2019-2020學年湖南省益陽市高二上學期期末數(shù)學試題及答案解析版

試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat9頁共NUMPAGES\*MergeFormat23頁2019-2020學年湖南省益陽市高二上學期期末數(shù)學試題及答案解析版一、單選題1．（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用正弦的和角公式求解即可.【詳解】.故選：B【點睛】本題主要考查了正弦的和角公式運用,屬于基礎題型.2．某校數(shù)學興趣小組對高二年級學生的期中考試數(shù)學成績（滿分100分）進行數(shù)據(jù)分析，將全部的分數(shù)按照，，，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若成績在80分及以上的學生人數(shù)為360，估計該校高二年級學生人數(shù)約為（）A．1200 B．1440 C．7200 D．12000【答案】A【解析】根據(jù)頻率分布直方圖求出成績在80分及以上的學生人數(shù)占比再求總數(shù)即可.【詳解】由題,成績在80分及以上的學生人數(shù)占比為.故該校高二年級學生人數(shù)約為.故選：A【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的理解運用,屬于基礎題型.3．已知等比數(shù)列中，，則（）A． B．128 C． D．256【答案】D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的等積性求解即可.【詳解】因為為等比數(shù)列,故.故選：D【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的等積性,屬于基礎題型.4．某教育局公開招聘了4名數(shù)學老師，其中2名是剛畢業(yè)的“新教師”，另2名是有了一段教學時間的“老教師”，現(xiàn)隨機分配到A、B兩個學校任教，每個學校2名，其中分配給學校A恰有1名“新教師”和1名“老教師”的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】求出分配給學校A兩個“新教師”與兩個“老教師”的概率之和,再用1去減即可.【詳解】分配給學校A兩個“新教師”與兩個“老教師”的概率之和為.故分配給學校A恰有1名“新教師”和1名“老教師”的概率是.故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)對立事件的概率求原事件的概率的問題,需要利用組合方法求解對應的概率,屬于基礎題型.5．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的解析式為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】先求出振幅與周期,再代入對高點求解即可.【詳解】易得,又周期滿足.故.故,代入最高點有,因為,故.故.故選：C【點睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)圖像求解三角函數(shù)解析式的問題,屬于基礎題型.6．在邊長為1的正方形ABCD內(nèi)任取一點P，使是鈍角的概率等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求出使是直角的情況再分析即可.【詳解】由題,當為直角時,的軌跡是以為直徑的半圓,故當在半圓內(nèi)時滿足是鈍角,故是鈍角的概率等于故選：C【點睛】本題主要考查了幾何概型的方法,需要先分析臨界條件再根據(jù)幾何概型的方法求解即可.屬于基礎題型.7．中，M是AC邊上的點，，N是邊的中點，設，，則可以用，表示為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用向量的線性運算求解即可.【詳解】由題,.故選：A【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算,屬于基礎題型.8．“，”成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出“，”成立的充要條件再判定即可.【詳解】若“，”則,故.“，”成立的一個充分不必要條件是.故選：D【點睛】本題主要考查了恒成立的問題以及充分不必要條件的理解,屬于基礎題型.9．某企業(yè)通過前期考察與論證可知，投資每個項目第一年需資金20萬元，從中可獲利5萬元；投資每個項目第一年需資金30萬元，從中可獲利6萬元.現(xiàn)公司擬投資兩個項目共不多于8個且投入資金不超過200萬元，需合理安排這兩個項目的個數(shù)使第一年獲利最多，則獲利最多可達到（）A．40萬元 B．44萬元 C．48萬元 D．50萬元【答案】B【解析】設投資個項目,個項目,再列出滿足的不等式,根據(jù)線性規(guī)劃的方法求解即可.【詳解】設投資個項目,個項目,則,再求的最大值.則投資的項目組合為上不等式組的可行域中的整數(shù)點.易得在即處取得最大值.最大值為萬元故選：B【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃的應用題,需要注意滿足條件的為可行域中的整數(shù)點.屬于基礎題型.10．已知離心率為2的雙曲線C：（）的左右焦點分別為，，直線與雙曲線C在第一象限的交點為P，的角平分線與交于點Q，若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用角平分線的性質(zhì),計算的比值關(guān)系再分析即可.【詳解】先推導角平分線的性質(zhì),如圖,設中為的角平分線,則根據(jù)正弦定理①.②又,故,又,故①②可得.故由題,,.再計算即可.因為,故,直線,傾斜角為且過左焦點.設,由余弦定理有.化簡得..故選：B【點睛】本題主要考查了雙曲線中根據(jù)定義以及余弦定理求解邊角關(guān)系的方法,同時也考查了角平分線定理的應用,屬于難題.二、多選題11．若命題p：，.命題q：對每一個無理數(shù)x，也是無理數(shù).則下列命題是真命題的是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】分別判斷的真假,再分析即可.【詳解】命題p中,當時不成立.故命題p為假命題.命題q中,當無理數(shù)時,不是無理數(shù),故命題q為假命題.故選：AD【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷以及或且非命題的運用等.屬于基礎題型.12．如圖，在平面四邊形ABCD中，等邊的邊長為2，，，點M為邊上一動點，記，則的取值可以是（）A． B． C．5 D．10【答案】CD【解析】建立平面直角坐標系將向量用坐標表示求解即可.【詳解】以為坐標原點建立如圖平面直角坐標系,設.則.故在上為增函數(shù),故.故選：CD【點睛】本題主要考查了建立平面直角坐標系解決向量的問題,需要找到合適的坐標原點建系,利用平面向量的坐標表達求數(shù)量積再分析范圍,屬于中等題型.三、填空題13．若，則__________．【答案】【解析】【詳解】14．若，則的最小值等于______.【答案】4【解析】配湊出基本不等式的結(jié)構(gòu)求解即可.【詳解】.當且僅當時取等號.