初中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教學(xué)的案例

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)課程不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。①在以課例為載體的教師行動教育中，我們通過設(shè)計(jì)折紙活動讓學(xué)生動手實(shí)踐，自主探索與合作交流，豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和教師的教學(xué)方式，在此過程中，學(xué)生找到了學(xué)習(xí)的樂趣，而教師對數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式也有了新的認(rèn)識。一、設(shè)計(jì)折紙活動的背景。三角形的中位線一直是各種版本的初中幾何教材中的經(jīng)典內(nèi)容，很多公開課都選了這個內(nèi)容。但在大量的聽課與教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，對三角形中位線性質(zhì)的證明，是一個教學(xué)難點(diǎn)，只有少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生能在課上獨(dú)立完成，大多數(shù)學(xué)生在證明中面臨困難。如何有效地解決這個教學(xué)難點(diǎn)是我們課例研究的出發(fā)點(diǎn)。眾所周知，用操作、觀察、猜想、分析的手段去感悟幾何圖形的性質(zhì)是學(xué)習(xí)幾何的重要方法。由此，我們想到了從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)出發(fā)，重新設(shè)計(jì)三角形的中位線的教學(xué)過程。讓學(xué)生從研究折紙中的圖形性質(zhì)探索出三角形的中位線性質(zhì)并加以說明。一方面，折紙活動本身能喚起學(xué)生很多美好的回憶，如折紙飛機(jī)、紙帆船、千紙鶴、寶葫蘆等。另一方面，折紙活動又是一種有效的操作活動，學(xué)生可以通過自己動手操作來感悟圖形的幾何性質(zhì)，運(yùn)用圖形運(yùn)動去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題。而且折紙活動本身也承載著許多重要的幾何問題，可以提煉出更一般的幾何方法，它對于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、好奇心與探索精神，有重要的價值。二、教學(xué)目標(biāo)。1.在折紙的情境中，能綜合運(yùn)用角平分線、線段垂線的性質(zhì)及與三角形、四邊形相關(guān)的一些性質(zhì)和判定。2.建立生活世界中的一些活動(剪紙與折紙游戲)與幾何世界的多種聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)幾何的興趣。3.建立幾何與現(xiàn)實(shí)生活問題的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思考方式(聯(lián)想、類比、直覺思維)。4.經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程：觀察一探索一猜想一驗(yàn)證，體會科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律。三、教學(xué)過程。1.創(chuàng)設(shè)情境。師：同學(xué)們，你們做過折紙游戲嗎?折紙飛機(jī)、紙船、紙葫蘆、紙鶴等都很有趣。我們在日常生活中接觸最多的紙張是長方形的，如把這樣一張紙折起一個角，就得到了一個直角三角形(教師演示)，那么怎樣用長方形的紙片折出等腰三角形呢?請同學(xué)們折一下。(學(xué)生聯(lián)想以往的折紙方式折紙。)2.提出問題。(1)導(dǎo)入問題--把一個直角三角形折成長方形。師：我們已經(jīng)知道長方形紙片能折出直角三角形?，F(xiàn)在考慮反方向的問題，即直角三角形紙片能否折成長方形?(學(xué)生以小組為單位，進(jìn)行觀察、嘗試、討論折紙，探索折法，表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)。)師：(實(shí)物投影)我們展開紙片，畫出折痕，并標(biāo)上字母(如圖1)?；叵胝奂堖^程，你有什么發(fā)現(xiàn)?(教師提示：注意圖中線段的位置與長度的關(guān)系，圖中是否有等腰三角形?