淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念教學(xué)

淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念教學(xué)第1頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著極其重要的地位，它一直是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個(gè)主題．當(dāng)前的課改實(shí)踐中，存在輕視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，忽視數(shù)學(xué)概念的抽象邏輯建構(gòu)特征，過(guò)于強(qiáng)調(diào)情景化、生活化、活動(dòng)化的傾向.所以，應(yīng)更深入地研究概念教學(xué)，以豐富概念教學(xué)法的知識(shí)并指導(dǎo)實(shí)踐.

下面我們以“圓周角”、“函數(shù)”這兩個(gè)概念的教學(xué)為例進(jìn)行探討第2頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

一種是以“圓心角”為基礎(chǔ)，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步研究與圓有關(guān)的角.1、給出一些圓周角,讓學(xué)生歸納出圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.(學(xué)生利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)理解新概念，這種方式叫概念同化.)2、通過(guò)圖形辨析鞏固圓周角的定義，對(duì)它進(jìn)行分類：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部.3、引導(dǎo)學(xué)生探究圓周角的性質(zhì)：圓周角定理4、利用圓周角解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題以及生活中的實(shí)際問(wèn)題.“圓周角”是一個(gè)幾何概念，對(duì)于它的教學(xué)常見的方式有兩種：第3頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

另一種是以某種生活情景為背景，給出能用“圓周角解決的實(shí)際問(wèn)題，引出“圓周角”，研究“圓周角”.與前一種的區(qū)別在于問(wèn)題源于“生活情景”.而前一種是“數(shù)學(xué)情境”.情境的英文是Context，它的意思是上下文、前后有關(guān)聯(lián)的東西.“情境”有別于“情景”，情景”的“景”是具體、直觀和吸引人的，而“情境”的“境”是指構(gòu)成和蘊(yùn)涵在情景中的那些相互交織的因素及其相互之間的關(guān)系，是一種以激發(fā)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)為價(jià)值取向的刺激性的數(shù)據(jù)材料和背景信息.

第4頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從本質(zhì)上講，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的根本原因是“問(wèn)題”沒(méi)有問(wèn)題也就難以誘發(fā)和激起求知欲，感覺不到問(wèn)題的存在，學(xué)生也就不會(huì)去深入思考.因此，情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)強(qiáng)調(diào)其問(wèn)題導(dǎo)向性和衍生性，讓問(wèn)題成為學(xué)習(xí)的動(dòng)力、起點(diǎn)和貫穿學(xué)習(xí)過(guò)程中的主線，把學(xué)習(xí)過(guò)程看作是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)愿望，從而注意力高度集中并積極主動(dòng)地投入學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、創(chuàng)造和追求真理的科學(xué)精神.

第5頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月我們?cè)賮?lái)探討函數(shù)概念的教學(xué).

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中的最重要概念之一，函數(shù)的思想和方法貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終．理解函數(shù)概念及由其反映的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，是中學(xué)階段最重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)之一．因此，搞好函數(shù)概念的教學(xué)至關(guān)重要.另一方面，函數(shù)概念因其高度的抽象性而成為最難把握的概念之一，無(wú)論是教師的教還是學(xué)生的學(xué)，都存在很大困難．第6頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月“函數(shù)”的教學(xué)一般都是從生活情景中選取實(shí)例，先抽象出常量和變量的概念，進(jìn)而抽象、歸納出函數(shù)的概念.

這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的另一類常見類型：概念形成.概念形成是以學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，用歸納的方式抽取出一類事物的共同屬性，從而達(dá)到對(duì)概念的理解.因此，在教學(xué)方法上的表現(xiàn)與布魯納倡導(dǎo)的“發(fā)現(xiàn)法”一致，適合低年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，也適合“原始概念”的學(xué)習(xí).因?yàn)樵几拍疃嗍墙⒃趯?duì)具體事物的性質(zhì)的概括上，依賴的是學(xué)生的直接認(rèn)識(shí)與直接經(jīng)驗(yàn).第7頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

數(shù)學(xué)概念形成的教學(xué)要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過(guò)程．其基本環(huán)節(jié)：①情境引入；②具體例證的屬性分析、比較、綜合；③概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性；④下定義（準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述）；⑤概念的辨析──以實(shí)例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞的含義；⑥用概念作判斷──形成用概念作判斷的“基本規(guī)范”；⑦概念的“精致”──建立與相關(guān)概念的聯(lián)系．

