第二章條件平差課件

誤差理論與測(cè)量平差主編：夏春林副主編：錢建國(guó)、張恒璟參編：李偉東、文曄編寫高校：遼寧工程技術(shù)大學(xué)吉林建筑大學(xué)大連理工大學(xué)城市學(xué)院第二講條件平差【學(xué)習(xí)要點(diǎn)及目標(biāo)】了解條件平差原理；熟悉條件平差的計(jì)算步驟；熟悉各種條件方程；熟悉條件平差精度評(píng)定步驟。2.1條件平差公式推導(dǎo)例2-1三角形內(nèi)角平差，同精度獨(dú)立觀測(cè)三角形的3個(gè)內(nèi)角，觀測(cè)值如下：L1=47°21′03″，L2=72°14′35″，L3=60°24′19″試求：3個(gè)內(nèi)角的平差值。思路1：三角形內(nèi)角和理論值為180°，先求出三角形內(nèi)角和的閉合差：同精度觀測(cè)各個(gè)內(nèi)角的改正值：3個(gè)內(nèi)角的平差值：檢核：總結(jié)：這是一種簡(jiǎn)易(近似)平差方法，利用了閉合差反號(hào)分配的原則。2.1條件平差公式推導(dǎo)2.1條件平差公式推導(dǎo)思路2：令

(i=1,2,3)觀測(cè)值的平差值滿足方程：即

是三角形內(nèi)角和閉合差。2.1條件平差公式推導(dǎo)或?qū)憺樵谏厦娣匠讨校?個(gè)未知數(shù)，該方程有無(wú)窮多個(gè)解，或者說(shuō)沒(méi)有唯一解。根據(jù)最小二乘原理可獲得未知數(shù)的最優(yōu)解。2.1條件平差公式推導(dǎo)求的最優(yōu)估值，這是高等數(shù)學(xué)上的條件極值問(wèn)題，構(gòu)造條件極值函數(shù)函數(shù)在對(duì)自變量求偏導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)上取得極值(i=1,2,3)2.1條件平差公式推導(dǎo)將上式代入方程=0中，求出聯(lián)系數(shù)，即，同時(shí)可得：三角形3個(gè)內(nèi)角平差值為2.1條件平差公式推導(dǎo)檢核：總結(jié)：在上述測(cè)量平差問(wèn)題中，列觀測(cè)值的平差值之間滿足條件方程，用求條件極值的方法，求出觀測(cè)值的最優(yōu)估值，此種方法稱為條件平差法2.1.1條件平差原理?xiàng)l件平差的數(shù)學(xué)模型為條件方程個(gè)數(shù)等于多余觀測(cè)數(shù)r，n為觀測(cè)值總個(gè)數(shù)，t為必要觀測(cè)數(shù)，三者關(guān)系為r=n–t由于r<n，從式(2-1)不能計(jì)算出的唯一解，但可按最小二乘原理(VTPV=min)，求出的最或然值V，從而進(jìn)一步計(jì)算觀測(cè)值L的平差值，即(2-1)(2-2)(2-3)(2-4)2.1.1條件平差原理將式(2-1)中的改寫成其估值(最或然值)V，條件方程變?yōu)闂l件平差就是在滿足r個(gè)條件式(2-5)的條件下，求解滿足最小二乘法(VTPV=min)的V值，在數(shù)學(xué)中就是求函數(shù)的條件極值問(wèn)題。設(shè)有r個(gè)平差值線性條件方程，即式中，aij(i=1,2,…,r,j=1,2,…,n)為各平差值條件方程式中的系數(shù)；ai0(i=1,2,…,r)為各平差值條件方程式中的常數(shù)項(xiàng)。(2-5)(2-6)2.1.1條件平差原理將式(2-4)代入式(2-6)，得相應(yīng)的改正數(shù)條件方程式為式中，w1,w2,…,wr為改正數(shù)條件方程的閉合差，即(2-7)(2-8)2.1.1條件平差原理令，，，，，則式(2-6)、式(2-7)和式(2-8)分別表達(dá)成以下矩陣形式，即2.1.1條件平差原理(2-9)(2-10)(2-11)按求函數(shù)條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，引入聯(lián)系數(shù)向量Kr×1=[k1k2…kr]T，構(gòu)成條件極值函數(shù)(2-12)將對(duì)V求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零2.1.1條件平差原理兩端轉(zhuǎn)置，得由于P是對(duì)稱陣，P=PT，將上式兩邊左乘權(quán)逆陣P-1，得(2-13)當(dāng)P為對(duì)角陣時(shí)，純量形式為