哪些三角形全等?)ABGC圖1生：(教師邊歸納邊板書)①EF=GB=GC=BC/2.EG=AF=FC=AC/2.因此EF‖BC，EG‖AC。②折痕將三角形ABC分成四個全等的直角三角形，兩個等腰三角形。③連接EC，AE=BE=EC=AB/2，A+B=90。師：通過觀察我們這張紙(圖1)，大家知道了E是AB的中點(diǎn)，并且得到三點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，其中第三點(diǎn)中的兩條性質(zhì)我們以前證明過，今天我們用折紙的方法又一次進(jìn)行了說明。請大家過中點(diǎn)G、F作一條折痕，思考這條折痕GF與斜邊AB有什么關(guān)系?它能不能成為長方形的一邊?(2)一般問題--把一個任意三角形折成長方形。師：現(xiàn)在，我們考慮更一般的問題，即一般三角形的紙片能否折成長方形?請同學(xué)們折一折。(學(xué)生嘗試用任意三角形折長方形。教師巡視中指導(dǎo)：同學(xué)們可以回想剛才是怎樣折的?；顒舆M(jìn)行得差不多時，學(xué)生在投影儀上演示：用高線轉(zhuǎn)化成兩個直角三角形的折疊過程。)師：我們打開紙片展平，畫出所有折痕，并標(biāo)上字母(如圖2)。從剛才的折紙活動中，你發(fā)現(xiàn)了這個圖形中線段、角和三角形之間存在哪些位置、形狀、數(shù)量關(guān)系?請各小組的同學(xué)討論一下，發(fā)表小組討論結(jié)果。ABGDHC圖2(教師邊歸納邊板書學(xué)生討論的結(jié)果。)①關(guān)于中點(diǎn)：AE=BE=AB/2，AF=CF=AC/2.BG=DG=BD/2.CH=DH=CD/2;②斜邊上中線：DE=AB/2，DF=AC/2;③關(guān)于中位線：EF=BC/2，GE=AD/2。FH=AD/2。3.提出猜想。師：你認(rèn)為在什么條件下才能得到一條線段是另一條線段的一半長?學(xué)生發(fā)現(xiàn)：①線段的中點(diǎn);②直角三角形斜邊上的中線;③三角形兩邊的中點(diǎn)連線。師：我們實(shí)際上是找到了△ABC兩條邊上的中點(diǎn)E、F，我們把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線?，F(xiàn)在你們猜測一下這個中位線與第三邊有什么樣的關(guān)系?(學(xué)生提出猜想：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。)4.說明結(jié)論。師：剛才大家猜出了三角形中位線的性質(zhì)，現(xiàn)在你是否能驗(yàn)證這個性質(zhì)并加以說明。(學(xué)生折紙，用折紙比較各條邊長及各個角的大小。)師：小組內(nèi)討論一下，如何驗(yàn)證?如何說明?(教師巡視中指導(dǎo)：你的說明要讓別人相信你是正確的。)哪位同學(xué)愿意來這里(講臺)向大家說明!你們還有什么疑問提出來。(學(xué)生相互說明與辯論。在實(shí)物投影儀上說明①A+B+C=180。;②四邊形EFHG是長方形。)師：我們一起發(fā)現(xiàn)了三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半，并通過折紙方法進(jìn)行了驗(yàn)證與說明，以后我們還要進(jìn)一步證明與應(yīng)用這個性質(zhì)。5.交流體驗(yàn)。師：這節(jié)課你知道了什么?學(xué)會了什么?有什么發(fā)現(xiàn)?有什么體會?還有什么問題與困惑?生1：這節(jié)課使我知道了折紙中也有數(shù)學(xué)道理，感覺到生活中處處有數(shù)學(xué)，今后要多觀察，多思考。生2：我在用直角三角形折長方形時，與組里其他同學(xué)的折法不一樣，經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)折的長方形沒有其他同學(xué)的大。我又折了幾次發(fā)現(xiàn)這樣拆(手舉如圖1方式的折紙)面積是最大的，是三角形面積的一半。生3：我覺得用折紙比較線段和角的關(guān)系很方便，比如說可以同時折兩個一樣的圖形比來比去容易通過做產(chǎn)生出猜想，今后學(xué)幾何要多用這種方法。師：同學(xué)們，我們在折紙操作中，通過觀察，發(fā)現(xiàn)關(guān)系，形成猜想，并證明我們的猜想，得出結(jié)論。這是人們發(fā)現(xiàn)新知識的重要方法。6.布置作業(yè)。師：今天課后的作業(yè)是用正方形的紙片折疊圖形，按工作單進(jìn)行操作與探究，從中發(fā)現(xiàn)問題。