高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題課件

第三節(jié)二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題一、二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0將平面內(nèi)的所有點(diǎn)

分成三類(lèi)：一類(lèi)在直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0上，另兩類(lèi)分居直線(xiàn)Ax

＋By＋C＝0的兩側(cè)，其中一側(cè)半平面的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足Ax＋

By＋C＞0，另一側(cè)的半平面的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足

.Ax＋By＋C＜02.二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直

線(xiàn)Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的

且不含邊界，直線(xiàn)作圖

時(shí)邊界直線(xiàn)畫(huà)成

，當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫(huà)不等式Ax＋By

＋C≥0所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線(xiàn)，此時(shí)

邊界直線(xiàn)畫(huà)成

.平面區(qū)域虛線(xiàn)實(shí)線(xiàn)3.不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示平面點(diǎn)集的

，因而是各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的

.

交集公共部分二、線(xiàn)性規(guī)劃中的基本概念名稱(chēng)意義約束條件由變量x，y組成的

線(xiàn)性約束條件由x，y的

不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)

，如z＝2x＋3y等線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的

解析式可行解滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解可行域所有可行解組成的最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得

或

的可行解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題在線(xiàn)性約束條件下求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的

或

問(wèn)題不等式(組)一次解析式一次(x，y)集合最大值最小值最大值最小值可行解與最優(yōu)解有何關(guān)系？最優(yōu)解是否唯一？提示：最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一，有時(shí)唯一，有時(shí)有多個(gè).1.不等式5x－3y－1＞0表示的平面區(qū)域在直線(xiàn)5x－3y－1＝0

的(

)A.左上方B.左下方

C.右上方

D.右下方解析：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，作出直線(xiàn)5x－3y－1＝0，如圖，將原點(diǎn)(0,0)代入直線(xiàn)方程得5×0－3×0－1＜0，∴不等式5x－3y－1＞0表示的平面區(qū)域在直線(xiàn)5x－3y－1＝0的右下方.答案：D2.不等式x2－y2≥0所表示的平面區(qū)域(陰影部分)是(

)答案：C3.不等式組表示平面區(qū)域?yàn)?

)

A.四邊形及其內(nèi)部

B.等腰三角形及其內(nèi)部

C.在第一象限內(nèi)的一個(gè)無(wú)界區(qū)域

D.不包含第一象限內(nèi)的點(diǎn)的一個(gè)有界區(qū)域解析：畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖，易知2x－y＋1＝0與x－2y－1＝0關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)，與x＋y＝1所成角相等，故不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)榈妊切渭捌鋬?nèi)部.答案：B4.點(diǎn)P(a,4)在不等式3x＋y－3＞0表示的平面區(qū)域內(nèi)且到直線(xiàn)x

－2y＋2＝0的距離等于，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.解析：∵3a＋4－3＞0?a＞－；或a＝11.答案：(1,4)或(11,4)5.若實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足則s＝x＋y的最大值為

.解析：可行域如圖所示，作直線(xiàn)y＝－x，當(dāng)平移直線(xiàn)y＝－x至點(diǎn)A處時(shí)，s＝x＋y取得最大值，即smax＝4＋5＝9.答案：9二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法(1)直線(xiàn)定界，特殊點(diǎn)定域注意不等式中不等號(hào)有無(wú)等號(hào)，無(wú)等號(hào)時(shí)直線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)，有等號(hào)時(shí)直線(xiàn)畫(huà)成實(shí)線(xiàn).若直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選取原點(diǎn)；若直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(1,0)或(0,1)來(lái)驗(yàn)證.(2)同號(hào)上，異號(hào)下即當(dāng)B(Ax＋By＋C)＞0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€(xiàn)Ax＋By＋C＝0的上方，當(dāng)B(Ax＋By＋C)＜0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€(xiàn)Ax＋By＋C＝0的下方.(1)畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域；(2)如圖，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，寫(xiě)出△ABC區(qū)域所表示的二元一次不等式組.