i=1,2,…,n(2-14)將式(2-13)代入式(2-10)，得(2-15)2.1.1條件平差原理式(2-15)稱為聯(lián)系數(shù)法方程，簡(jiǎn)稱法方程，其純量形式為(2-16)令A(yù)P-1AT=Naa，由式(2-16)易知N陣關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱，得(2-17)法方程系數(shù)陣Naa的秩，即Naa是一個(gè)r階的滿秩方陣，且可逆。將式(2-17)移項(xiàng)，兩邊左乘法方程系數(shù)陣Naa的逆陣Naa-1，得聯(lián)系數(shù)K的唯一解為2.1.1條件平差原理(2-18)

將式(2-18)代入式(2-13)或式(2-14)，可計(jì)算出V，再將V代入式(2-4)，即可計(jì)算出所求的觀測(cè)值的最或然值。通過(guò)觀測(cè)值的平差值，可進(jìn)一步計(jì)算一些未知量(如待定點(diǎn)的高程、縱橫坐標(biāo)以及邊長(zhǎng)、某一方向的方位角等)的最或然值。由上述推導(dǎo)可看出，K、V及都是由式(2-10)和式(2-13)解算出的，因此把式(2-10)和式(2-13)稱為條件平差的基礎(chǔ)方程。2.1.2條件平差的計(jì)算步驟(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，首先確定必要觀測(cè)值的個(gè)數(shù)t及多余觀測(cè)個(gè)數(shù)r=n-t，再確定觀測(cè)值的權(quán)陣P，列出改正數(shù)條件方程(包含r個(gè)條件式)(2)組成聯(lián)系數(shù)法方程式(3)計(jì)算聯(lián)系數(shù)(4)計(jì)算觀測(cè)值改正數(shù)(5)計(jì)算觀測(cè)值的平差值2.1.2條件平差的計(jì)算步驟(6)檢查平差計(jì)算的正確性，將平差值代入平差值條件方程式，檢驗(yàn)是否滿足方程關(guān)系。(7)計(jì)算驗(yàn)后單位權(quán)方差，評(píng)定精度。上述計(jì)算步驟的內(nèi)容后續(xù)將詳細(xì)介紹。

例2-2圖2-1所示水準(zhǔn)網(wǎng)中，A、B、C為已知點(diǎn)：HA=142.000，HB=142.500，HC=144.000，單位為m；觀測(cè)高差為：h1=2.498，h2=2.000，h3=1.352，h4=1.851，單位為m；路線長(zhǎng)：S1=1，S2=1，S3=2，S4=1，單位為km。試按條件平差法，求待定點(diǎn)P1、P2高程的平差值。圖2-1水準(zhǔn)網(wǎng)2.1.2條件平差的計(jì)算步驟

解總的觀測(cè)高差個(gè)數(shù)n=4，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t=2，則多余觀測(cè)個(gè)數(shù)r=n-t=2，可以列兩個(gè)獨(dú)立的條件方程。(1)定權(quán)，令c=1，即以1km觀測(cè)高差的權(quán)為單位權(quán)，則P1=P2=P4=1，P3=獨(dú)立權(quán)陣2.1.2條件平差的計(jì)算步驟

在A、B、C3個(gè)已知點(diǎn)之間可以組成3條附合水準(zhǔn)路線，選擇A與B、A與C之間的路線列平差值條件方程為將(i=1,2,3,4)代入得將已知高程與觀測(cè)高差代入得2.1.2條件平差的計(jì)算步驟寫成矩陣形式AV-W=0，其中：，(2)組成法方程，(3)求解聯(lián)系數(shù)向量K，2.1.2條件平差的計(jì)算步驟(4)計(jì)算觀測(cè)值的改正數(shù)V(mm)(5)計(jì)算觀測(cè)值的平差值(i=1,2,3,4)(6)求待定點(diǎn)的平差高程2.2條件方程條件方程的組成是條件平差中最關(guān)鍵的一步。對(duì)于特定的平差問(wèn)題，條件方程式具有個(gè)數(shù)的唯一性和形式的多樣性的顯著特點(diǎn)，必須列出方程個(gè)數(shù)正好且線性無(wú)關(guān)的條件方程組才能達(dá)到平差的目的。本節(jié)介紹常規(guī)測(cè)量中遇到的基本圖形的條件方程的組成。2.2.1條件方程個(gè)數(shù)的確定