四、教學(xué)活動后教研從上述過程可以看出，教學(xué)活動的過程經(jīng)歷了創(chuàng)設(shè)情境、提出問題、提出猜想、說明結(jié)論、交流體驗(yàn)與布置作業(yè)6個環(huán)節(jié)。在隨后的教研活動中教師們對如下幾個問題進(jìn)行討論，引發(fā)了我們更多的思考。1.關(guān)于活動式教學(xué)。活動教學(xué)方式，主要強(qiáng)調(diào)學(xué)生從已有生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)、在動手操作的活動過程中學(xué)習(xí)，進(jìn)而完成對知識的主動建構(gòu)。但是數(shù)學(xué)探究活動的發(fā)生又不同于科學(xué)探究活動，具體實(shí)物材料的擺弄和操作(折紙活動)只是外在的活動，而實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)探究往往發(fā)生在學(xué)生的頭腦里--教師的任務(wù)就是使學(xué)生經(jīng)歷直觀一感性認(rèn)識一理性思考的活動過程，同時體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程(從猜想到說明/證明)的欣喜和挑戰(zhàn)。而折紙中的圖形性質(zhì)這一課例無疑關(guān)注了學(xué)生對過程性知識的學(xué)習(xí)并增強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的情感體驗(yàn)。布魯納也指出：我們教一門科目，并不是希望學(xué)生成為該科目的一個小型書庫，而是要他們參與獲得知識的過程。學(xué)習(xí)是一種過程，而不是結(jié)果。②可見，讓學(xué)生在活動中學(xué)會學(xué)習(xí)本身比學(xué)會什么更重要。2。關(guān)于問題情境的設(shè)計(jì)。杜威的教學(xué)五步③反映了他做中學(xué)的教育思想，具體地體現(xiàn)為教師在教學(xué)中要為學(xué)生準(zhǔn)備一個應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)的真實(shí)情境--與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的情境;與此同時給予一些暗示，使學(xué)生有興趣了解某個問題。本課例中把三角形折成一個長方形是以折紙情境中產(chǎn)生的真實(shí)問題作為思維的刺激物，來激發(fā)學(xué)生邁向幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)。教師不是把現(xiàn)成的教材提供給學(xué)生，而是要學(xué)生參與到活動中去，啟發(fā)與引導(dǎo)學(xué)生從自己的生活經(jīng)驗(yàn)以及折紙活動中自然產(chǎn)生出方法(實(shí)際上是學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)的有效運(yùn)用)，來應(yīng)對折紙情境中所產(chǎn)生的問題、考慮從前沒有認(rèn)識到的事物，使經(jīng)驗(yàn)有真正的增長，形成新性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)。而且在情境的實(shí)踐活動中存在著大量的默會知識，所以實(shí)施有效的活動式教學(xué)的關(guān)鍵在于處理好顯性知識與默會知識學(xué)習(xí)的四種關(guān)系--即言傳、內(nèi)化、外顯、意會的有機(jī)整合;。④并在此基礎(chǔ)之上，有效地進(jìn)行知識的傳承與創(chuàng)新。⑤3.關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地思維。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是高度抽象。如抽象的概念、抽象的關(guān)系，但它們都有非常多的現(xiàn)實(shí)背景。該課例在教學(xué)設(shè)計(jì)中關(guān)注了這個特點(diǎn)，力圖體現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)的現(xiàn)實(shí)背景，并從中選取與學(xué)生生活世界密切相關(guān)的情境，使學(xué)生思維的抽象過程猶如自然發(fā)生。這樣，學(xué)生感受到了鮮活的數(shù)學(xué)而不僅僅是它冰冷的美麗。數(shù)學(xué)的另一特點(diǎn)是嚴(yán)密性，表現(xiàn)為邏輯嚴(yán)格與計(jì)算精確，這種嚴(yán)密過程正體現(xiàn)了人類認(rèn)識的逐漸深化。