhǎng)度線段開始，康托爾取走其中間三分之一而達(dá)到第一階段，然后從每一個(gè)余下的三分之一線段中取走其中間三分之一而達(dá)到第二階段，無限地重復(fù)這一過程，余下的無窮點(diǎn)集就稱做康托爾集，上圖是康托爾集的最初幾個(gè)階段，當(dāng)達(dá)到第n個(gè)階段時(shí)，余下的所有線段的長(zhǎng)度之和為（）A．2n3 B．23 C．(2【解答】解：根據(jù)題意知：第一階段時(shí)，余下的線段的長(zhǎng)度之和為23第二階段時(shí)，余下的線段的長(zhǎng)度之和為23×23=第三階段時(shí)，余下的線段的長(zhǎng)度之和為23×23×…以此類推，當(dāng)達(dá)到第n個(gè)階段時(shí)（n為正整數(shù)），余下的線段的長(zhǎng)度之和為（23）n故選：C．二、等比數(shù)列求和【典例】閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：設(shè)S＝1+2+22+…+22020+22021①則2S＝2+22+…+22021+22022②②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題：（1）2+22+…+220＝；（2）求1+12（3）求1+a+a2+a3+…+an的和．（a＞1，n是正整數(shù)，請(qǐng)寫出計(jì)算過程）【解答】解：（1）設(shè)S＝2+22+…+220，則：2S＝22+23+…+220+221，2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，∴S＝221﹣2，故答案為：221﹣2．（2）設(shè)S＝1+12S＝2+1+12S﹣S＝（2+1+12+122+?+∴S＝2-1故答案為：2-1（3）設(shè)S＝1+a+a2+a3+…+an，則：aS＝a+a2+a3+…+an+an+1，aS﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+an+an+1）﹣（1+a+a2+a3+…+an）＝an+1﹣1．∴S=a【鞏固】計(jì)算：【解答】設(shè)，則，，鞏固練習(xí)1．已知（a+1）2＝25，且a＜0，|a+3|+|b+2|＝14，且ab＞0，則a+b＝（）A．﹣19 B．﹣9 C．13 D．3【解答】解；∵（a+1）2＝25，∴a+1＝±5，∴a＝﹣6或4，∵a＜0，∴a＝﹣6，∵|a+3|+|b+2|＝14∴b+2＝±11，b＝9或﹣13，∵ab＞0，a＜0，∴b＜0，b＝﹣13，∴a+b＝﹣6﹣13＝﹣19．故選：A．2．若a，b，c均為整數(shù)且滿足（a﹣b）10+（a﹣c）10＝1，則|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：因?yàn)閍，b，c均為整數(shù)，所以a﹣b和a﹣c均為整數(shù)，從而由（a﹣b）10+（a﹣c）10＝1可得|a-b|=若|a-b|=1|a-c|=0從而|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝|a﹣b|+|b﹣a|+|a﹣a|＝2|a﹣b|＝2．若|a-b|=0|a-c|=1從而|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝|a﹣a|+|a﹣c|+|c﹣a|＝2|a﹣c|＝2．因此，|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝2．故選：B．3．如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個(gè)式子（其中的n是正整數(shù)），每行的三個(gè)式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個(gè)式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3【解答】解：A1＝2n﹣2+2n﹣4+2n﹣6＝732，整理可得：2n＝248，n不為整數(shù)；A2＝2n﹣8+2n﹣10+2n﹣12＝732，整理可得：2n＝254，n不為整數(shù)；B1＝2n﹣2+2n﹣8+2n﹣14＝732，整理可得：2n＝252，n不為整數(shù)；B3＝2n﹣6+2n﹣12+2n﹣18＝732，整理可得：2n＝256，n＝8；故選：D．4．若|a+b+1|與（a﹣b+1）2互為相反數(shù)，則a與b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)≥b【解答】解：∵|a+b+1|與（a﹣b+1）2互為相反數(shù)，∴|a+b+1|+（a﹣b+1）2＝0，∴|a+b+1|＝0，（a﹣b+1）2＝0，即a+b+1＝0，a﹣b+1＝0，∴a＝﹣1，b＝0，∴﹣1＜0，即a＜b．故選：C．5．很多整數(shù)都可以表示為幾個(gè)互異的平方數(shù)之和，例如30＝12+22+32+42＝12+22+52，現(xiàn)將2012表示為k（k為正整數(shù)）個(gè)互異的平方數(shù)之和，則k的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：2012＝392+212+72+12，∴k的最小值是4．故選：C．6．計(jì)算：[-75×(-【解答】解：原式＝[75×52-7．若（x+1）2與|xy+2|互為相反數(shù)，則：1(x+2)y+【解答】解：∵（x+1）2與|xy+2|互為相反數(shù)，∴（x+1）2＝0，|xy+2|＝0，∴x＝﹣1，y＝2．代入原式可得11×2故答案為201020118．試寫出所有3個(gè)連續(xù)正整數(shù)立方和的最大公約數(shù)，并證明．