高程測(cè)量的主要目的是確定待定點(diǎn)的高程值。高程網(wǎng)包括水準(zhǔn)網(wǎng)和三角高程網(wǎng)，二者在高程平差時(shí)僅定權(quán)方式有差別，其他計(jì)算相同，下面以水準(zhǔn)網(wǎng)為例討論問(wèn)題。對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)進(jìn)行條件平差時(shí)，一般以已知高程點(diǎn)的高程值作為起算數(shù)據(jù)，以各測(cè)段的高差觀測(cè)值作為獨(dú)立觀測(cè)值，列高差平差值與已知高程值之間滿足的條件關(guān)系式，按照條件平差的原理解算各高差觀測(cè)值的改正數(shù)和平差值，然后計(jì)算出各待定點(diǎn)的高程平差值等。水準(zhǔn)網(wǎng)的必要起算數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是1，即至少需要一個(gè)已知點(diǎn)作為起算數(shù)據(jù)，如果網(wǎng)中沒(méi)有已知點(diǎn)則必須假設(shè)一個(gè)，并以此為基準(zhǔn)去確定其他待定點(diǎn)的高程值。進(jìn)行條件平差時(shí)，首先要確定條件方程的個(gè)數(shù)r=n-t，而要確定多余觀測(cè)個(gè)數(shù)就必須先確定必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t。確定必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t的一般原則是：如果水準(zhǔn)網(wǎng)中有足夠的起算數(shù)據(jù)，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t等于待定點(diǎn)個(gè)數(shù)；如果水準(zhǔn)網(wǎng)中沒(méi)有起算數(shù)據(jù)，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)等于待定點(diǎn)個(gè)數(shù)減去1。2.2.1條件方程個(gè)數(shù)的確定平面控制網(wǎng)測(cè)量的目的是通過(guò)觀測(cè)各方向(角度)或邊長(zhǎng)，計(jì)算平面網(wǎng)中各待定點(diǎn)的坐標(biāo)、邊長(zhǎng)和方位角等。根據(jù)觀測(cè)元素類型的不同，平面控制網(wǎng)可分為測(cè)角網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)、邊角同測(cè)網(wǎng)、導(dǎo)線網(wǎng)等布網(wǎng)形式。平面控制網(wǎng)的必要起算數(shù)據(jù)(基準(zhǔn))包括：限制平面網(wǎng)平移的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(包括x坐標(biāo)和y坐標(biāo))；限制平面網(wǎng)旋轉(zhuǎn)的一個(gè)方位角和限制平面網(wǎng)縮放的一個(gè)邊長(zhǎng)，或與其等價(jià)的兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)。在純測(cè)角控制網(wǎng)中，必要起算數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是4：一個(gè)已知點(diǎn)、一條已知邊和一個(gè)已知方位角或與其等價(jià)的兩個(gè)已知點(diǎn)；在具有邊長(zhǎng)觀測(cè)值的平面控制網(wǎng)中，由于已具備了觀測(cè)邊長(zhǎng)限制了控制網(wǎng)的縮放，必要起算數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是3：一個(gè)已知點(diǎn)和一個(gè)已知方位角。通常將只具備必要起算數(shù)據(jù)的控制網(wǎng)稱為獨(dú)立網(wǎng)或經(jīng)典自由網(wǎng)，具有多余起算數(shù)據(jù)的控制網(wǎng)稱為附合網(wǎng)或非自由網(wǎng)。根據(jù)數(shù)學(xué)理論，具備必要起算數(shù)據(jù)的平面控制網(wǎng)，結(jié)合必要的角度和邊長(zhǎng)觀測(cè)值，就能夠解算出控制網(wǎng)中所有待定點(diǎn)的坐標(biāo)值。對(duì)于平面控制網(wǎng)，必要起算數(shù)據(jù)一般是兩個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)，或者是一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)、一條邊長(zhǎng)和一個(gè)已知坐標(biāo)方位角。計(jì)算一個(gè)待定點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)值需要兩個(gè)觀測(cè)值(角度或邊長(zhǎng))。用z表示網(wǎng)中待定點(diǎn)的個(gè)數(shù)。