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河北省保定市曲陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量,,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D由題意,所以答案A,B都不正確;又,且,所以答案C不正確,應(yīng)選答案
D。
2.在△ABC中,有命題:①;②;③若,則△ABC是等腰三角形;④若,則△ABC為銳角三角形.上述命題正確的是…………(
)
(A)②③
(B)①④
(C)
①②
(D)②③④參考答案:A因?yàn)?,所以①錯(cuò)誤。排除B,C.②正確。由得,即,所以△ABC是等腰三角形,所以③正確。若,則,即為鈍角,所以△ABC為鈍角三角形,所以④錯(cuò)誤,所以上述命題正確的是②③,選A.3.從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中,任取2個(gè)點(diǎn),則這2個(gè)點(diǎn)之間的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為(
)
A. B. C.
D.參考答案:A4.已知,,,則的大小為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C5.已知,命題,則(
)A.是假命題;
B.是假命題;C.是真命題;D.是真命題;
參考答案:D【知識(shí)點(diǎn)】命題的真假的判斷;命題的否定解析:恒成立,則在上單調(diào)遞減,,則恒成立,所以是真命題,,故選D.【思路點(diǎn)撥】先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo),再利用單調(diào)性判斷可知是真命題,然后再寫(xiě)出其否定命題即可。
6.若(1+2x)(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,則a0+a1+a2+…+a7的值為()A.﹣2 B.﹣3 C.253 D.126參考答案:C【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).【分析】利用二項(xiàng)式定理可知,對(duì)已知關(guān)系式中的x賦值1即可求得a1+a2+…+a8的值.【解答】解:∵(1+2x)(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,∴a8=2?C77?(﹣2)7=﹣256.令x=1得:(1+2)(1﹣2)7=a0+a1+a2+…+a7+a8=﹣3,∴a1+a2+…+a7=﹣3﹣a8=﹣3+256=253.故選:C7.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?,則A.
B.
C.
D.參考答案:A8.已知兩個(gè)非零向量的值為(
)A.3
B.24
C.21
D.12參考答案:C9.已知函數(shù),若有且僅有兩個(gè)整數(shù),使得,則a的取值范圍為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B設(shè)g(x)=ex(3x﹣1),h(x)=ax﹣a,則g′(x)=ex(3x+2),∴x∈(﹣∞,﹣),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,x∈(﹣,+∞),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,∴x=﹣,取最小值﹣3,∴g(0)=﹣1<﹣a=h(0),g(1)﹣h(1)=2e>0,因?yàn)橹本€h(x)=ax﹣a恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)且斜率為a,∴g(﹣1)﹣h(﹣1)=﹣4e﹣1+2a≤0,∴a≤,g(﹣2)=,h(﹣2)=﹣3a,由g(﹣2)﹣h(﹣2)≥0,解得a≥.綜上所述,的取值范圍為.故選B.
10.已知平面向量,的夾角為,且,則的最小值為A.
B.
C.
D.1參考答案:A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓x2+4y2=1的離心率為_(kāi)_______.參考答案:略12.已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1時(shí)有極值0,則a﹣b的值為
.參考答案:﹣7考點(diǎn):函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件.專(zhuān)題:計(jì)算題;導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.分析:求導(dǎo)函數(shù),利用函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1處有極值0,建立方程組,求得a,b的值,再驗(yàn)證,即可得到結(jié)論.解答: 解:∵函數(shù)f(x)=x3+3ax2+bx+a2∴f'(x)=3x2+6ax+b,又∵函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1處有極值0,∴,∴或當(dāng)時(shí),f'(x)=3x2+6ax+b=3(x+1)2=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,不滿(mǎn)足題意;當(dāng)時(shí),f'(x)=3x2+6ax+b=3(x+1)(x+3)=0,方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,滿(mǎn)足題意;∴a﹣b=﹣7故答案為:﹣7.點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的極值,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.13.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的外接球的半徑為.參考答案:【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.【分析】根據(jù)三視圖知該幾何體是平放的直三棱柱,可還原為長(zhǎng)方體,利用外接球的直徑是長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng),求出半徑.【解答】解:由已知中的三視圖可得:該幾何體是平放的直三棱柱,且三棱柱的底面為直角三角形,高為12;可還原為長(zhǎng)寬高是12、8、6的長(zhǎng)方體,其外接球的直徑是長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng),∴(2R)2=122+82+62=244,即R2=61,∴半徑為R=.故答案為:.14.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案:則第個(gè)圖案中有白色地面磚
塊.