第8頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月而“圓周角”的概念教學(xué)是：概念同化.概念同化則以學(xué)生的間接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念，因而在教學(xué)方法上多是直接呈現(xiàn)定義，與奧蘇貝爾（Ausubel）的“有意義地接受學(xué)習(xí)”方法基本一致.由于數(shù)學(xué)概念具有多級(jí)抽象的特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)新概念在很大程度上依賴舊概念以及原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此概念同化的學(xué)習(xí)方式在概念學(xué)習(xí)在經(jīng)常使用，特別對(duì)高年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)更加適用.第9頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概念是什么？概念是人們?cè)谏鐣?huì)實(shí)踐中形成的思維形式，是人們對(duì)客觀事物的本質(zhì)、事物的全體、事物的內(nèi)部聯(lián)系的認(rèn)識(shí).每一個(gè)概念都包含著兩個(gè)方面：一個(gè)是它反映的事物的本質(zhì)，這叫做概念的內(nèi)涵；一個(gè)是它所反映的事物的范圍，也即所反映的事物的全體，這叫做概念的外延.一.概念、數(shù)學(xué)概念第10頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

概念是人們對(duì)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，邏輯思維的最基本單元和形式.概念的辯證法是指概念的形成、變化和發(fā)展以及概念間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系.對(duì)概念的辯證本性的研究，是辯證邏輯的主要內(nèi)容.從生動(dòng)的直觀到抽象的思維，形成一系列概念，這些概念的真理性又要返回實(shí)踐中接受檢驗(yàn).如此循環(huán)往復(fù)，是人的認(rèn)識(shí)日益接近于客觀現(xiàn)實(shí)的一般途徑.科學(xué)認(rèn)識(shí)的主要成果就是形成和發(fā)展概念.概念越深刻、越正確、越完全地反映客觀現(xiàn)實(shí).概念的最基本特征是它的抽象性和概括性.第11頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月人們認(rèn)識(shí)周圍事物最初形成的概念是前科學(xué)思維時(shí)期的日常生活概念.這種最初形成的概念，通常是作為對(duì)周圍事物的感性經(jīng)驗(yàn)的直接概括，并不具有很高的抽象性.科學(xué)思維中運(yùn)用的概念即科學(xué)概念，是在相關(guān)理論指導(dǎo)下形成的，而且它總是處于特定的理論系統(tǒng)之中，具有較高的抽象性和概括性.人們對(duì)于同一事物的認(rèn)識(shí)，往往形成不同內(nèi)容的科學(xué)概念.不同的學(xué)科對(duì)于同一事物會(huì)形成不同內(nèi)容的科學(xué)概念，而在同一學(xué)科的不同理論中，對(duì)于同一事物也會(huì)形成不同內(nèi)容的科學(xué)概念.人們對(duì)于特定事物的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，即科學(xué)概念的內(nèi)容，并不是單一的、無(wú)條件的，而是多方面的、有條件的.概念總是隨著人的實(shí)踐和認(rèn)識(shí)的發(fā)展，處于運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的過(guò)程中.這種發(fā)展的過(guò)程或是原有概念的內(nèi)容逐步遞加和累進(jìn)，或是新舊概念的更替和變革.第12頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)概念是什么?

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式.

在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來(lái)，而數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ).正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提.第13頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心.概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心之一.概念學(xué)習(xí)的研究一直是心理學(xué)研究的重要課題，包括對(duì)概念的分類、概念的結(jié)構(gòu)、概念獲得、概念的運(yùn)用等方面的研究.概念獲得的研究是概念學(xué)習(xí)研究中的一部分重要內(nèi)容.二十世紀(jì)以來(lái)，許多學(xué)者從哲學(xué)、心理學(xué)、數(shù)學(xué)本身及數(shù)學(xué)教育等不同方面揭示了數(shù)學(xué)概念及其獲得的規(guī)律，為數(shù)學(xué)概念獲得的教與學(xué)的系統(tǒng)研究奠定了基礎(chǔ).第14頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來(lái)看，數(shù)學(xué)概念的來(lái)源一般認(rèn)為有兩方面：一是直接從客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映而得，二是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)多級(jí)抽象所獲.所以，數(shù)學(xué)概念既有抽象性，也有它的具體內(nèi)容.也就是說(shuō)，一方面，數(shù)學(xué)概念是感官對(duì)外在經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)或思考，經(jīng)由抽象之后所得的數(shù)、量、形的性質(zhì)，或者是歷代數(shù)學(xué)家把前代的概念結(jié)果更加抽象化、一般化而得來(lái)的.二.數(shù)學(xué)概念的基本特征第15頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