2.2.1條件方程個(gè)數(shù)的確定對(duì)于測(cè)角網(wǎng)：(1)控制網(wǎng)中有必要起算數(shù)據(jù)時(shí)，t=2×z。(2)控制網(wǎng)中沒(méi)有必要起算數(shù)據(jù)時(shí)，通常假定兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)已知，t=2×(z-2)。(3)起算數(shù)據(jù)不足時(shí)，如只有一個(gè)已知點(diǎn)，此時(shí)t=2×(z-1)。對(duì)于測(cè)邊網(wǎng)、導(dǎo)線網(wǎng)，或觀測(cè)有邊長(zhǎng)的三角網(wǎng)：(1)控制網(wǎng)中有必要起算數(shù)據(jù)時(shí)，t=2×z。(2)控制網(wǎng)中沒(méi)有必要起算數(shù)據(jù)時(shí)，通常假定兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，因?yàn)檫呴L(zhǎng)觀測(cè)值可以作為起算數(shù)據(jù)之一使用，此時(shí)t=2×(z-2)+1。2.2.2水準(zhǔn)網(wǎng)條件方程式如圖2-2所示水準(zhǔn)網(wǎng)中，有兩個(gè)已知高程點(diǎn)A、B，3個(gè)待定高程點(diǎn)C、D、E和6個(gè)高差觀測(cè)值。從圖中可以看出，要確定3個(gè)待定點(diǎn)的高程值，至少需要知道其中的3個(gè)高差觀測(cè)值(如h1、h3、h5或h2、h4、h6等多種選擇)，即必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t=3。多余觀測(cè)個(gè)數(shù)r=n-t=6-3=3，可以列出3個(gè)平差值條件方程式，相應(yīng)的改正數(shù)條件方程式和閉合差為，2.2.2水準(zhǔn)網(wǎng)條件方程式這些條件方程式大體上分為兩類：其一是由閉合水準(zhǔn)路線構(gòu)成的條件方程式，如上述條件方程式中的前兩個(gè)；其二是由附合水準(zhǔn)路線構(gòu)成的條件方程式，如上述條件方程式中的第三個(gè)。圖2-2所示水準(zhǔn)網(wǎng)中，可列出的全部條件方程式為但是它的最大線性無(wú)關(guān)組是3，可以任選其中3個(gè)線性無(wú)關(guān)的條件方程式進(jìn)行平差計(jì)算。通常選擇條件方程式的方法是：線性條件方程式優(yōu)先于非線性條件方程式，形式簡(jiǎn)單的條件方程式優(yōu)先于形式復(fù)雜的條件方程式。2.2.2水準(zhǔn)網(wǎng)條件方程式如圖2-3所示水準(zhǔn)網(wǎng)中，有4個(gè)待定高程點(diǎn)A、B、C、D和6個(gè)高差觀測(cè)值。由于沒(méi)有已知高程點(diǎn)，在平差過(guò)程中必須假設(shè)一個(gè)，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)等于總點(diǎn)數(shù)減1，t=3，多余觀測(cè)個(gè)數(shù)為r=n-t=3?？梢粤谐?個(gè)平差值條件方程式，即相應(yīng)的改正數(shù)條件方程式和閉合差為2.2.3測(cè)角網(wǎng)條件方程式測(cè)角網(wǎng)是三角網(wǎng)的一種布網(wǎng)形式，在網(wǎng)中僅觀測(cè)方向(或角度)，主要由單三角形、大地四邊形和中點(diǎn)多邊形等基本圖形組合而成。如圖2-4所示測(cè)角網(wǎng)，有兩個(gè)已知點(diǎn)A、B，兩個(gè)待定點(diǎn)C、D和9個(gè)角度觀測(cè)值。根據(jù)角度交會(huì)的原理，要確定C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，至少需要知道其中的4個(gè)角度觀測(cè)值，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t=4，r=n-t=9-4=5，總共要列出5個(gè)條件方程式。三角網(wǎng)中的條件方程主要有以下幾種形式，改正數(shù)和閉合差通常以"為單位。1.圖形條件方程圖形條件，又叫三角形內(nèi)角和條件或三角形閉合差條件。在三角網(wǎng)中，一般對(duì)三角形的每個(gè)內(nèi)角都進(jìn)行了觀測(cè)。根據(jù)平面幾何知識(shí)，三角形3個(gè)內(nèi)角平差值的和應(yīng)為180°。