(1)分別畫(huà)出每個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域，然后取其公共部分；(2)先由兩點(diǎn)式分別求出直線(xiàn)AB、AC、BC的方程，然后寫(xiě)出不等式組.【解】(1)不等式x＜3表示x＝3左側(cè)點(diǎn)的集合.不等式2y≥x表示x－2y＝0上及其左上方點(diǎn)的集合.不等式3x＋2y≥6表示直線(xiàn)3x＋2y－6＝0上及右上方點(diǎn)的集合.不等式3y＜x＋9表示直線(xiàn)3y－x－9＝0右下方點(diǎn)的集合.綜上可得：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.(2)由兩點(diǎn)式得直線(xiàn)AB、BC、CA的方程并化簡(jiǎn)為：直線(xiàn)AB：x＋2y－2＝0，直線(xiàn)BC：x－y＋4＝0，直線(xiàn)CA：5x－2y＋2＝0.∴原點(diǎn)(0,0)不在各直線(xiàn)上，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入到各直線(xiàn)方程左端，結(jié)合式子的符號(hào)可得不等式組為1.(1)由不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是(

)A.2

B.1C.D.4(2)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線(xiàn)y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是(

)解析：(1)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋簣D中陰影部分三角形面積為×1×2＝1.(2)由圖可知，線(xiàn)性規(guī)劃區(qū)域?yàn)椤鰽BC邊界及內(nèi)部，y＝kx＋恰過(guò)A(0，)，y＝kx＋將區(qū)域平均分成面積相等兩部分，故過(guò)BC的中點(diǎn)D答案：(1)B

(2)A1.利用線(xiàn)性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：第

一步：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；第二步：利用平

移直線(xiàn)的方法在可行域內(nèi)找到最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；第三步：

將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)求出最大值或最小值.2.線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處或

邊界上取得.3.求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析目標(biāo)函數(shù)所表示的

幾何意義，通常與截距、斜率、距離等聯(lián)系.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足(1)若z＝2x＋y，求z的最大值和最小值；(2)若z＝，求z的最大值和最小值.

(1)中z表示直線(xiàn)在y軸上的截距.(2)中表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線(xiàn)的斜率.【解】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.

圖中陰影部分即為可行域.由得由由∴∴M(2,3).(1)∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，當(dāng)直線(xiàn)y＝－2x＋z經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)點(diǎn)M(2,3)時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最大，z也最大，此時(shí)zmax＝2×2＋3＝7.當(dāng)直線(xiàn)y＝－2x＋z經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)點(diǎn)A(1,2)時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最小，z也最小，此時(shí)zmin＝2×1＋2＝4.所以z的最大值為7，最小值為4.(2)∵kOA＝2，kOB＝所以z的最大值為2，z的最小值為.2.(1)已知點(diǎn)P(x，y)滿(mǎn)足條件(k為常數(shù))，若z＝

