【高一數(shù)學(xué)暑假培優(yōu)】第07講 基本不等式（原卷+解析卷）-人教A版2023必修第一冊

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第07講基本不等式

1．了解基本不等式代數(shù)和幾何兩方面的背景，了解幾何平均數(shù)和代數(shù)平均數(shù)的概念；

2．理解基本不等式的代數(shù)證法和幾何證法；嚴謹規(guī)范表達不等式證明過程；

3．熟練地掌握基本不等式及其不變形形式，并能熟練運用基本不等式來比較兩個實數(shù)的大小，求某些函數(shù)的最大（?。┲?，證明簡單的不等式；

4．會應(yīng)用基本不等式模型解決一些簡單的實際問題。

一、基本不等式的概念

1、兩個不等式

（1）重要不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取號）.

常見變形公式：、

（2）基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）.

常見變形公式：；

【注意】（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；

（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”.

（3）我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù).

因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

2、由公式和引申出的常用結(jié)論

①（同號）；

②（異號）；

③或

二、基本不等式的證明

1、法一：幾何面積法

如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形.

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為.

這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為.

由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：.

當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危磿r，正方形縮為一個點，

這時有.

得到結(jié)論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）

特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：

如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.

通常我們把上式寫作：如果，,，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）

2、法二：代數(shù)法

∵，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.

三、基本不等式的幾何意義

如圖，是圓的直徑，點是上的一點，,，

過點作交圓于點D，連接、.

易證，那么，即.

這個圓的半徑為，它大于或等于，即，

其中當(dāng)且僅當(dāng)點與圓心重合，即時，等號成立.

四、利用基本不等式求最值

1、在用基本不等式求函數(shù)的最值時，要滿足三個條件：一正二定三取等.

①一正：各項均為正數(shù)；

②二定：含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；

③三取等：含變數(shù)的各項均相等，取得最值.

2、積定和最小，和定積最大

（1）設(shè)x，y為正實數(shù)，若x＋y＝s(和s為定值)，則當(dāng)x=y時，積xy有最大值，且這個值為.

（2）設(shè)x，y為正實數(shù)，若xy＝p(積p為定值),則當(dāng)x=y時，和x＋y有最小值,且這個值為2.

考點一：對基本不等式的理解

例1．不等式中，等號成立的條件是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)，

即時等號成立，故選：.

【變式訓(xùn)練】（多選）已知a，，且，則下列不等式成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】BC

【解析】對于A，因為，故當(dāng)時，不等式不成立，故A不正確；

對于B，因為，所以恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確；

對于C，因為，所以，則，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；

對于D，因為，所以，當(dāng)時滿足，但，

此時，故D不正確.故選：BC.

考點二：利用基本不等式比較大小

例2．設(shè)（、為互不相等的正實數(shù)），，則與的大小關(guān)系是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】、為互不相等的正實數(shù)，則，

所以，

，時，，

所以．故選：A．

【變式訓(xùn)練】若，，，則，，2ab，中最大的一個是______．

【答案】/

【解析】，，，則，，，

綜上所述：最大的一個是.

故答案為：

考點三：利用基本不等式求和的最小值

例3．若，則的最值情況是（）

A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2

【答案】B

【解析】若，則，

當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，

所以若時，有最小值為6，無最大值.故選：B.

【變式訓(xùn)練】若，且，求的最小值．

【答案】

【解析】因為，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，

所以的最小值為．

考點四：利用基本不等式求積的最大值

例4．已知，則當(dāng)取最大值時，的值為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由，可得，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

所以時，取得最大值.故選：B.

【變式訓(xùn)練】若，，且，則的最大值為（）

A．5B．6C．8D．9

【答案】D

【解析】因為，，且，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

所以的最大值為9.故選:D.

考點五：利用基本不等式證明不等式

例5．已知，，且，求證：.

【答案】證明見解析

【解析】因為，，，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.

故原題得證.

【變式訓(xùn)練】已知，，，求證：.

【答案】證明見解析

【解析】∵，，，

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，

同理：，，

當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，

以上三式相加得：，

當(dāng)且當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，

所以.

考點六：利用基本不等式解決實際問題

例6．用長度為20米的籬笆圍成一矩形場地，則矩形的最大面積為__________．

【答案】

【解析】設(shè)矩形場地的長為米，則矩形的寬為米，且，

所以矩形的面積為平方米，

因為，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，

所以矩形的最大面積為平方米.

故答案為：平方米.