故答案為：4【點睛】本題主要考查了基本不等式的應用,屬于基礎題型.15．直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，若，則AB的中點D到x軸的距離為______.【答案】7【解析】根據(jù)拋物線的焦點弦長公式求解即可.【詳解】拋物線的焦點為,設,則.即.所以AB的中點到x軸的距離.故答案為：7【點睛】本題主要考查了拋物線的焦點弦長公式的運用,屬于基礎題型.16．已知數(shù)列，的前n項和分別為，，且，，若兩個數(shù)列的公共項按原順序構(gòu)成數(shù)列，若，則n的最大值為______.【答案】3【解析】先求得數(shù)列,的通項公式,再分析公共項的滿足的條件即可.【詳解】由題,.當時,,當時,.當時也滿足.故又,當時.當時,.故是以為首項,為公比的等比數(shù)列.故.故數(shù)列為與的公共項.又,.故,且為單調(diào)增數(shù)列.故滿足,n的最大值為3.故答案為：3【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的前n項和求解通項的方法以及等差等比數(shù)列的綜合運用,屬于中等題型.四、解答題17．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求C；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)利用正弦定理邊化角以及和差角公式進行求解即可.(2)利用余弦定理求解得,再用三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）∵，由正弦定理得：∵∴∴，即，∵，∴，∴，又∵，∴.（2）由余弦定理得：，即，∴，∴.【點睛】本題主要考查了解三角形中的正余弦定理以及面積公式的運用,屬于中等題型.18．某消費品企業(yè)銷售部對去年各銷售地的居民年收入（即此地所有居民在一年內(nèi)的收入的總和）及其產(chǎn)品銷售額進行抽樣分析，收集數(shù)據(jù)整理如下：銷售地ABCD年收入x（億元）15203550銷售額y（萬元）16204048（1）在圖a中作出這些數(shù)據(jù)的散點圖，并指出y與x成正相關(guān)還是負相關(guān)？（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程？（3）若B地今年的居民年收入將增長20%，預測B地今年的銷售額將達到多少萬元？回歸方程系數(shù)公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）散點圖見解析，y與x成正相關(guān)；（2）；（3）23.04萬元.【解析】(1)根據(jù)表中給的數(shù)據(jù)描點再判斷即可.(2)代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)與公式計算出方程即可.(3)根據(jù)(2)中的回歸方程,代入求解即可.【詳解】（1）如圖，y與x成正相關(guān).（2），，，，，，故所求線性回歸方程為.（3）當時，，預測B地今年的銷售額將達到23.04萬元.【點睛】本題主要考查了線性回歸方程的求解及其實際意義的理解,屬于基礎題型.19．已知向量，，記.（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當，求函數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（）；（2）.【解析】(1)代入,根據(jù)降冪公式與輔助角公式化簡再求最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間即可.(2)由(1)有,根據(jù)可求得,再根據(jù)正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性與最值求解函數(shù)的取值范圍即可.【詳解】（1），所以的最小正周期.令（），解得（），所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.（2）當時，所以當時，取到最小值，當時，取到最大值1，因此的值域為.【點睛】本題主要考查了向量與三角函數(shù)恒等變換的運用以及根據(jù)三角形函數(shù)解析式求解在區(qū)間內(nèi)的取值范圍等問題.屬于中等題型.20．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，O，E分別為AD，PB的中點，平面平面ABCD，，.（1）求證：平面PCD；（2）求證：平面PCD；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】(1)取PC的中點G，連接EG，DG.再證明即可.(2)分別證明與即可.(3)以O為原點,建立空間直角坐標系,利用二面角的向量方法求解即可.【詳解】（1）證明：取PC的中點G，連接EG，DG.∵E，G分別為PB，PC的中點，∴，∵四邊形ABCD為矩形，且O為AD的中點，∴，∴，∴四邊形ODGE為平行四邊形，∴.又因為平面PCD，平面PCD，∴平面PCD，.（2）∵底面ABCD為矩形，∴，又平面平面ABCD，∴平面PAD，∴，∵，，∴，∴，又∴平面PCD.（3）解：取BC的中點F，連接OF，OP，則，，.以O為原點，OA的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，平面PAD的一個法向量，，，設平面PBD的法向量，則，所以，可取，所以，結(jié)合圖形可知二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查了線面平行,線面垂直的證明以及空間向量求解二面角的問題,屬于中等題型.21．已知公差不為0等差數(shù)列的前n項和為，，且，，成等比數(shù)列.數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和為，且，（）.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)利用基本量法求解數(shù)列的通項公式,再根據(jù)遞推公式證明數(shù)列是等比數(shù)列,進而求得通項公式即可.(2)根據(jù)錯位相減的方法求解即可.【詳解】（1）因為，所以，，∴①又，，成等比數(shù)列，所以，即②聯(lián)立①②解得，，所以.因為，所以，所以，，解得：或（舍），所以，數(shù)列是3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，.（2）數(shù)列的前n項和∴∴∴【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解方法以及根據(jù)遞推公式證明等比數(shù)列以及錯位相減求和的方法,屬于中等題型.22．已知橢圓C：（）的離心率，左、右焦點分別為，，過右焦點任作一條不垂直于坐標軸的直線l與橢圓C交于A，B兩點，的周長為.（1）求橢圓C的方程；（2）記點B關(guān)于x軸的對稱點為點，直線交x軸于點D.求的面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義以及基本量的關(guān)系求解方程即可.(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程求