參考答案:15.設(shè)函數(shù),若f(a)=2,則實(shí)數(shù)a=
.參考答案:﹣1【考點(diǎn)】函數(shù)的值.【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】將x=a代入到f(x),得到=2.再解方程即可得.【解答】解:由題意,f(a)==2,解得,a=﹣1.故a=﹣1.【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)函數(shù)值的考查,屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)這樣問(wèn)題的解答,旨在讓學(xué)生體會(huì)函數(shù),函數(shù)值的意義,從而更好的把握函數(shù)概念,進(jìn)一步研究函數(shù)的其他性質(zhì).16.若,定義由右框圖表示的運(yùn)算(函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)),若輸入時(shí),輸出,則輸入時(shí),輸出.參考答案:17.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,若前n項(xiàng)和為10,則項(xiàng)數(shù)n=_________.參考答案:120三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,平面平面,是等腰直角三角形,,四邊形是直角梯形,,,,點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn).(1)
求證:平面;(2)
求直線和平面所成角的正弦值;(3)
能否在上找到一點(diǎn),使得平面?若能,請(qǐng)指出點(diǎn)的位置,并加以證明;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由
.參考答案:19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,圓C的方程為ρ=2sinθ.(Ⅰ)寫(xiě)出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,0),圓C與直線l交于A、B兩點(diǎn),求|PA|+|PB|的值.參考答案:【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程化成普通方程.【分析】(Ⅰ)把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t可得,它的直角坐標(biāo)方程;把圓C的極坐標(biāo)方程依據(jù)互化公式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程.(Ⅱ)把直線l方程與圓C的方程聯(lián)立方程組,求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),可得|PA|+|PB|的值.【解答】解:(Ⅰ)∵直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),消去參數(shù)t可得3x+y﹣3=0.圓C的方程為ρ=2sinθ,即ρ2=2ρsinθ,即x2+y2=2y,即x2+=3.(Ⅱ)由求得,或,故可得A(,﹣)、B(﹣,+).∵點(diǎn)P(1,0),∴|PA|+|PB|=+=(2﹣)+(2+)=4.20.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,已知2sin2=sinA.(I)求角A的大??;(II)若=2cosB,求的值.參考答案:【考點(diǎn)】余弦定理.【分析】(I)由已知利用二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,結(jié)合sin≠0,可求tan=,由A的范圍可求A的值.(II)由已知利用余弦定理可得b=c,結(jié)合A=,利用正弦定理可求的值.【解答】(本題滿(mǎn)分為14分)解:(I)∵2sin2=sinA=2sincos,又0<A<π,可得:0<<,故sin≠0,故sin=cos,tan=,A=.…7分(II)由=2cosB,得=2×,化簡(jiǎn)得b=c,…10分故在△ABC中,A=,b=c,由此可得==.…14分.21.如圖,在三棱錐P﹣ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA,點(diǎn)O,D分別是AC,PC的中點(diǎn),OP⊥底面ABC.(1)求證:OD∥平面PAB;(2)求直線OD與平面PBC所成角的正弦值.參考答案:【考點(diǎn)】直線與平面所成的角;直線與平面平行的判定.【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理可得OD∥PA,再由線面平行的判定定理得到OD∥平面PAB;(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PBC的法向量和直線OD的方向向量,代入向量夾角公式,可得直線OD與平面PBC所成角的正弦值【解答】證明:(1)∵點(diǎn)O,D分別是AC,PC的中點(diǎn),∴OD∥PA又∵OD?平面PAB,PA?平面PAB∴OD∥平面PAB;(2)連接OB,∵AB=BC,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),∴OB⊥AC又∵OP⊥底面ABC.故可以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系令A(yù)B=BC=PA=1,AB⊥BC,則OA=OB=OC=,OP=則O(0,0,0),B(,0,0),C(0,,0),P(0,0,),D(0,,)∴=(0,,),=(﹣,,0),=(0,,﹣)設(shè)=(x,y,z)是平面PBC的一個(gè)法向量則,即令z=1,則=(,,1)直線OD與平面PBC所成角θ滿(mǎn)足:sinθ==故直線OD與平面PBC所成角的正弦值為22.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,AE⊥平面ABC,AE∥BD,AB=BC=CA=BD=2AE=2,F(xiàn)為CD中點(diǎn).(Ⅰ)求證:EF⊥平面BCD;(Ⅱ)求二面角C-DE-A的大??;(Ⅲ)求點(diǎn)A到平面CDE的距離.參考答案:解析(Ⅰ)取BC中點(diǎn)G點(diǎn),連接AG,F(xiàn)G,∵F,G分別為DC,BC中點(diǎn),∴FG∥BD且FG=BD,又AE∥BD且AE=BD,∴AE∥FG且AE=FG,∴四邊形EFGA為平行四邊形,則EF∥AG,∵AE⊥平面ABC,AE∥BD,BD⊥平面ABC,又∵DB平面BCD,平面ABC⊥平面BCD,∵G為BC中點(diǎn),且AC=AB,∴AG⊥BC,∴AG⊥平面BCD,∴EF⊥平面BCD.·················································································
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