根據(jù)圖2-4可以列出3個(gè)圖形條件，平差值條件方程和改正數(shù)條件方程分別為2.2.3測(cè)角網(wǎng)條件方程式，，2.水平條件方程水平條件，又稱圓周條件，這種條件方程一般見(jiàn)于中點(diǎn)多邊形中。如圖2-4所示，在中點(diǎn)D周圍的3個(gè)觀測(cè)角度的平差值之和應(yīng)等于360°，如果沒(méi)有水平條件，就會(huì)產(chǎn)生圖2-5所示的情形。水平條件的平差值條件方程和改正數(shù)條件方程分別為，2.2.3測(cè)角網(wǎng)條件方程式3.極條件方程極條件方程也稱為邊長(zhǎng)條件方程，一般見(jiàn)于中點(diǎn)多邊形和大地四邊形中。在圖2-4中，當(dāng)滿足上述的圖形條件和水平條件時(shí)還不能使幾何圖形完全閉合，可能出現(xiàn)圖2-6所示的情形，為了幾何條件完全閉合，要列出一個(gè)極條件。在圖2-4所示的三角網(wǎng)中，應(yīng)用正弦定理，以CD邊為起算邊，依次推算AD、BD，最后回推到起算邊CD，得到2.2.3測(cè)角網(wǎng)條件方程式或(2-19)平差值的極條件方程是非線性方程，為得到其改正數(shù)條件方程形式，用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)上式展開(kāi)并取至一次項(xiàng)。將(i=1,2,…,6)代入，顧及弧度化秒因子，展開(kāi)得2.2.3測(cè)角網(wǎng)條件方程式化簡(jiǎn)整理得極條件的改正數(shù)條件方程為(2-20)(2-21)式(2-20)是以D點(diǎn)為極的極條件平差值方程，極條件方程的列立和線性化有著一定的規(guī)律性，在實(shí)際應(yīng)用中極條件方程可直接寫出。在大地四邊形中同樣存在極條件，在圖2-7所示的大地四邊形中，n=8，t=4，r=n-t=4，包括3個(gè)圖形條件和1個(gè)極條件，大地四邊形中只有3個(gè)獨(dú)立的圖形條件。2.2.3測(cè)角網(wǎng)條件方程式以大地四邊形中點(diǎn)O為極的極條件為線性形式同樣，可以以A、B、C、D4點(diǎn)中的任意一點(diǎn)為極寫出極條件，以A點(diǎn)為極的極條件為2.2.3測(cè)角網(wǎng)條件方程式線性形式整理得2.2.4測(cè)邊網(wǎng)條件方程式測(cè)邊網(wǎng)和測(cè)角網(wǎng)一樣，在測(cè)邊網(wǎng)中也可分解為三角形、大地四邊形和中點(diǎn)多邊形3種基本圖形，如圖2-8至圖2-10所示。對(duì)于測(cè)邊三角形圖2-8，決定其形狀和大小的必要觀測(cè)為3條邊長(zhǎng)，所以t=3，r=n-t=3-3=0，即測(cè)邊三角形不存在條件方程。對(duì)于測(cè)邊大地四邊形圖2-9，決定第一個(gè)三角形需要觀測(cè)3條邊長(zhǎng)，決定第二個(gè)三角形只需再增加兩邊長(zhǎng)，所以t=5，r=n-t=6-5=1，存在一個(gè)條件方程。對(duì)于測(cè)邊中心多邊形，如中點(diǎn)五邊形圖2-10，t=3+2×3＝9，r=n-t=10-9=1，測(cè)邊網(wǎng)中的中點(diǎn)多邊形具有一個(gè)極條件。因此可以得出結(jié)論：測(cè)邊網(wǎng)中的條件數(shù)等于網(wǎng)中的中點(diǎn)多邊形與大地四邊形個(gè)數(shù)之和。2.2.4測(cè)邊網(wǎng)條件方程式圖形條件的列出，可利用角度閉合法、邊長(zhǎng)閉合法和面積閉合法等，本節(jié)介紹常用的角度閉合法。測(cè)邊網(wǎng)的圖形條件按角度閉合法列出的基本思想是利用觀測(cè)邊長(zhǎng)求出網(wǎng)中的內(nèi)角，列出角度間應(yīng)滿足的條件，然后以邊長(zhǎng)改正數(shù)代換角度改正數(shù)，得到以邊長(zhǎng)改正數(shù)表示的圖形條件。例如，圖2-11所示的測(cè)邊中點(diǎn)三角形中，由觀測(cè)邊長(zhǎng)Si(i=1,2,3,…,6)精確地算出角值(j=1,2,3)，角度平差值條件方程為以角度改正數(shù)表示的圖形條件和閉合差為(2-22)上述條件中的角度改正數(shù)必須代換成邊長(zhǎng)觀測(cè)值的改正數(shù)，才是測(cè)邊網(wǎng)圖形條件的最終形式。為此，必須找出邊長(zhǎng)改正數(shù)和角度改正數(shù)之間的關(guān)系式。2.2.4測(cè)邊網(wǎng)條件方程式在圖2-12中，由余弦定理知微分得(2-23)2.2.4測(cè)邊網(wǎng)條件方程式由圖2-12可知,故有(2-24)將式(2-24)中的微分換成相應(yīng)的改正數(shù)，同時(shí)考慮到式中dA的單位是rad，而角度改正數(shù)是以"為單位，故式(2-4)可寫成(2-25)這就是角度改正數(shù)與3個(gè)邊長(zhǎng)改正數(shù)之間的關(guān)系式，稱該式為角度改正數(shù)方程。