數(shù)學(xué)人教版《角的平分線的性質(zhì)》優(yōu)質(zhì)課教學(xué)1課件

角的平分線的性質(zhì)（第二課時(shí)）回顧角的平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．書寫：∵∠AOP=∠BOP

（OP平分∠AOB），

PD⊥OA于D，

PE⊥OB于E，∴PD=PE．分析：標(biāo)圖1．已知可推？“角分雙垂推相等”由角的平分線的性質(zhì)得DE=DF

．2．求證何來(lái)？“全等推相等”例

如圖，△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB=FC．分析：標(biāo)圖1．已知可推？“角分雙垂推相等”由角的平分線的性質(zhì)得DE=DF

．2．求證何來(lái)？“全等推相等”例

如圖，△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB=FC．例已知：如圖，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，同理PG=PH．∴∠PDA=∠PEO．證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．，并證明你的結(jié)論．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線由Rt△BDE≌Rt△CDF得EB=FC．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．例已知：如圖，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，例已知：如圖，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，∴△ABD≌△ACD（SSS）．交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線∵OP平分∠AOB，∴PF=PH．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線的距離相等．即AD是∠BAC的平分線．分析：標(biāo)圖1

．已知可推？“角分雙垂推相等”由角的平分線的性質(zhì)得DE=DF

．2．求證何來(lái)？“全等推相等”由Rt△BDE≌Rt△CDF得EB=FC．例

如圖，△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB=FC．在Rt△BDE和Rt△CDF中,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∴EB

=FC．證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角的平分線的性質(zhì)）．識(shí)別定理及對(duì)應(yīng)基本圖例

如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．分析：已知可推？“角分無(wú)雙垂”求證何來(lái)？“距離需作垂”例

如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．分析：已知可推？“角分無(wú)雙垂”求證何來(lái)？“距離需作垂”考慮“作雙垂”．例

如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．分析：已知可推？“角分無(wú)雙垂”求證何來(lái)？“距離需作垂”考慮“作雙垂”．注意：兩組“角分待雙垂”．例

如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．分析：已知可推？“角分無(wú)雙垂”求證何來(lái)？“距離需作垂”考慮“作雙垂”．注意：兩組“角分待雙垂”．證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn)．證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn)．∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE

．證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn)．∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴

PD=PE

．同理

PE=PF．∴PD=PE=PF．即點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等．“角分雙垂推相等”更好如:過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊作垂線；例如圖，△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．回顧角的平分線的性質(zhì)點(diǎn)P在BM上，練習(xí)如圖，△ABC的∠ABC外角的平分線BD與∠ACB的外角的平分線CE相交于點(diǎn)P．由角的平分線的性質(zhì)得DE=DF．PD⊥OA于D，即AD是∠BAC的平分線．CA，垂足分別為D，E，F(xiàn)．PD⊥OA于D，即AD是∠BAC的平分線．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．∴PD=PE=PF．即點(diǎn)P到三角的平分線的性質(zhì)（第二課時(shí)）2．求證何來(lái)？“全等推相等”例如圖，△ABC中，∠C=90°，試在AC上找證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn)．∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴

PD=PE

．同理

PE=PF．∴PD=PE=PF．即點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等．復(fù)原基本圖練習(xí)

如圖，△ABC的∠ABC外角的平分線BD與∠ACB的外角的平分線CE相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線的距離相等．“角分無(wú)雙垂”“距離需作垂”

練習(xí)

如圖，△ABC的∠ABC外角的平分線BD與∠ACB的外角的平分線CE相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線的距離相等．“角分無(wú)雙垂”“距離需作垂”想“作雙垂”兩組證明：過(guò)點(diǎn)P作PF，PG，PH分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為F，

G，H．∵BD為∠ABC外角的平分線，點(diǎn)P在BD上，

∴PF=PG．同理PG=PH．∴PF=PG=PH．即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線的距離相等．類比的想法例

