第二章 實數(shù)單元檢測題（含解析）

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2023-2024學年度八年級上冊數(shù)學第二章實數(shù)單元綜合檢測題

一、單選題

1．下列說法正確的是（）

A．平方根是B．的平方根是

C．平方根等于它本身的數(shù)是1和0D．一定是正數(shù)

2．估計+1的值在（）

A．2和3之間B．3和4之間C．4和5之間D．5和6之間

3．下列各式中，與能合并的是（）

A．B．C．D．

4．已知：a＝，b＝，則a與b的關系是（）

A．a(chǎn)－b＝0B．a(chǎn)＋b＝0C．a(chǎn)b＝1D．a(chǎn)2＝b2

二、填空題

5．比較大?。?_____5．（填“＞”、“＝”或“＜”）

6．的算術平方根為_____，﹣27立方根為_____．

7．已知：m、n為兩個連續(xù)的整數(shù)，且m＜＜n，則m+n＝_____．

8．若二次根式有意義，則的取值范圍是______________．

9．要使代數(shù)式有意義，x的取值范圍是__________．

10．已知一個數(shù)的平方根是3a+1和a+11，求這個數(shù)的立方根是______．

11．最簡二次根式與可以合并，則的值為____________．

三、解答題

12．把下列各數(shù)寫入相應的集合中：-，，0.1，，，，0，0.1212212221．．．（相鄰兩個1之間2的個數(shù)逐次加1）

（1）正數(shù)集合{}；

（2）有理數(shù)集合{}；

（3）無理數(shù)集合{}．

13．計算：

14．計算：

(1)；

(2)

15．計算：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

16．化簡下列各式．

（1）

（2）；

17．求x的值：

（1）；（2）.

18．已知2a﹣1的平方根為±3，3a+b﹣1的算術平方根為4，求a+2b的平方根．

19．已知＋＝b＋8

（1）求a的值；

（2）求a2－b2的平方根．

20．已知，的平方根是，c是的整數(shù)部分，求的平方根.

21．已知，求的值

22．已知，化簡二次根式.

23．實數(shù).在數(shù)軸上的位置如圖所示，請化簡：.

24．已知a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的值.

25．如果一個正數(shù)x的兩個平方根分別為a＋1和a－5．

（1）求a和x的值；

（2）求7x＋1的立方根．

26．已知一個正數(shù)的平方根是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，求﹣b﹣a的平方根．

27．先計算：

＝________，＝________，＝________，

＝________，＝0.

根據(jù)計算結果，回答：

（1）一定等于a嗎？如果不是，那么＝________；

（2）利用你總結的規(guī)律，計算：

①若x＜2，則＝________；

②＝________．

（3）若a，b，c為三角形的三邊長，化簡：

＋＋.

28．細心觀察下圖，認真分析各式，然后解答問題．

……

（1）請用含n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律________，_________；

（2）請推算出的長；

（3）求出的值．

29．先閱讀下面的解題過程，然后再解答.形如的化簡，我們只要找到兩個數(shù)a，b，使，，即，，那么便有：.

例如化簡：.

解：首先把化為，

這里，，

由于，，

所以，

所以.

根據(jù)上述方法化簡：.

30．閱讀下列材料，然后解答下列問題：

在進行代數(shù)式化簡時，我們有時會碰上如，這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：

(一)；

(二)；

(三)．

以上這種化簡的方法叫分母有理化．

(1)請用不同的方法化簡：

①參照(二)式化簡＝__________．

②參照(三)式化簡＝_____________

(2)化簡：．

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參考答案：

1．D

【分析】A、根據(jù)平方根的概念即可得到答案；

B、的平方根其實是9的平方根；

C、平方根等于它本身的數(shù)與算術平方根是它本身的數(shù)要分清楚；

D、先判斷出，再利用算術平方根的性質直接得到答案．

【詳解】A、是負數(shù)，負數(shù)沒有平方根，不符合題意；

B、，9的平方根是，不符合題意；

C、平方根等于它本身的數(shù)是0，1的平方根是，不符合題意；

D、，正數(shù)的算術平方根大于0，符合題意．

故選：D．

【點睛】此題考查了平方根及算術平方根的定義及性質，熟練掌握相關知識是解題關鍵．

2．B

【分析】直接利用2＜＜3，進而得出答案．

【詳解】解：∵2＜＜3，

∴3＜+1＜4，

故選：B．

【點睛】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出的取值范圍是解題關鍵．

3．B

【分析】先化簡二次根式，根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可．

【詳解】解：A．，故該選項不正確，不符合題意；

B．，故該選項正確，符合題意；

C．，故該選項不正確，不符合題意；

D．，故該選項不正確，不符合題意．

故選B．

【點睛】本題考查了同類二次根式，掌握一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式是解題的關鍵．

4．C

【分析】先分母有理化求出a、b，再分別代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各個式子的值，即可得出選項．