式(2-24)的基本規(guī)律是，任意一角度(如A角)的改正數(shù)等于其對(duì)邊(Sa邊)的改正數(shù)減去兩個(gè)夾邊(Sb，Sc邊)的改正數(shù)分別與其鄰角余弦(Sb邊鄰角為C角，Sc邊鄰角為B角)的乘積，再乘以p″為分子，以該角至其對(duì)邊2.2.4測(cè)邊網(wǎng)條件方程式之高(ha)為分母的分?jǐn)?shù)。如果圖形中出現(xiàn)已知邊時(shí)，因其邊長(zhǎng)改正數(shù)為0，在條件方程中，要把相應(yīng)于該邊的改正數(shù)項(xiàng)舍去。1(∠ADB)、2(∠CDB)及3(∠ADC)的改正數(shù)與各邊改正數(shù)的關(guān)系式為2.2.4測(cè)邊網(wǎng)條件方程式將上述關(guān)系代入式(2-22)，并按(i=1,2,…,6)的順序并項(xiàng)，即得中點(diǎn)三角形的圖形條件，即(2-26)在具體計(jì)算圖形條件的系數(shù)和閉合差時(shí)，一般取邊長(zhǎng)改正數(shù)的單位為cm，高h(yuǎn)的單位為km，取2.062，而閉合差w的單位為″。由觀測(cè)邊長(zhǎng)計(jì)算系數(shù)中的角值(圖2-12)時(shí)，可按余弦定理或式(2-27)計(jì)算，即，，2.2.4測(cè)邊網(wǎng)條件方程式式中，而高h(yuǎn)為 (2-28)2.2.5邊角網(wǎng)條件方程式如圖2-13所示邊角網(wǎng)，有4個(gè)已知點(diǎn)A、B、E、F，兩個(gè)待定點(diǎn)C、D，觀測(cè)了12個(gè)角度和兩個(gè)邊長(zhǎng)?？傆^測(cè)數(shù)n=14，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t=4，r=n-t=10，總共要列出10個(gè)獨(dú)立的條件方程式?？赡艿臈l件方程式類型為圖形條件、方位角條件、邊長(zhǎng)條件、正弦條件、余弦條件、坐標(biāo)條件等。圖2-13中，可以列出4個(gè)圖形條件方程，1個(gè)已知邊推算的邊長(zhǎng)條件方程，1個(gè)已知方位角推算的方位角條件方程，△ABC中正弦定理和余弦定理?xiàng)l件各1個(gè)，從已知點(diǎn)B到已知點(diǎn)E的坐標(biāo)附合條件兩個(gè)(x與y方向)。常見(jiàn)的幾種敘述如下。2.2.5邊角網(wǎng)條件方程式1.方位角條件方程方位角條件即方位角附合條件，是指從一個(gè)已知方位角出發(fā)，推算至另一個(gè)已知方位角后，所得推算值應(yīng)與原已知值相等.設(shè)AB邊的已知方位角為TAB，EF邊的已知方位角為TEF。如果從AB向EF推算，設(shè)EF方位角推算值的最或然值為。則方位角附合條件方程為其中整理得其相應(yīng)的改正數(shù)條件方程為2.2.5邊角網(wǎng)條件方程式2.邊長(zhǎng)條件方程邊長(zhǎng)條件即邊長(zhǎng)附合條件，是指從一個(gè)已知邊長(zhǎng)出發(fā)，推算至另一個(gè)已知邊長(zhǎng)后，所得推算值應(yīng)與原已知值相等。設(shè)AB邊的已知長(zhǎng)度為SAB，EF邊的已知長(zhǎng)度為SEF。如果沿圖2-13所示的推算路線，從AB向EF推算，得EF邊長(zhǎng)推算值的最或然值為，由網(wǎng)中已知點(diǎn)坐標(biāo)和待定點(diǎn)近似坐標(biāo)推算的邊長(zhǎng)近似值為S0EF，則邊長(zhǎng)附合條件方程為其中整理得2.2.5邊角網(wǎng)條件方程式改正數(shù)條件方程3.正弦條件方程在圖2-13所示的三角形ABC中，根據(jù)正弦定理得線性化的改正數(shù)條件方程為2.2.6導(dǎo)線網(wǎng)條件方程式如圖2-14所示附合導(dǎo)線，有4個(gè)已知點(diǎn)A、B、C、D，2個(gè)待定點(diǎn)P1、P2，觀測(cè)了4個(gè)角度和3個(gè)邊長(zhǎng)。總觀測(cè)數(shù)n=7，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t=2×2=4，r=n-t=3，總共可以列出3個(gè)獨(dú)立的條件方程式：一個(gè)已知邊推算的邊長(zhǎng)條件方程；一個(gè)已知方位角推算的方位角條件方程；從已知點(diǎn)A到已知點(diǎn)C的坐標(biāo)附合條件2個(gè)(x與y方向)。