已知：如圖，AB

=AC，BD

=CD，DE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：DE

=DF．例

已知：如圖，AB

=AC，BD

=CD，DE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：DE

=DF．分析：標(biāo)圖1．已知可推？“全等待條件”“雙垂待角分”考慮連接AD例

已知：如圖，AB

=AC，BD

=CD，DE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：DE

=DF．分析：標(biāo)圖1．已知可推？“全等待條件”“雙垂待角分”2．求證何來(lái)？“角分雙垂推相等”更好“全等推相等”考慮連接AD例

已知：如圖，AB

=AC，BD

=CD，DE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：DE

=DF．整理思路：連接AD，證明△ABD≌

△ACD由全等證角等“角分雙垂推相等”證明：連接AD．

在△ABD與△ACD中，∴△ABD≌

△ACD（SSS）．∴∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分線．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．復(fù)原基本圖作公共部分練習(xí)

如圖，OP平分∠AOB，點(diǎn)D，E分別在OA，OB上，且PD

=PE，圖中與∠PDA相等的角是

，并證明你的結(jié)論．1．如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線．在△ABD與△ACD中，∵∠AOP=∠BOP證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，由Rt△BDE≌Rt△CDF得EB=FC．∵BM是△ABC的角平分線，求證：EB=FC．證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，由角的平分線的性質(zhì)得DE=DF．∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．于點(diǎn)F．求證：DE=DF．1．熟悉定理及其對(duì)應(yīng)的基本圖；CA，垂足分別為D，E，F(xiàn)．證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，回顧角的平分線的性質(zhì)，并證明你的結(jié)論．練習(xí)如圖，△ABC的∠ABC外角的平分線BD與∠ACB的外角的平分線CE相交于點(diǎn)P．∴Rt△PDF≌Rt△PEH（HL）．練習(xí)

如圖，OP平分∠AOB，點(diǎn)D，E分別在OA，OB上，且PD

=PE，圖中與∠PDA相等的角是

，并證明你的結(jié)論．分析：標(biāo)圖1

．已知可推？“角分無(wú)垂直”，練習(xí)

如圖，OP平分∠AOB，點(diǎn)D，E分別在OA，OB上，且PD

=PE，圖中與∠PDA相等的角是

，并證明你的結(jié)論．分析：標(biāo)圖1

．已知可推？“角分無(wú)垂直”，考慮“作雙垂”．

練習(xí)

如圖，OP平分∠AOB，點(diǎn)D，E分別在OA，OB上，且PD

=PE，圖中與∠PDA相等的角是

，并證明你的結(jié)論．∠PEO分析：標(biāo)圖1

．已知可推？“角分無(wú)垂直”，考慮“作雙垂”．2．猜測(cè)∠PDA

=∠PEO；求證何來(lái)？構(gòu)造的全等．解：∠PDA=∠PEO．理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OA于點(diǎn)F，PH⊥OB于點(diǎn)H．∵OP平分∠AOB，∴PF=PH

．在Rt△PDF與Rt△PEH中，

∴Rt△PDF≌Rt△PEH

（HL）．∴∠PDF＝∠PEH.∴∠PDA=∠PEO．小結(jié)在我們運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)處理問(wèn)題時(shí)：1．熟悉定理及其對(duì)應(yīng)的基本圖；2．與角的平分線的性質(zhì)有關(guān)的常見(jiàn)的輔助線是:補(bǔ)全基本圖；如:過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊作垂線；3．特別注意，可以使用角的平分線的性質(zhì)定理時(shí)，不必再使用全等證明一遍這個(gè)結(jié)論．1．如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線．求證：S△ABD：S△ACD

=AB：AC．作業(yè)OB上，且PD=PE，圖中與∠PDA相等的角是角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．由角的平分線的性質(zhì)得DE=DF．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．1．已知可推？“角分無(wú)垂直”，回顧角的平分線的性質(zhì)練習(xí)如圖，△ABC的∠ABC外角的平分線BD與∠ACB的外角的平分線CE相交于點(diǎn)P．2．求證何來(lái)？“全等推相等”即AD是∠BAC的平分線．求證何來(lái)？“距離需作垂”練習(xí)如圖，△ABC的∠ABC外角的平分線BD與∠ACB的外角的平分線CE相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．解：∠PDA=∠PEO．理由如下：求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．1．已知可推？“角分雙垂推相等”交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線邊AB,BC,CA的距離相等．作業(yè)2．如圖，BD是∠ABC的平分線，AB

=BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N．求證：PM

=PN．例如圖，△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：S△ABD：S△ACD=AB：AC．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴PF=PG=PH．證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn)．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．OB上，且PD=PE，圖中與∠PDA相等的角是例如圖，△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．由角的平分線的性質(zhì)得DE=DF．