上海建平中學(xué)西校2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

上海建平中學(xué)西校2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在數(shù)列中，若存在非零整數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)均成立，那么稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中叫做數(shù)列的周期，若數(shù)列滿足，如（），當(dāng)數(shù)列的周期最小時(shí)，該數(shù)列的前2016項(xiàng)的和是（

）A．672

B．673

C．1342

D．1344參考答案：D考點(diǎn)：周期數(shù)列的性質(zhì)與求和．【易錯點(diǎn)晴】本題以數(shù)列的有關(guān)知識為背景,考查的是歸納猜想的合情推理等知識的綜合運(yùn)用所學(xué)知識的綜合問題.求解時(shí)充分借助題設(shè)條件中的有效信息,利用題設(shè)觀察出這些數(shù)的特征和規(guī)律,然后再計(jì)算出,而,進(jìn)而利用數(shù)列的周期性求出數(shù)列的前項(xiàng)和的值為.2.設(shè)函數(shù)，其中，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍為()

參考答案：【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】A

：∵，∴f'（x）=sinθx2+cosθx∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）

∵θ∈[0,]，∴θ+∈[，]∴sin（θ+）∈[，1]

∴f′（1）∈[，2],故答案為：A．【思路點(diǎn)撥】先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后將x=1代入，再由兩角和與差的公式進(jìn)行化簡，根據(jù)θ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得最后答案．3.已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線與曲線E的兩條漸近線依次交于A，B兩點(diǎn)，若A是線段FB的中點(diǎn)，且C是線段AB的中點(diǎn)，則直線OC的斜率為（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】聯(lián)立直線和漸近線方程求得縱坐標(biāo)，根據(jù)可得之間的關(guān)系，從而可用表示出坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，從而求得斜率.【詳解】由題意知，雙曲線漸近線為：設(shè)直線方程為：由得：；同理可得：是中點(diǎn)

，

，，本題正確選項(xiàng)：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過中點(diǎn)的關(guān)系得到關(guān)于交點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而求解出之間的關(guān)系.4.一個(gè)與球心距離為l的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：答案：B

5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則（

）A．2

B．4

C．8

D．16參考答案：C由得，,又，∴，即.

6.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+i，a∈R，若復(fù)數(shù)z+的虛部為，則a等于（）A．1 B．±1 C．2 D．±2參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】把復(fù)數(shù)z=a+i代入復(fù)數(shù)z+，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)z+的虛部為，列出方程求解即可得答案．【解答】解：∵z=a+i，∴z+==，又復(fù)數(shù)z+的虛部為，∴，解得：a=±2．故選：D．7.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，且，則的值為（

）． A．2018 B．4028 C．5037 D．3019參考答案：B解：，∴，∴．故選B．8.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題:“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還?！逼湟馑紴椋河幸粋€(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第2天走了（

）A.192里

B.96里

C.48里

D.24里參考答案：B9.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)M表示復(fù)數(shù)z，則z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)是

（

）A．M

B．N

C．P

D．Q參考答案：B略10.已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，則P∩Q=(

) A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．?參考答案：B考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．解答： 解：Q={y|y=3x}={y|y＞0}，則P∩Q={1，2}，故選：B點(diǎn)評：本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，則A∩B=

．參考答案：{x|﹣1＜x＜2}【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】根據(jù)交集的定義和運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．【解答】解集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，則A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案為：{x|﹣1＜x＜2}．12.（幾何證明選做題）如圖，直線與相切于點(diǎn)，割線經(jīng)過圓心，弦⊥于點(diǎn)，，，則

．參考答案：13.設(shè)數(shù)列對都滿足，且，則

．參考答案：本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和的計(jì)算以及用裂項(xiàng)法求和的方法.因?yàn)?且,則,那么,，因此.所以.14.已知△ABC的三邊長分別為2，3，，則△ABC的面積S=．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】由余弦定理可得一內(nèi)角的余弦值，進(jìn)而可得正弦值，代入三角形的面積公式計(jì)算即可得解．【解答】解：在△ABC中，由題意，不妨設(shè)△ABC的三邊長分別為a=2，b=3，c=，則由余弦定理可得cosA===，∴sinA==，∴則△ABC的面積S=bcsinA=×3××=．故答案為：．15.在等比數(shù)列{an}中，已知，若，則的最小值是

▲

．參考答案：12，16.計(jì)算

．參考答案：117.．正三棱錐內(nèi)接于球，且底面邊長為，側(cè)棱長為2，則球的表面積為

．參考答案：如圖，設(shè)三棱錐的外接球球心為O，半徑為r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，，M為正的中心，則DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝(1)求cos2α的值；

(2)求2α－β的值．

參考答案：略19.如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一點(diǎn)．

（1）求證：BD⊥FG；

（2）確定點(diǎn)G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說明理由．

（3）當(dāng)二面角B—PC—D的大小為時(shí)，求PC與底面ABCD所成角的正切值．參考答案：方法一：（I）面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

其對角線BD，AC交于點(diǎn)E，∴PA⊥BD，AC⊥BD

∴BD⊥平面APC，平面PAC，∴BD⊥FG

…………3分

（II）當(dāng)G為EC中點(diǎn)，即時(shí)，F(xiàn)G//平面PBD，

…………4分

理由如下：

連接PE，由F為PC中點(diǎn)，G為EC中點(diǎn)，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD，

故FG//平面PBD．

…………7分

（III）作BH⊥PC于H，連結(jié)DH，

∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，

…………9分

即

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角………10分

連結(jié)EH，則

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是

…………12分

方法二解：以A為原點(diǎn)，AB，AD，PA所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,

（I）

…………3分

（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，

而，

由可得，解得

…………6分

故當(dāng)時(shí)，F(xiàn)G//平面PBD

…………7分

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為

則，而

，取z=1，得，

同理可得平面PBC的一個(gè)法向量

設(shè)所成的角為0，

則

即

…………10分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是

…………12分略20.（本小題滿分12分）已知點(diǎn)，，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線的斜率分別記為與，且．（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）過定點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請說明理由．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．

（Ⅰ）設(shè)，則，

所以所以（未寫出范圍扣一分）............4分

（Ⅱ）由已知當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程是，........5分聯(lián)立，消去得，.....................6分因?yàn)?，所以?..............7分設(shè)，

......................8分

........10分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，

面積的最大值為．

.......................................12分

考點(diǎn)：1、求曲線的方程；2、橢圓的方程；3、利用基本不等式求最值．21.（12分）(1)求直線,對稱的直線方程(2)已知實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍。參考答案：(1)解兩直線交點(diǎn)P（3，-2）------------------------------------2分取直線上的點(diǎn)M（2，0）關(guān)于直線對