在課例中，我們也注意了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，在直觀幾何到證明幾何的嚴(yán)謹(jǐn)化過程之中做一過渡，進(jìn)行幾何說明，即要求學(xué)生做到讓別人信服你是正確的。以此啟蒙證明與反駁的思維方式。同時，這反映了一個逐漸追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程。在課例設(shè)計(jì)的問題解決活動中，體現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)家常用的思想方法：(1)思考問題的逆(反方向)問題，以提出新問題(如從用常見的長方形紙折出三角形問題到反過來的用三角形紙折長方形問題);(2)從一般問題的特例(直角三角形折為長方形)人手，尋找問題解決的思路;(3)把一個一般性問題(一般三角形折為長方形)轉(zhuǎn)化為解決過的問題(直角三角形折成長方形)的轉(zhuǎn)化與化歸思想;(4)歸納與分類的思想(把折紙中發(fā)現(xiàn)的諸多關(guān)系歸納出來，并進(jìn)行分類);(5)從變化中尋找不變性的思想(折紙中變化的線段長度與長度的倍半關(guān)系)。4.關(guān)于活動課過程的展開?；顒诱n中學(xué)生的數(shù)學(xué)活動如何展開?這取決于多種因素，主要有教師特點(diǎn)、學(xué)生基礎(chǔ)、內(nèi)容水平、方法運(yùn)用與情境引入，等等。毫無疑問，學(xué)生的主動探索與嘗試是活動課展開的核心，這里教師如何引導(dǎo)是非常關(guān)鍵的。在設(shè)計(jì)教師的引導(dǎo)活動時，我們經(jīng)歷了驗(yàn)證學(xué)過定理(復(fù)習(xí))還是發(fā)現(xiàn)(數(shù)學(xué))問題，以知識結(jié)構(gòu)組織方式作為主要路線還是以認(rèn)知活動序進(jìn)為主要線索及活動中默會層面的知識如何感悟等問題的困擾，曾幾易教學(xué)設(shè)計(jì)，幾次實(shí)踐探索。如，在第一稿的設(shè)計(jì)中教師打算通過折紙活動復(fù)習(xí)本學(xué)期學(xué)過的線段垂直平分線、角的平分線、直角三角形斜邊中線等定理及含30。角的直角三角形性質(zhì)定理，還探究以前沒有學(xué)過的三角形中位線定理。這實(shí)際上是通過折紙驗(yàn)證定理，折紙活動把定理的復(fù)習(xí)與發(fā)現(xiàn)貫穿起來，課堂的容量自然就不小了。但在后來學(xué)習(xí)共同體的研討中，大家認(rèn)識到通過折紙操作驗(yàn)證已學(xué)過的幾何定理，失去了操作的意義，也會占用較多的課堂時間，教學(xué)重點(diǎn)要定位于學(xué)生通過折紙操作來發(fā)現(xiàn)新知識，為學(xué)生提供更多機(jī)會和時間，讓學(xué)生提問與質(zhì)疑、嘗試與探究、討論與交流、歸納與總結(jié)。促使學(xué)生思維開放，在積極探索中形成創(chuàng)新性的思考與看待問題的方式，并藉此獲得知識。又如，在第一次上課之后，執(zhí)教老師反思道：以往教學(xué)中注重的是幾何論證，講究的是邏輯推理的嚴(yán)密性，不太關(guān)注知識是如何產(chǎn)生的;而折紙活動是操作幾何，教師和學(xué)生都一時難以適應(yīng)從折紙的角度去探究、去發(fā)現(xiàn)、去驗(yàn)證。大家仔細(xì)觀察課堂錄像后認(rèn)為，要創(chuàng)設(shè)與學(xué)生實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)的情節(jié)，激活學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)循序漸進(jìn)和學(xué)以致用。又如，在后來的一次平行班上課中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在折紙活動中思維放開了，有了多種嘗試和結(jié)果，能夠較好地體現(xiàn)學(xué)生的主體性，但是操作與嘗試的方向不夠明確，深度上也有欠缺。仔細(xì)觀察課堂錄像使我們認(rèn)清了教學(xué)中的另一主體⑥--教師的作用，教師如何點(diǎn)撥、引導(dǎo)使學(xué)生在多種嘗試和結(jié)果中提煉出關(guān)鍵問題與有用的知識，不僅是教學(xué)設(shè)計(jì)中要講究的，也是教學(xué)實(shí)踐中師生智慧的體現(xiàn)，也與默會層面的知識傳遞有關(guān)。此外，教師在設(shè)計(jì)活動式教學(xué)時