但另一方面，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看，數(shù)學(xué)概念的獲得又不完全是一個(gè)邏輯的過(guò)程，將受到學(xué)生個(gè)體的思維發(fā)展水平及教學(xué)方式、環(huán)境等的影響.因此，我們可以從兩個(gè)不同的角度來(lái)分析數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)：一是作為科學(xué)對(duì)象，二是作為學(xué)習(xí)對(duì)象.當(dāng)然，兩者之間有著密切的聯(lián)系.另外，還需要說(shuō)明的是，我們這里討論的是數(shù)學(xué)概念的一般特征，而不是學(xué)生個(gè)體所掌握的數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn).個(gè)體所掌握的數(shù)學(xué)概念是與他本人的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平相適應(yīng)的，即同一個(gè)數(shù)學(xué)概念，由于認(rèn)知水平的不同，存在著不同水平的理解.第16頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)本身的一個(gè)基本特點(diǎn)就是抽象性，數(shù)學(xué)概念的發(fā)展也是一個(gè)抽象的結(jié)果.（1）數(shù)學(xué)抽象的基本方法數(shù)學(xué)抽象主要有兩條途徑：等勢(shì)抽象與理想化，其中最基本的是等勢(shì)抽象.等勢(shì)抽象的過(guò)程涉及以下四種本質(zhì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)：①構(gòu)造集合.首先要根據(jù)目標(biāo)明確集合的性質(zhì)，然后根據(jù)性質(zhì)辨別所需對(duì)象的屬性，區(qū)分出滿足集合性質(zhì)的元素，從而最終確定集合的外延.②建立等價(jià)關(guān)系.選擇一定的數(shù)學(xué)等價(jià)關(guān)系來(lái)劃分集合，檢驗(yàn)等價(jià)關(guān)系應(yīng)滿足的三個(gè)條件.③確定等價(jià)關(guān)系.也即根據(jù)已知的等價(jià)關(guān)系判斷元素之間的等價(jià)性，類化集合元素，并從每一個(gè)等價(jià)類中選定一個(gè)代表元素組成一個(gè)新的集合.④符號(hào)化.也即把所構(gòu)造出來(lái)的新的數(shù)學(xué)對(duì)象用符號(hào)表示，并用形式符號(hào)代替具體的對(duì)象參與思維，從而簡(jiǎn)化思維過(guò)程.1.數(shù)學(xué)概念發(fā)展的抽象性第17頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

數(shù)學(xué)中的另一種抽象途徑就是理想化.所謂理想化就是在現(xiàn)實(shí)原型的基礎(chǔ)上，抽象出本質(zhì)的屬性或者推斷出潛在的可行性，然后摒棄所有其他的屬性，從而使原型蛻化為數(shù)學(xué)模型的過(guò)程.在理想化的過(guò)程中，最重要的一條數(shù)學(xué)能力就是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的能力.從心理過(guò)程上看，數(shù)學(xué)概念的形成也有兩種基本的抽象方式：①“一般化抽象”，也即減少概念的限制，使其適用于更規(guī)范的情境；②“分離式抽象”，也即通過(guò)將概念與背景相分離而達(dá)到抽象的目的.第18頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

數(shù)學(xué)中的大多數(shù)概念都是一般化抽象的結(jié)果，分離式抽象一般只出現(xiàn)在一些由定義給出的概念中.數(shù)學(xué)定義并非一開始就是精確的，其中有一個(gè)抽象化和精致化的過(guò)程：①產(chǎn)生一個(gè)模糊的想法；②嘗試對(duì)這個(gè)想法用語(yǔ)言進(jìn)行描述；③通過(guò)形式的定義得到初步的概念；④嘗試由定義給出具體的例子、推出某些性質(zhì)、驗(yàn)證相關(guān)的定理、尋找等價(jià)或者相似的對(duì)象；⑤對(duì)原先的定義進(jìn)行修正以排除那些不合理的推論；⑥調(diào)整、變更或者拓展對(duì)概念的理解，以便適應(yīng)新的可能性.第19頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2）數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)可以說(shuō)，人類社會(huì)中的幾乎所有的概念都是抽象的結(jié)果，但與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)抽象有其自身的特點(diǎn).一是出于新結(jié)構(gòu)的需要；二是構(gòu)造一個(gè)新的抽象集合；三是通過(guò)確認(rèn)新的結(jié)構(gòu)而不斷重構(gòu)已知的抽象集合，使其更便于使用.