【詳解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，

∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A選項錯誤，不符合題意；

a+b=（2+）+（2-）=4，故B選項錯誤，不符合題意；

ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C選項正確，符合題意；

∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4，

∴a2≠b2，故D選項錯誤，不符合題意；

故選：C．

【點睛】本題考查了分母有理化的應用，能求出每個式子的值是解此題的關鍵．

5．＜．

【分析】先把根號外的因式移入根號內(nèi)，再比較即可．

【詳解】解：3=，5=，

∵45＜50，

∴

∴，

故答案為：＜．

【點睛】本題考查了算術平方根和二次根式的大小比較，能選擇適當?shù)姆椒ū容^兩個數(shù)的大小是解此題的關鍵．

6．2；﹣3

【分析】根據(jù)算術平方根與立方根的性質即可求出答案．

【詳解】解：∵＝4，4的算術平方根為2，

∴的算術平方根為2；

∵，

∴﹣27立方根為﹣3，

故答案為：2；﹣3

【點睛】本題考查算術平方根與立方根的性質，屬于基礎題型．

7．7

【分析】先估算出的取值范圍，得出m、n的值，進而可得出結論．

【詳解】解：∵9＜11＜16

∴3＜＜4

∴m＝3，n＝4

∴m+n＝3+4＝7

故答案為7．

【點睛】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，先根據(jù)題意算出的取值范圍是解答此題的關鍵．

8．

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求解．

【詳解】解：由題意得：

，解得，

故答案為：．

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)題意列出不等式并求解不等式是解題的關鍵．

9．且

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，根據(jù)分式有意義的條件可得，再解不等式即可．

【詳解】解：由題意得：且，

解得：且，

故答案為：且．

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件．牢記分式、二次根式成立的條件是解題的關鍵．

10．4

【分析】根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，可知3a+1+a+11=0，a=-3，從而得出答案．

【詳解】由已知得，3a+1+a+11=0，解得a=-3，

所以3a+1=-8，a+11=8，

所以，這個數(shù)是64，

它的立方根是4．

故答案是：4.

【點睛】考查了平方根和立方根的概念．注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．立方根的性質：一個正數(shù)的立方根式正數(shù)，一個負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根式0．

11．

【分析】由題意可得最簡二次根式與是同類二次根式，于是可得關于m的方程，解方程即可求出m，進一步即得答案．

【詳解】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，

∴，解得：，

∴的值為．

故答案為：．

【點睛】本題考查了同類二次根式的定義，屬于基礎概念題型，熟知同類二次根式的概念是關鍵．

12．（1）0.1、、、0.1212212221．．．（相鄰兩個1之間2的個數(shù)逐次加1）；（2）、0.1、、、0；（3）、、0.1212212221．．．（相鄰兩個1之間2的個數(shù)逐次加1）．

【分析】根據(jù)實數(shù)的分類標準進行填寫即可．

【詳解】解：（1）正數(shù)集合{0.1、、、0.1212212221．．．（相鄰兩個1之間2的個數(shù)逐次加1）}；

（2）有理數(shù)集合{-、0.1、、、0}；

（3）無理數(shù)集合{、、0.1212212221．．．（相鄰兩個1之間2的個數(shù)逐次加1）}．

【點睛】本題主要考查了實數(shù)的分類，掌握有理數(shù)和無理數(shù)的概念是解答本題的關鍵．

13．

【分析】分別計算有理數(shù)的乘方、絕對值、二次根式及零指數(shù)冪，再進行加減即可．

【詳解】解：原式．

【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方，絕對值和二次根式的化簡及零指數(shù)冪的性質，屬于基礎題，正確運算是解題的關鍵．要熟練掌握：任何一個不等于零的數(shù)的零次冪都等于1，．

14．(1)4

(2)

【分析】（1）先計算二次根式的乘法，絕對值，零次冪，負整數(shù)指數(shù)冪，再計算乘法，最后計算加減運算即可；

（2）先計算二次根式的除法，二次根式的乘法，再計算加減運算即可．

（1）

解：

=

=

=4

（2）

=

=

=

=

【點睛】本題考查的是零次冪與負整數(shù)指數(shù)冪的含義，實數(shù)的混合運算，二次根式的混合運算，掌握“二次根式的混合運算的運算順序”是解本題的關鍵．

15．解：（1）；（2）15；（3）；（4）3

【分析】（1）先根據(jù)立方根、算術平方根和絕對值的意義分別計算，再合并即可；

（2）根據(jù)二次根式的混合運算法則進行計算即可；

（3）根據(jù)二次根式的混合運算法則進行計算即可；

（4）先計算平方、算術平方根、立方根，再相乘，最后合并.