【變式訓(xùn)練】如圖設(shè)矩形ABCD（AB＞AD）的周長為40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成為△AEC，AE交DC于點P．設(shè)AB＝xcm．

（1）若，求x的取值范圍；

（2）設(shè)△ADP面積為S，求S的最大值及相應(yīng)的x的值．

【答案】（1）；（2），

【解析】（1）由矩形周長為，可知，

設(shè)，則∵，∴．

在中，，即，得，

由題意，，即，

解得，

由得，，∴，

即x的取值范圍是．

（2）因為，．

化簡得．

∵，∴，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，.

1．不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（）

A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x0，b>0，且a＋b＝16，則ab≤64

【答案】CD

【解析】對于A，當(dāng)，時，才能成立，A錯誤；

對于B，當(dāng)時才能使用基本不等式求最小值，B錯誤；

對于C，因為，所以，即，C正確；

對于D，，，所以，D正確.故選：CD.

8．（多選）已知正數(shù)滿足，則下列選項正確的是（）

A．的最小值是2B．的最大值是1

C．的最小值是4D．的最大值是2

【答案】AB

【解析】因為正數(shù)滿足，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，

所以的最小值是2，故A正確；

因為正數(shù)滿足，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，等號成立，

所以的最大值是1，故B正確；

由，得，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，等號成立，

所以的最小值是,故C錯誤；

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，

所以的最大值是，故D錯誤；故選：AB.

9．（多選）若，且，則在四個數(shù)中正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】ABD

【解析】由于，則，

又，所以，

又，即.故選：ABD

10．已知.

（1）當(dāng)時，求的最小值；

（2）當(dāng)時，求的最小值.

【答案】（1）16；（2）

【解析】（1）當(dāng)時，，

即，即，

所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

所以的最小值為16.

（2）當(dāng)時，，即，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，

所以的最小值為.

11．（1）已知，，，求證：；

（2）已知a，b，c為不全相等的正實數(shù)，求證：.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1），

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

所以.

（2），

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

因為a，b，c為不全相等的正實數(shù)，

所以.

12．近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在國慶期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn)，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國慶期間加班追產(chǎn)提供（萬元）的專項補貼．波司登制衣有限公司在收到高郵政府（萬元）補貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）．同時波司登制衣有限公司生產(chǎn)（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷售金額政府專項補貼成本．

（1）求波司登制衣有限公司國慶期間，加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于政府補貼（萬元）的表達式；

（2）高郵政府的專項補貼為多少萬元時，波司登制衣有限公司國慶期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）最大？

【答案】（1）；（2）6萬元

【解析】（1）．

因為，所以

（2）因為．

又因為，所以，

所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）

所以

即當(dāng)萬元時，取最大值30萬元．

1．若，則下列不等式成立的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】因為，則，

又，所以.故選：B.

2．已知，則的最大值為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.

所以的最大值為.故選：C

3．已知，則的最小值是（）

A．3B．4C．5D．2

【答案】B

【解析】由于，故，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故最小值為4，故選：B

4．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是（）

A．20B．25C．28D．30

【答案】D

【解析】設(shè)一年的總運費與總存儲費用之和為，顯然，

則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

即時取等號，故選：D

5．已知，且.則下列不等式恒成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】AC

【解析】當(dāng)時，，所以BD選項錯誤.

A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，A正確.

C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C正確.故選：AC

6．（多選）設(shè)正實數(shù)m、n滿足，則下列說法正確的是（）

A．的最小值為3B．的最大值為1

C．的最小值為2D．的最小值為2

【答案】ABD

【解析】因為正實數(shù)m、n，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)且m+n=2，即m=n=1時取等號，此時取得最小值3，A正確；

由，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時，mn取得最大值1，B正確；

因為，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時取等號，

故≤2即最大值為2，C錯誤；

，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此處取得最小值2，故D正確.故選：ABD

7．已知，則與的大小關(guān)系是____________

【答案】.

【解析】∵，∴，，

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

故答案為：.

8．已知，，，則的最大值為______．

【答案】/2.25

【解析】因為，，，所以，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”

故答案為：.

9．已知正數(shù)，滿足，則的最小值為___________．

【答案】

【解析】因為正數(shù)，滿足，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

所以的最小值為，故答案為：

10．證明：

（1）；

（2）.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；

【解析】（1），

當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立.

（2），

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，

顯然的值不存在，所以等號不成立，所以.

11．利用基本不等式證明：已知都是正數(shù)，求證：

【答案】證明見解析

【解析】都是正數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；

（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；

（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；

（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），

即.

12．（1）用籬笆圍一個面積為的矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？

（2）用一段長為的籬笆圍成一個矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？

【答案】（1）當(dāng)這個矩形菜園是邊長為的正方形時，最短籬笆的長度為；（2）當(dāng)這個矩形菜園是邊長為的正方形時，最大面積是.