第一，在數(shù)學(xué)的抽象中只保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其他一切；第二，數(shù)學(xué)的抽象是一級(jí)一級(jí)逐步提高的，它們所達(dá)到的抽象程度大大超出了其他學(xué)科在的一般抽象；第三，數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋與抽象概念和它們的相互關(guān)系的圈子之中.第20頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）數(shù)學(xué)抽象的水平分析

其一是依據(jù)思維主體與客體之間的關(guān)系.

其二是依據(jù)對(duì)過(guò)程——對(duì)象兩重性的反思水平.

其三是依據(jù)數(shù)學(xué)抽象的復(fù)雜度.第21頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

概念表征是概念學(xué)習(xí)的一個(gè)重要研究課題.所謂表征是用某一種形式，將事物或想法重新表現(xiàn)出來(lái)，以達(dá)到交流的目的；當(dāng)其所表現(xiàn)的意義能切實(shí)掌握后，表征可進(jìn)一步地成為思維的材料，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程.表征就是以一物代替另一物.表征在活動(dòng)中具備兩種功能：溝通工具以及思維的材料.作為溝通的工具，是用特定的表征形式，來(lái)描繪活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；作為思維的材料，是用表征來(lái)代表物化的數(shù)學(xué)概念或內(nèi)蘊(yùn)化地活動(dòng)類型，而對(duì)表征所代表的意義進(jìn)行思維操作.2.數(shù)學(xué)概念表征的多元性第22頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

數(shù)學(xué)概念表征的多元性還反映在學(xué)習(xí)者對(duì)概念的理解上，從概念的認(rèn)知角度看，學(xué)習(xí)者對(duì)概念的表征可以分為內(nèi)部表征和外部表征.其中，內(nèi)部表征是指?jìng)€(gè)體對(duì)所學(xué)概念的可能的心理構(gòu)造，而因?yàn)槭莾?nèi)部的，所以這種表征一般不能被直接觀察到，需要通過(guò)合適的評(píng)價(jià)工具.與內(nèi)部表征相反，外部表征是一種物理的、可觀察的行為或?qū)ο螅缥淖?、符?hào)、圖形等，但通過(guò)這些可觀察的外部表征并不總是能夠反映個(gè)體真實(shí)的內(nèi)部表征.第23頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

首先，根據(jù)數(shù)學(xué)概念發(fā)展的抽象性，都有一個(gè)按層次遞進(jìn)的過(guò)程；其次，不同的數(shù)學(xué)概念表征在一定程度上反映個(gè)體對(duì)概念的不同理解.直接由感知得到的概念稱為初級(jí)概念，由初級(jí)概念再抽象之后得到的概念稱為二級(jí)概念.具體化的概念；過(guò)程性的概念；形式化的概念.具體期；確認(rèn)期；分類期；產(chǎn)生期；形式期.數(shù)學(xué)概念理解的層次性除了有數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)所決定外，也與學(xué)習(xí)者個(gè)體的心理發(fā)展水平有關(guān).依據(jù)數(shù)學(xué)概念理解層次來(lái)探討合適的學(xué)習(xí)序列，一直是數(shù)學(xué)教育工作者致力研究的方向.3.數(shù)學(xué)概念理解的層次性第24頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

數(shù)學(xué)概念的前三個(gè)特征直接導(dǎo)致了它的第四個(gè)特征：數(shù)學(xué)概念具有廣泛的聯(lián)系.這里的聯(lián)系既包括概念與其背景的聯(lián)系，也包括概念之間的聯(lián)系；既有縱向的聯(lián)系，也有橫向的聯(lián)系.概念的系統(tǒng)化程度也是評(píng)價(jià)學(xué)生概念理解的一條重要指標(biāo).學(xué)生要理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念，就必須圍繞這個(gè)概念逐步建立一個(gè)概念網(wǎng)絡(luò)，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)越豐富越復(fù)雜，這個(gè)學(xué)生的理解也就越深刻.4.數(shù)學(xué)概念聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)性第25頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三.數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)