x＋3y的最大值

為8，則k＝

.(2)不等式組所確定的平面區(qū)域記為D，若圓

O：x2＋y2＝r2上的所有點(diǎn)都在區(qū)域D內(nèi)，則圓O的面積的最

大值是

.解析：(1)目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)(2,2)處取得最大值，所以k＝－6.(2)畫(huà)出可行域如圖：⊙O的所有點(diǎn)在△ABC內(nèi)，圓心O到直線(xiàn)BC的距離為⊙O半徑最大值，答案：（1）-6（2）解決線(xiàn)性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用題的一般步驟(1)認(rèn)真審題分析，設(shè)出未知數(shù)，寫(xiě)出線(xiàn)性約束條件和目標(biāo)函數(shù).(2)作出可行域.(3)作出目標(biāo)函數(shù)值為零時(shí)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)l.(4)在可行域內(nèi)平行移動(dòng)直線(xiàn)l，從圖中能判定問(wèn)題有唯一最優(yōu)解，或是有無(wú)窮最優(yōu)解或無(wú)最優(yōu)解.(5)求出最優(yōu)解，從而得到目標(biāo)函數(shù)的最值.【注意】解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范，假若圖上的最優(yōu)點(diǎn)并不明顯時(shí)，不妨將幾個(gè)有可能是最優(yōu)點(diǎn)的坐標(biāo)都求出來(lái)，然后逐一檢驗(yàn)，以“驗(yàn)明正身”.另外對(duì)最優(yōu)整數(shù)解問(wèn)題，可使用“局部微調(diào)法”，此方法的優(yōu)點(diǎn)是思路清晰，操作簡(jiǎn)單，便于掌握.用“局部微調(diào)法”求整點(diǎn)最優(yōu)解的關(guān)鍵是“微調(diào)”，其步驟可用以下十二字概括：微調(diào)整、求交點(diǎn)、取范圍、找整解.某公司倉(cāng)庫(kù)A存有貨物12噸，倉(cāng)庫(kù)B存有貨物8噸，現(xiàn)按7噸、8噸和5噸把貨物分別調(diào)運(yùn)給甲、乙、丙三個(gè)商店.從倉(cāng)庫(kù)A運(yùn)貨物到商店甲、乙、丙，每噸貨物的運(yùn)費(fèi)分別為8元、6元、9元；從倉(cāng)庫(kù)B運(yùn)貨物到商店甲、乙、丙，每噸貨物的運(yùn)費(fèi)分別為3元、4元、5元.問(wèn)應(yīng)如何安排調(diào)運(yùn)方案，才能使得從兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)運(yùn)貨物到三個(gè)商店的總運(yùn)費(fèi)最少？由于題目中量比較多，所以最好通過(guò)列出表格以便清晰地展現(xiàn)題目中的條件.設(shè)出倉(cāng)庫(kù)A運(yùn)給甲、乙商店的貨物噸數(shù)可得運(yùn)到丙商店的貨物噸數(shù)，列出可行域，即可求解.

商店

每噸運(yùn)費(fèi)倉(cāng)庫(kù)甲乙丙A869B345解：已知數(shù)據(jù)列成下表

設(shè)倉(cāng)庫(kù)A運(yùn)給甲、乙商店的貨物分別為x噸，y噸，則倉(cāng)庫(kù)A運(yùn)給丙商店的貨物為(12－x－y)噸，從而倉(cāng)庫(kù)B運(yùn)給甲、乙、丙商店的貨物分別為(7－x)噸、(8－y)噸、[5－(12－x－y)]＝(x＋y－7)噸，于是總運(yùn)費(fèi)為z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126.

∴線(xiàn)性約束條件為目標(biāo)函數(shù)為z＝x－2y＋126.作出上述不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示作出直線(xiàn)l：x－2y＝0，把直線(xiàn)l平行移動(dòng)，顯然當(dāng)直線(xiàn)l移動(dòng)到過(guò)點(diǎn)(0,8)時(shí)，在可行域內(nèi)z＝x－2y＋126取得最小值z(mì)min＝0－2×8＋126＝110，則x＝0，y＝8時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少.安排的調(diào)運(yùn)方案如下：倉(cāng)庫(kù)A運(yùn)給甲、乙、丙商店的貨物分別為0噸、8噸、4噸，倉(cāng)庫(kù)B運(yùn)給甲、乙、丙商店的貨物分別為7噸、0噸、1噸，此時(shí)可使得從兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)運(yùn)貨物到三個(gè)商店的總運(yùn)費(fèi)最少.3.某公司計(jì)劃2010年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300

分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元.甲、乙電視臺(tái)的廣告

收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘，假定甲、乙兩個(gè)

電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來(lái)的收益分

別為0.3萬(wàn)元和0.2萬(wàn)元.問(wèn)該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視

臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬(wàn)

元？

解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得目標(biāo)函數(shù)z＝3000x＋2000y.二元一次不等式組等價(jià)于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖.作直線(xiàn)l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0，平移直線(xiàn)l，從圖中可知，當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.聯(lián)立解得x＝100，y＝200.∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,200)，∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元).答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬(wàn)元.從近