劉克忠-九章數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列等比數(shù)列

《九章算術(shù)》中的等差、等比數(shù)列陜西省榆林市橫山區(qū)橫山中學(xué)劉克忠2016年9月26日，教育部考試中心下發(fā)《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》，公布了2017年各學(xué)科高考大綱的主要修訂內(nèi)容.在能力要求內(nèi)涵方面，增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求，特別增加了數(shù)學(xué)文化的要求.提起數(shù)學(xué)文化，首先想到的就是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化.中國(guó)古代數(shù)學(xué)取得了極其輝煌的成就，《九章算術(shù)》是代表作.《九章算術(shù)》系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.全書采用問(wèn)題集的形式，收有246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題，其中每道題有問(wèn)(題目)、答(答案)、術(shù)(解題的步驟，但沒(méi)有證明)，有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)。它的出現(xiàn)，標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成.數(shù)列是《九章算術(shù)》的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容.在衰分、均輸、盈不足中共有6個(gè)等差數(shù)列問(wèn)題，4個(gè)等比數(shù)列問(wèn)題，現(xiàn)將這10個(gè)問(wèn)題整理如下，供參考.1.等差數(shù)列【例1】今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿.欲以爵次分之，問(wèn)各得幾何？（第三章—衰分—1）【譯文】現(xiàn)有大夫、不更、簪裊、上造、公士等五個(gè)不同爵次的官員，共獵得五只鹿，要按爵次高低分配，問(wèn)各得多少鹿？【注釋】爵次：爵名的次序，按《漢書百官公卿表》：“爵一級(jí)曰公士，二上造，三簪裊，四不更，五大夫，，二十徹侯.皆秦制”.“衰分”：比例分配問(wèn)題.【解析】由題設(shè)條件知，五人所得鹿數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列.設(shè)公士得鹿數(shù)為，則上造、簪裊、不更、大夫所得鹿數(shù)依次為、、、，于是，，解得.所以，五人所得鹿數(shù)分別為：大夫只、不更只、簪裊只、上造只、公士只.【例2】今有稟粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗.今有大夫一人后來(lái)，亦當(dāng)稟五斗.倉(cāng)無(wú)粟，欲以衰出之，問(wèn)各幾何？（第三章—衰分—6）【譯文】現(xiàn)要給大夫、不更、簪裊、上造、公士等五個(gè)不同爵次的官員，按照一定比例分配粟，共15斗，后又來(lái)了一位大夫，也應(yīng)該發(fā)給5斗粟，但倉(cāng)中沒(méi)有粟，需要從前面5人中按比例拿出一部分給后來(lái)的大夫，問(wèn)前面5人各出多少粟？【解析】由例1知，原來(lái)5人中，公士、上造、簪裊、不更、大夫所得粟數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記為，且首項(xiàng)，公差，則，所以，，，，.現(xiàn)需要將15斗粟從新分配，按照公士、上造、簪裊、不更、大夫、新大夫的順序，則這6人分配數(shù)依次為，，，，，，前5項(xiàng)仍然構(gòu)成等差數(shù)列，公差且，于是，解得.所以公士、上造、簪裊、不更、大夫所出粟數(shù)依次為，，，，，.【例3】今有金棰，長(zhǎng)五尺.斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤.問(wèn)次一尺各重幾何？（第六章—均輸—17）【譯文】今有金杖5尺.截本端一尺，重4斤；截末端一尺，重2斤.問(wèn)依次每尺各重多少？【注釋】“均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問(wèn)題.今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論.西方直到15世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法.本題采用“錐形衰”.李籍《九章算術(shù)音義》：“下多上少，如立錐之形也”即是以5、4、3、2、1為列衰.【解析】由題設(shè)條件知，自上而下各段重量構(gòu)成等差數(shù)列，記，首項(xiàng)，第5項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)，設(shè)公差為，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，，因此，，，.所以，從上到下，依次每尺重為：斤、斤、斤，斤，斤.【例4】今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問(wèn)各得幾何？（第六章—均輸—19）【譯文】現(xiàn)有5人分5錢，要使上面2人所得的與下面3人所得的相等，問(wèn)各得的多少錢？【解析】本題采用“錐形衰”求解，按等差數(shù)列解題.自上而下的5人所得錢數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其中得錢較多的2人的得錢數(shù)的和