1.數(shù)學(xué)概念的形成

概念形成的核心是理解，而理解是一種心理結(jié)構(gòu)的構(gòu)造過(guò)程，因此概念就是理解狀態(tài)的某種心理表征，而這個(gè)結(jié)果又影響下一次的概念形成，構(gòu)成了一個(gè)所謂的理解循環(huán).特征分析理論認(rèn)為概念是一組特征，這些特征的聯(lián)結(jié)規(guī)則是從例子中抽象出來(lái)的，這些抽象出來(lái)的特征就是決定定義作用的一組特征.原型理論認(rèn)為自然概念是原型，而不是一系列的特征.一個(gè)類別的原型是該類別實(shí)例的核心趨勢(shì)，原型具有該類別大多數(shù)成員所共有的大多數(shù)屬性，且有非該類別成員的最少屬性，原型具有最高的提示效果，最能提示某一實(shí)例屬于何種類別.

第26頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

實(shí)例對(duì)比理論是布魯克斯（Brooks,1978）提出的.他認(rèn)為概念形成是隱含的、非分析的，并不是有意識(shí)地提出假說(shuō).他指出許多自然概念太復(fù)雜，不能通過(guò)分析學(xué)習(xí)，而為了判斷類別成員而去檢驗(yàn)關(guān)鍵性特征是否存在，這又是個(gè)麻煩的方法.因此，他認(rèn)為人們?cè)趯W(xué)會(huì)某一類別的一個(gè)實(shí)例后，鑒別后來(lái)的實(shí)例是通過(guò)已知實(shí)例的總體相似性的比較而進(jìn)行的.除此之外，維格諾德（Vergnaud,1983）用概念域C=(S,I,R)來(lái)說(shuō)明概念的形成，并將一組情境（S）視為建立概念（C）的第一個(gè)維度，（I）是從一組情境中抽離出其不變性，然后用符號(hào)表征（R）其不變性.第27頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

上述概念形成的方式雖有不同的理論和觀點(diǎn)，但概念形成基本上需要兩個(gè)條件：一是學(xué)習(xí)者必須從許多事物、事件或情境中認(rèn)識(shí)或抽象出它們的共有特征，以便進(jìn)行概括；二是學(xué)習(xí)者必須能夠辨別與概念相關(guān)或不相關(guān)的標(biāo)志，以便進(jìn)行區(qū)別歸類.換言之，在概念形成的過(guò)程中，具有分類和辨別的能力是十分重要的.

斯根普（Skemp,1971）提出兩條教學(xué)原則：（1）超過(guò)個(gè)人已有概念層次的高價(jià)概念不能用定義方式來(lái)溝通，只能搜集有關(guān)的例子供其經(jīng)驗(yàn)，再靠他自已抽象以形成概念.（2）在數(shù)學(xué)中，由于與所學(xué)概念相關(guān)的例子中常常又會(huì)含有其他概念，因此在提供例子時(shí)必須確定學(xué)生已經(jīng)形成這些預(yù)先概念.第28頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．?dāng)?shù)學(xué)概念的同化

在教學(xué)中，利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以定義的方式直接提出概念，并揭露其本質(zhì)屬性，由學(xué)生主動(dòng)地與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念聯(lián)系去學(xué)習(xí)和掌握概念的方式，叫概念的同化.概念同化的心理過(guò)程包括以下幾個(gè)階段：（1）辨認(rèn).辨認(rèn)定義中的新觀念哪些是已有概念?新舊觀念之間存在什么關(guān)系?辨認(rèn)構(gòu)成包含了回憶與知識(shí)的重現(xiàn).（2）同化.建立新概念與原有概念之間的聯(lián)系，把新概念納入原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，使新概念被賦予一定的意義.（3）強(qiáng)化.通過(guò)將新概念與某些反例相聯(lián)系，使新概念更加穩(wěn)固和清晰.第29頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

概念形成是以學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，用歸納的方式抽取出一類事物的共同屬性，從而達(dá)到對(duì)概念的理解.因此，在教學(xué)方法上的表現(xiàn)與布魯納倡導(dǎo)的“發(fā)現(xiàn)法”一致，適合低年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，也適合“原始概念”的學(xué)習(xí).因?yàn)樵几拍疃嗍墙⒃趯?duì)具體事物的性質(zhì)的概括上，依賴的是學(xué)生的直接認(rèn)識(shí)與直接經(jīng)驗(yàn).