這4個(gè)條件存在相關(guān)，一般選擇坐標(biāo)方位角條件和坐標(biāo)附合條件。2.2.6導(dǎo)線網(wǎng)條件方程式1.坐標(biāo)方位角附合條件2.坐標(biāo)附合條件線性化后得改正數(shù)條件方程式為2.2.6導(dǎo)線網(wǎng)條件方程式其中2.3條件平差精度評(píng)定條件平差精度評(píng)定包括單位權(quán)方差的計(jì)算、平差值函數(shù)()的協(xié)因數(shù)QFF及其中誤差的計(jì)算等。在一般情況下，觀測(cè)值向量的協(xié)方差陣往往是不知道的，為了評(píng)定精度，還要用觀測(cè)值的改正數(shù)V計(jì)算單位權(quán)方差的估值，進(jìn)而計(jì)算各向量的協(xié)方差陣和任何平差結(jié)果的精度。2.3.1單位權(quán)中誤差單位權(quán)方差的估值(2-29)式中，r為多余觀測(cè)值個(gè)數(shù)，r=n–t。VTPV可用下列方法計(jì)算：(1)直接利用定義計(jì)算，即(2-30)(2)由條件平差有關(guān)公式計(jì)算，即(2-31)2.3.2協(xié)因數(shù)陣條件平差的基本向量L、W、K、V、都可以表達(dá)成隨機(jī)向量L的函數(shù)，下面計(jì)算它們的自協(xié)因數(shù)陣和兩兩之間互協(xié)因數(shù)陣。為了方便，在推導(dǎo)協(xié)因數(shù)陣時(shí)，將法方程系數(shù)Naa簡(jiǎn)寫為N。將向量L、W、K、V、組成列向量，并以Z表示，即2.3.2協(xié)因數(shù)陣(2-32)可以寫出Z的協(xié)因數(shù)陣為按協(xié)因數(shù)傳播律，得Z的協(xié)因數(shù)陣為2.3.2協(xié)因數(shù)陣(2-33)由式(2-33)可見(jiàn)，平差值與閉合差W、聯(lián)系數(shù)K、改正數(shù)V是不相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量，又由于它們都是服從正態(tài)分布的向量，所以與W、K、V也是相互獨(dú)立的向量。為了查詢方便，將以上基本向量的協(xié)因數(shù)陣、互協(xié)因數(shù)陣列于表2-1中。2.3.3平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)與中誤差在條件平差中，平差計(jì)算后首先得到的是各個(gè)觀測(cè)量的平差值。例如，水準(zhǔn)網(wǎng)中高差觀測(cè)值的平差值，測(cè)角網(wǎng)中觀測(cè)角度的平差值，導(dǎo)線網(wǎng)中角度觀測(cè)值和各導(dǎo)線邊長(zhǎng)觀測(cè)值的平差值等。而測(cè)量的目的，往往是要得到待定水準(zhǔn)點(diǎn)的高程值、待定點(diǎn)的坐標(biāo)值、三角網(wǎng)中的邊長(zhǎng)值及方位角值等，并且評(píng)定其精度。這些值都可以表達(dá)為觀測(cè)值平差值的函數(shù)。設(shè)有平差值函數(shù)(2-34)對(duì)式(2-34)全微分得令2.3.3平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)與中誤差平差值函數(shù)的權(quán)函數(shù)式為(2-35)由協(xié)因數(shù)傳播律得(2-36)將代入上式得即 (2-37)式(2-37)即為平差值函數(shù)式(2-34)的協(xié)因數(shù)表達(dá)式。則平差值函數(shù)的方差為 (2-38)2.4條件平差算例2.4.1高程網(wǎng)條件平差算例例2-3水準(zhǔn)網(wǎng)如圖2-15所示，已知HA=8.608，HD=9.740，等精度獨(dú)立觀測(cè)高差為：h1=2.359，h2=3.280，h3=1.226，h4=2.156，h5=0.928，高程和高差單位為m。試按條件平差法求：(1)待定點(diǎn)B、C的高程平差值。(2)各段高差平差值的中誤差。(3)待定點(diǎn)B、C平差高程的中誤差。2.4.1高程網(wǎng)條件平差算例解(1)因各段高差等精度，則。，，r=n-t=3，故可列出3個(gè)獨(dú)立的條件方程。平差值條件方程為改正數(shù)條件方程式為2.4.1高程網(wǎng)條件平差算例代入具體數(shù)值，各路線閉合差以mm單位表示，有寫成矩陣形式，其中法方程系數(shù)矩陣為2.4.1高程網(wǎng)條件平差算例其逆陣為聯(lián)系數(shù)向量為2.4.1高程網(wǎng)條件平差算例觀測(cè)值的改正數(shù)為(mm)觀測(cè)值的平差值為待定點(diǎn)的平差高程為(m)(m)2.4.1高程網(wǎng)條件平差算例(2)精度評(píng)定。