【解答】解：設(shè)三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的立方和為f（n）＝（n﹣1）3+n3+（n+1）3＝3n3+6n＝3n3﹣3n+9n＝3n（n﹣1）（n+1）+9n又∵當(dāng)n≥2時(shí)，（n﹣1）n（n+1）是三個(gè)連續(xù)的整數(shù)的積，所以必是3的倍數(shù)，所以3n（n﹣1）（n+1）能被9整除．∴f（n）能被9整除∴三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的立方和的最大公約數(shù)是9．9．已知a，b為正整數(shù)，求M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整數(shù)值．【解答】解：∵a，b為正整數(shù)，要使得M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4的值為正整數(shù)，顯然有a≥2，當(dāng)a＝2時(shí)，b只能為1，此時(shí)M＝4，故M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整數(shù)值不超過4；當(dāng)a＝3時(shí)，b只能為1或2，若b＝1，則M＝18，若b＝2，則M＝7；當(dāng)a＝4時(shí)，b只能為1或2或3，若b＝1，則M＝38，若b＝2，則M＝24，若b＝，3，則M＝2；若M＝1，即3a2﹣ab2﹣2b﹣4＝1，即3a2﹣ab2＝2b+5①，注意到2b+5為奇數(shù)，∵3a2是偶數(shù)，又偶數(shù)減奇數(shù)才得奇數(shù)，∴a是偶數(shù)，b是偶數(shù)．此時(shí)3a2﹣ab2被4整除所得余數(shù)為3，2b+5被4整除所得余數(shù)為1，故①式不可能成立，即M≠1．故M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整數(shù)值為2．10．日常生活中，我們使用的是十進(jìn)制數(shù)，而計(jì)算機(jī)使用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)（數(shù)位的進(jìn)位方法是“逢二進(jìn)一”），有時(shí)候也會(huì)用到三進(jìn)制數(shù)（數(shù)位的進(jìn)位方法是“逢三進(jìn)一”）．如三進(jìn)位制數(shù)201可用十進(jìn)制數(shù)表示為2×32+0×3+1＝19；二進(jìn)位制數(shù)1011可用十進(jìn)制數(shù)表示為1×23+0×22+1×2+1＝11．（1）現(xiàn)有三進(jìn)位制數(shù)a＝221，二進(jìn)位制數(shù)b＝10111，試比較a與b的大小關(guān)系．（2）填空：將十進(jìn)制數(shù)18用二進(jìn)制數(shù)表示為．（3）我國(guó)古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖是一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)．求孩子出生的天數(shù)．【解答】解：（1）三進(jìn)位制數(shù)a＝221用十進(jìn)制數(shù)表示為2×32+2×3+1＝25，二進(jìn)位制數(shù)b＝10111用十進(jìn)制數(shù)表示為24+22+1×2+1＝23，所以a＞b．（2）因?yàn)?8＝24+2，所以十進(jìn)制數(shù)18用二進(jìn)制數(shù)表示為10010．故答案為：10010．（3）圖中的數(shù)為6+2×7+3×72+73＝510，即孩子出生510天．11．閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：設(shè)S＝1+2+22+…+22020+22021①則2S＝2+22+…+22021+22022②②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題：（1）2+22+…+220＝；（2）求1+12+1（3）求1+a+a2+a3+…+an的和．（a＞1，n是正整數(shù)，請(qǐng)寫出計(jì)算過程）【解答】解：（1）設(shè)S＝2+22+…+220，則：2S＝22+23+…+220+221，2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，∴S＝221﹣2，故答案為：221﹣2．（2）設(shè)S＝1+12S＝2+1+12S﹣S＝（2+1+12+122+?+∴S＝2-1250，故答案為：（3）設(shè)S＝1+a+a2+a3+…+an，則：aS＝a+a2+a3+…+an+an+1，aS﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+an+an+1）﹣（1+a+a2+a3+…+an）＝an+1﹣1．∴S=a12．老財(cái)主臨終前將全部銀元分給他的四個(gè)兒子．老大分得全部銀元4等份中的1份，多出的1枚銀元給了丫環(huán)；老二分得余下銀元4等份中的1份，多出的1枚銀元給了丫環(huán)；老三分得余下銀元4等份中的1份，多出的1枚銀元給了丫環(huán)；老四分得余下銀元4等份中的1份，多出的1枚銀元給了丫環(huán)；余下的銀元又分成4等份，四個(gè)兒子各得一份，多出的1枚銀元給了丫環(huán)．問老財(cái)主至少要有多少塊銀元才夠分．【解答】解：從每次分得的銀元都多出一枚可知，只要增加3枚銀元，則每次分到的都是4的倍數(shù)，共分了5次4的倍數(shù)，所以至少