概念同化則以學(xué)生的間接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念，因而在教學(xué)方法上多是直接呈現(xiàn)定義，與奧蘇貝爾（Ausubel）的“有意義地接受學(xué)習(xí)”方法基本一致.由于數(shù)學(xué)概念具有多級(jí)抽象的特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)新概念在很大程度上依賴舊概念以及原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此概念同化的學(xué)習(xí)方式在概念學(xué)習(xí)在經(jīng)常使用，特別對(duì)高年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)更加適用.第30頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

應(yīng)當(dāng)指出，概念形成與概念同化不是相互獨(dú)立和互不相關(guān)的.概念形成包含著同化的因素，要用具體的、直接的感性材料同化新概念.同樣，概念同化也不能脫離分析、抽象和概括，因而含有概念形成因素.在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，兩種方式不能孤立使用，如果僅用概念形成方式學(xué)習(xí)，顯然不符合學(xué)校學(xué)習(xí)的經(jīng)濟(jì)性原則；而僅僅用概念同化方式學(xué)習(xí)，由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，學(xué)生比較難以把握概念背后的豐富內(nèi)容，難以理解概念的關(guān)鍵屬性，因此應(yīng)該把兩者結(jié)合起來(lái)使用.教師可以在揭示概念的定義后，引導(dǎo)學(xué)生在定義的指導(dǎo)下去觀察實(shí)際事例，定義的向?qū)Э梢允箤W(xué)生比較容易地揭示事例中包含的與概念有關(guān)的關(guān)鍵屬性.同時(shí)，通過(guò)正例與反例的應(yīng)用，通過(guò)學(xué)生自己對(duì)事例的比較、分析、概括、分化和類化等，可以使概念的關(guān)鍵屬性變得清晰，使事例成為理解概念的一種思維載體，然后引導(dǎo)學(xué)生將新概念與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念建立聯(lián)系，形成概念系統(tǒng).第31頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.數(shù)學(xué)化與尋找意義

與形式化過(guò)程相關(guān)的是一種稱為“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程.數(shù)學(xué)化是弗賴登塔爾提出的數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則之一，其含義是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程.“籠統(tǒng)的說(shuō)，人們?cè)谟^察現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，對(duì)于這一過(guò)程，我稱之為數(shù)學(xué)化.”他強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)化的對(duì)象分為兩大類：一類是現(xiàn)實(shí)客觀事物，另一類是數(shù)學(xué)本身.對(duì)客觀世界進(jìn)行數(shù)學(xué)化的結(jié)果是數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則、規(guī)律和定理、為解決具體問(wèn)題而構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型等；對(duì)數(shù)學(xué)本身進(jìn)行數(shù)學(xué)化，既可以是某些數(shù)學(xué)知識(shí)的深化，亦可以是對(duì)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分類、整理、綜合、構(gòu)造，以形成不同層次的公理體系和形式體系，使數(shù)學(xué)知識(shí)體系更系統(tǒng)、更完美.第32頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知障礙

準(zhǔn)確地了解學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中遇到的認(rèn)知障礙是教學(xué)中做到“對(duì)癥下藥”的前提.

維果茨基認(rèn)為，概念學(xué)習(xí)主要有三個(gè)困難：一是遷移，即設(shè)法把特定情境中形成的概念運(yùn)用于一組新的物體或環(huán)境；二是給一個(gè)概念下定義，即在不涉及任何具體情境或印象的抽象水平上加以系統(tǒng)的闡述；三是在最終掌握概念并在抽象水平上系統(tǒng)闡述概念以后，把概念運(yùn)用于必須借助于這些抽象的術(shù)語(yǔ)來(lái)加以觀察的新的具體情境，這是最困難的.第33頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)概念的教學(xué)主要涉及以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：概念探究在特定的背景下，通