【解析】設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.

（1）由已知得，由，可得，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立.

因此，當(dāng)這個矩形菜園是邊長為的正方形時，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為；

（2）由已知得，則，矩形菜園的面積為.

由，可得，

當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立.

因此，當(dāng)這個矩形菜園是邊長為的正方形時，菜園的面積最大，最大面積是.

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第07講基本不等式

1．了解基本不等式代數(shù)和幾何兩方面的背景，了解幾何平均數(shù)和代數(shù)平均數(shù)的概念；

2．理解基本不等式的代數(shù)證法和幾何證法；嚴謹規(guī)范表達不等式證明過程；

3．熟練地掌握基本不等式及其不變形形式，并能熟練運用基本不等式來比較兩個實數(shù)的大小，求某些函數(shù)的最大（小）值，證明簡單的不等式；

4．會應(yīng)用基本不等式模型解決一些簡單的實際問題。

一、基本不等式的概念

1、兩個不等式

（1）重要不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取號）.

常見變形公式：、

（2）基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）.

常見變形公式：；

【注意】（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；

（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”.

（3）我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù).

因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

2、由公式和引申出的常用結(jié)論

①（同號）；

②（異號）；

③或

二、基本不等式的證明

1、法一：幾何面積法

如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形.

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為.

這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為.

由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：.

當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形縮為一個點，

這時有.

得到結(jié)論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）

特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：

如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.

通常我們把上式寫作：如果，,，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）

2、法二：代數(shù)法

∵，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.

三、基本不等式的幾何意義

如圖，是圓的直徑，點是上的一點，,，

過點作交圓于點D，連接、.

易證，那么，即.

這個圓的半徑為，它大于或等于，即，

其中當(dāng)且僅當(dāng)點與圓心重合，即時，等號成立.

四、利用基本不等式求最值

1、在用基本不等式求函數(shù)的最值時，要滿足三個條件：一正二定三取等.

①一正：各項均為正數(shù)；

②二定：含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；

③三取等：含變數(shù)的各項均相等，取得最值.

2、積定和最小，和定積最大

（1）設(shè)x，y為正實數(shù)，若x＋y＝s(和s為定值)，則當(dāng)x=y時，積xy有最大值，且這個值為.

（2）設(shè)x，y為正實數(shù)，若xy＝p(積p為定值),則當(dāng)x=y時，和x＋y有最小值,且這個值為2.

考點一：對基本不等式的理解

例1．不等式中，等號成立的條件是（）

A．B．C．D．

【變式訓(xùn)練】（多選）已知a，，且，則下列不等式成立的是（）

A．B．C．D．

考點二：利用基本不等式比較大小

例2．設(shè)（、為互不相等的正實數(shù)），，則與的大小關(guān)系是（）

A．B．C．D．

【變式訓(xùn)練】若，，，則，，2ab，中最大的一個是______．

考點三：利用基本不等式求和的最小值

例3．若，則的最值情況是（）

A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2

【變式訓(xùn)練】若，且，求的最小值．

考點四：利用基本不等式求積的最大值

例4．已知，則當(dāng)取最大值時，的值為（）

A．B．C．D．

【變式訓(xùn)練】若，，且，則的最大值為（）

A．5B．6C．8D．9

考點五：利用基本不等式證明不等式

例5．已知，，且，求證：.

【變式訓(xùn)練】已知，，，求證：.

考點六：利用基本不等式解決實際問題

例6．用長度為20米的籬笆圍成一矩形場地，則矩形的最大面積為__________．

【變式訓(xùn)練】如圖設(shè)矩形ABCD（AB＞AD）的周長為40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成為△AEC，AE交DC于點P．設(shè)AB＝xcm．

（1）若，求x的取值范圍；

（2）設(shè)△ADP面積為S，求S的最大值及相應(yīng)的x的值．

1．不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（）

A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x0，b>0，且a＋b＝16，則ab≤64

8．（多選）已知正數(shù)滿足，則下列選項正確的是（）

A．的最小值是2B．的最大值是1

C．的最小值是4D．的最大值是2

9．（多選）若，且，則在四個數(shù)中正確的是（）

A．B．C．D．

10．已知.

（1）當(dāng)時，求的最小值；

（2）當(dāng)時，求的最小值.

11．（1）已知，，，求證：；

（2）已知a，b，c為不全相等的正實數(shù)，求證：.

12．近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在國慶期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn)，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國慶期間加班追產(chǎn)提供（萬元）的專項補貼．波司登制衣有限公司在收到高郵政府（萬元）補貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）．同時波