歐拉示性數(shù)與閉曲面的分類

歐拉示性數(shù)與閉曲面的分類第1頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月一平面上的幾何變換與不變性

平面上幾何圖形的分類平移變換:把直線變成直線，保持線段的長度和夾角不變旋轉(zhuǎn)變換:把直線變成直線，保持線段的長度和夾角不變反射變換:把直線變成直線，保持線段的長度和夾角不變第2頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月一平面上的幾何變換與不變性

平面上幾何圖形的分類位似變換:把點(diǎn)變成點(diǎn)，直線變成直線，保持夾角不變,不能保持線段的長度，但對應(yīng)線段長度之比保持不變相似變換:把點(diǎn)變成點(diǎn)，直線變成直線，保持夾角不變,不能保持線段的長度，但對應(yīng)線段長度之比保持不變伸縮變換:把點(diǎn)變成點(diǎn)，直線變成直線，不能保持線段之比與夾角不變,但沿伸縮方向?qū)?yīng)線段之比保持不變。第3頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月一平面上的幾何變換與不變性

平面上幾何圖形的分類分別按全等和相似給下列圖形分類第4頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月二多面體的分類與歐拉公式的發(fā)現(xiàn)觀察下圖中的凸多面體，試用頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F分類。(d)(b)(a)(c)第5頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月二多面體的分類與歐拉公式的發(fā)現(xiàn)多面體頂點(diǎn)數(shù)V棱數(shù)E面數(shù)FF+VV-E+Fa695112b585102c8126142d8126142第6頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月二多面體的分類與歐拉公式的發(fā)現(xiàn)多面體無法像平面圖形一樣用頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分類。數(shù)學(xué)家歐拉通過對大量圖形的分析，發(fā)現(xiàn)了一個重要的事實(shí)，即：無論凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F怎樣變化，當(dāng)F+V相等時，它們的棱數(shù)E一定相等。進(jìn)而他歸納出：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２第7頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月三歐拉公式的證明證法一第一步：去掉一個面再經(jīng)過連續(xù)變形變成平面上的一組“多邊形”。第二步：把平面網(wǎng)絡(luò)圖中所有的小多邊形都通過連對角線的方法分成若干個三角形（這些對角線不允許在多邊形內(nèi)相交）。第三步：上述網(wǎng)絡(luò)圖中，去掉一條最外面的邊，又得到一個新的網(wǎng)絡(luò)圖。當(dāng)發(fā)現(xiàn)有的三角形有兩條邊都是網(wǎng)絡(luò)圖的外邊時，我們?nèi)サ暨@兩條邊和這個頂點(diǎn)，得到一個新的網(wǎng)絡(luò)圖。第四步：反復(fù)實(shí)施第二步、第三步，最后得到一個三角形。第8頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月三歐拉公式的證明證法二 用證法一中的方法，先得到平面網(wǎng)絡(luò)圖。在網(wǎng)絡(luò)圖中，去掉任意多邊形的一條邊，得到一個新的網(wǎng)絡(luò)圖。重復(fù)以上步驟，直到變成一個沒有任何面的網(wǎng)絡(luò)圖。對上述網(wǎng)絡(luò)圖，從最邊上頂點(diǎn)開始，去它和它相鄰的邊。重復(fù)以上步驟，最后，網(wǎng)絡(luò)圖只剩一個頂點(diǎn)。第9頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月四拓?fù)渥儞Q與球面上的歐拉公式具有以下兩種特點(diǎn)的變換叫做拓?fù)渥儞Q

（1）原象與象上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的；（2）從原象到象的變換是一種“橡皮膜變形”；反之，從象返回到原象的變換也是“橡皮膜變形”，均稱為“連續(xù)”變形。

第10頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月四拓?fù)渥儞Q與球面上的歐拉公式設(shè)σ是球面S上的任意一個三角剖分，則V-E+F=2。即球面上的歐拉公式為：V-E+F=2。第11頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月虧格(g)示性數(shù)(χ)關(guān)系圖例022=2-2*0100=2-2*12-20=2-2*2g2-2g2-2g五歐拉示性數(shù)與閉曲面的分類

第12頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月六歐拉公式與拓?fù)鋵W(xué)歐拉推動了一門新的幾何學(xué)分支——拓?fù)鋵W(xué)的誕生。在論文《哥尼斯堡的七座橋》的開頭部分，他描述了這種新的幾何：“討論長短大小的幾何學(xué)分支，一直被人們熱心地研究著，但是還有一個至今幾乎完全沒有探索過的分支；萊布尼茲最先提起過它，稱之‘位置的幾何學(xué)’。這個幾何學(xué)分支只討論與位置有關(guān)的關(guān)系，研究位置的性質(zhì)，它不去考慮長短大小，也不牽涉到量的計算，但是至今未有過令人滿意的定義，來刻劃這門位置幾何學(xué)的課題和方法……”拓?fù)鋵W(xué)就是研究“位置的幾何學(xué)”的數(shù)學(xué)分支，有人把它形容為“橡皮泥的幾何學(xué)”，也就是對一塊“橡皮泥”可以任意揉搓，不允許撕裂，也不允許粘連，在這種情況下，研究“橡皮泥”有那些性質(zhì)保持不變?，F(xiàn)在，拓?fù)鋵W(xué)已經(jīng)發(fā)展成為一門成熟的數(shù)學(xué)分支，成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科。第13頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月六歐拉公式與拓?fù)鋵W(xué)(1)一筆畫問題

一個圖，如果存在一條道路，從某個頂點(diǎn)出發(fā)，不重復(fù)地經(jīng)過每一條邊，我們把這樣的圖稱作可以一筆畫的圖。這條道路稱作歐拉路。如果上面這條道路的起點(diǎn)和終點(diǎn)相同則稱這條道路為歐拉回路。一筆畫定理：一個圖可以一筆畫的充分必要條件是：它是連通的并且奇頂點(diǎn)個數(shù)是0或2。第14頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月六歐拉公式與拓?fù)鋵W(xué)(2)四色問題

“四色定理”猜想：把平面劃分成任意互不重疊的區(qū)域，總能用數(shù)字1，2，3，4來分別標(biāo)示每個區(qū)域，使得任意兩個相鄰的區(qū)域都有不同的數(shù)字。對四色問題，各區(qū)域的實(shí)際形狀、大小、邊界的長短都不重要。重要的是各區(qū)域的相互位置，也就是地圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。所以四色問題是一個拓?fù)鋯栴}。第15頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月六歐拉公式與拓?fù)鋵W(xué)(3)扭結(jié)

把一根繩子隨