單位權(quán)中誤差為(mm)觀測(cè)值的平差值的協(xié)因數(shù)陣為，由于觀測(cè)值獨(dú)立同精度，可得因故2.4.1高程網(wǎng)條件平差算例①平差高差的中誤差。因?yàn)椋傻?mm)(mm)②平差高程的中誤差。B點(diǎn)平差高程的函數(shù)式2.4.1高程網(wǎng)條件平差算例權(quán)函數(shù)式為由誤差傳播律，得(mm)同理，C點(diǎn)平差高程中誤差可求得為±2.1mm。2.4.2測(cè)角網(wǎng)條件平差算例例2-4如圖2-16所示測(cè)角網(wǎng)，A、B為兩個(gè)已知點(diǎn)，C、D為待定點(diǎn)，同精度觀測(cè)了6個(gè)內(nèi)角，已知點(diǎn)坐標(biāo)和觀測(cè)角度見(jiàn)表2-2。按條件平差法，求：(1)C、D兩點(diǎn)的平差坐標(biāo)；(2)平差后CD邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差。2.4.2測(cè)角網(wǎng)條件平差算例解n=6，t=2×2=4，r=n-t=2，可列出兩個(gè)獨(dú)立的條件方程。下面計(jì)算中，角度改正數(shù)以"為單位，坐標(biāo)以m為單位。根據(jù)題意，觀測(cè)值的權(quán)陣條件平差值方程為2.4.2測(cè)角網(wǎng)條件平差算例則條件方程為代入數(shù)值，得條件方程的矩陣形式為其中，(″)組成法方程2.4.2測(cè)角網(wǎng)條件平差算例因則角度改正數(shù)(″)計(jì)算角度平差值，得2.4.2測(cè)角網(wǎng)條件平差算例(1)C、D兩點(diǎn)的平差坐標(biāo)。根據(jù)前方交會(huì)公式，在△BAC中：，代入具體數(shù)值得C點(diǎn)的平差坐標(biāo)m，m在△BCD中：，代入具體數(shù)值得D點(diǎn)的平差坐標(biāo)為m，m檢核：可以在△BCD中，由C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入前方交會(huì)公式，計(jì)算出的B點(diǎn)坐標(biāo)與B點(diǎn)已知坐標(biāo)相同。2.4.2測(cè)角網(wǎng)條件平差算例(2)精度評(píng)定。單位權(quán)中誤差(″)觀測(cè)值的平差值的協(xié)因數(shù)陣角度平差值的中誤差(″)2.4.2測(cè)角網(wǎng)條件平差算例下面求CD邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差。由圖2-16可知其函數(shù)式為全微分有令,代入角度平差值得2.4.2測(cè)角網(wǎng)條件平差算例(″)因?yàn)閯tCD邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差為2.4.3測(cè)邊網(wǎng)條件平差算例例2-5如圖2-17所示測(cè)邊網(wǎng)中，有兩個(gè)已知點(diǎn)A、B，兩個(gè)待定點(diǎn)C、D和5個(gè)邊長(zhǎng)觀測(cè)值。A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)、邊長(zhǎng)觀測(cè)值見(jiàn)表2-3。試按條件平差法計(jì)算：(1)各待定點(diǎn)坐標(biāo)平差值；(2)C點(diǎn)至D點(diǎn)間邊長(zhǎng)平差值的中誤差和邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差。2.4.3測(cè)邊網(wǎng)條件平差算例解n=5，t=4，r=1，可以列出1個(gè)獨(dú)立的條件方程。令：觀測(cè)值向量L=[SACSADSBCSBDSCD]T，(1)計(jì)算待定點(diǎn)C、D的近似坐標(biāo)。C點(diǎn)近似坐標(biāo)計(jì)算：在△BAC中(圖2-18)，由邊長(zhǎng)交會(huì)得2.4.3測(cè)邊網(wǎng)條件平差算例D點(diǎn)近似坐標(biāo)計(jì)算：在△BAD中(圖2-19)，由邊長(zhǎng)交會(huì)得2.4.3測(cè)邊網(wǎng)條件平差算例(2)由觀測(cè)邊長(zhǎng)計(jì)算大地四邊形各個(gè)內(nèi)角(余弦定理)。在圖2-1