【詳解】解：（1）

=

=

=；

（2）

=

=

=15；

（3）

=

=

=

（4）

=

=

=3

【點睛】本題考查了實數(shù)和二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的化簡和合并同類二次根式的法則是解此題的關鍵.

16．（1）；（2）．

【分析】（1）把二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式即可；

（2）把二次根式化成最簡二次根式，再把括號去掉，最后合并同類二次根式即可．

【詳解】解：（1）

；

（2）

．

【點睛】本題考查的是二次根式的加減運算，二次根式的混合運算，掌握“二次根式的混合運算的運算順序”是解本題的關鍵．

17．（1）；（2）

【分析】（1）根據(jù)平方根概念計算求解；

（2）先由－729的立方根是－9，得，再解方程即可.

【詳解】解：（1）由，得，∴；

（2）由，得，即，解得.

【點睛】本題考查了平方根和立方根的概念，掌握概念是求解的關鍵.

18．±3

【分析】先根據(jù)2a﹣1的平方根為±3，3a+b﹣1的算術平方根為4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定義進行解答即可．

【詳解】解：∵2a﹣1的平方根為±3，

∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，

a＝5；

∵3a+b﹣1的算術平方根為4，

∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，

解得b＝2，

∴a+2b＝5+4＝9，

∴a+2b的平方根為：±3．

【點睛】本題考查的是平方根及算術平方根的定義，熟知一個數(shù)的平方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)是解答此題的關鍵．

19．（1）17；（2）±15

【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質可得：，即可解得，然后再代入可得b＝﹣8；

（2）根據(jù)（1）代入可求得a2﹣b2＝225，根據(jù)平方根的意義可解

【詳解】根據(jù)題意得：，

解得：a＝17，

（2）b＋8＝0，

解得：b＝﹣8，

則a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225，

則a2－b2的平方根是：±15

20．的平方根是.

【分析】結合平方根的定義以及估算無理數(shù)大小的方法得出a，b，c的值，進而得出答案．

【詳解】解：由題意，得，解得.

，解得.

因為，所以.

所以，所以的平方根是.

【點睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，正確得出a，b，c的值是解題關鍵．

21．2023

【分析】根據(jù)二次根式的性質求出m≥2023，再化簡絕對值，根據(jù)平方運算，可得答案．

【詳解】∵

∴m≥2023

∴

∴原方程可化為

∴

∴

∴

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，利用二次根式的性質化簡絕對值是解題關鍵．

22．

【分析】根據(jù)二次根式有意義得到，結合已知條件得y＜0，化簡即可得出最簡形式．

【詳解】由二次根式的定義知，則.

因為，所以x，y同號且不等于0，

所以，，

所以.

【點睛】此題考查二次根式的性質與化簡，解題關鍵在于掌握其性質.

23．

【分析】根據(jù)a、b在數(shù)軸的位置可知a、b的大小關系，進而根據(jù)絕對值和二次根式的性質化簡即可.

【詳解】由圖知a＜0＜b，且|a|＜|b|，

則原式=b﹣a+a﹣（a+b）

=b﹣a+a﹣a﹣b

=﹣a．

【點睛】本題考查絕對值和二次根式的性質，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，熟練掌握絕對值的性質是解題關鍵.

24．

【分析】首先確定a、b的值，然后代入計算.

【詳解】解：∵，即.

∴，.

∴.

【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，估算的方法一般是利用完全平方數(shù)和算術平方根的知識，用逼近法確定無理數(shù)的整數(shù)部分.

25．（1）x=9；（2）4．

【分析】（1）根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，得出以為未知數(shù)的方程，求解即可求出的值，結合可求出的值；

（2）先求出的值，再根據(jù)立方根的定義求解即可．

【詳解】（1）由題意，得

解得

所以．

因為的平方根是，所以．

（2）因為，

所以7x＋1的立方根為4．

26．±2．

【分析】由一個數(shù)的平方根互為相反數(shù)得出a+2+2a-15=0，又b的立方根是-2，可求出b值，然后代入求出答案．，

【詳解】∵一個數(shù)的平方根互為相反數(shù)，

∴a+3+2a-15=0，

解得：a=4，

又b的立方根是-2，

∴b=-8，

∴-b-a=8-4=4，

∴其平方根為±2，

即-b-a的平方根為±2．

【點睛】本題考查平方根性質，一元一次方程，立方根，求平方根，掌握平方根性質，一元一次方程的解法，立方根是解題關鍵．

27．3；0.5；6；；（1）|a|；（2）①2－x；②π－3.14，（3）a+b+c

【詳解】分析：（1）根據(jù)求出即可；（2）根據(jù)求出即可.

詳解：=3，=0.5，=6，=，＝0.

（1）=|a|

（2）①2－x，②π－（3）14

（3）由題意得a＋b＞c，b＜c＋a，b＋c＞a，

∴a＋b－c＞0，b－c－a＜0，