講座能量泄漏以及窗函數(shù)

講座能量泄漏以及窗函數(shù)第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月可以看出100Hz波形與采樣點正弦曲線吻合，而另外兩個頻率的曲線誤差較大，而真正采樣后的曲線是三個虛線的疊加，于是高頻信號的采樣值就構(gòu)成虛假的低頻信號附加到原低頻的采樣值上，從而產(chǎn)生頻率混淆現(xiàn)象。第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月

為避免混疊，就要將連續(xù)信號的頻譜進行截斷，設(shè)其截斷頻率為。即使，

所選截斷頻率應(yīng)是欲分析的最高頻率fmax。

當然其頻譜圖中頻率的最大值應(yīng)大于fc即這樣進行采樣就無頻率混疊（淆），這就是所謂的采樣定理（Shannon定理）。即要達到頻率不混疊，只需采樣頻率大于等于2倍的最高頻率，也即只需一個周期中采兩個或兩個以上的點即可沒有頻率混疊，從而得到準確的頻譜。第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月△t——采樣時間間隔；fs——采樣頻率(fs=1/△t)；N——總的采樣點數(shù)；T——總采樣時間，T＝N×△t；Fmax——信號中的最高頻率。有以下關(guān)系因此基于采樣定理，有該式建立起了最短采樣時間、最大采樣間隔、采樣點數(shù)及分析頻率之間的關(guān)系。先有儀器，往往N固定為1024.第4頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月譜窗、泄漏以及平滑一、有限數(shù)據(jù)的傅立葉變換在工程實際中，實際獲得的信號長度是有限的，該有限長度的信號可被認為是無限長信號乘以單位矩形函數(shù)獲得的：根據(jù)傅立葉變換的卷積定理（兩函數(shù)乘積的傅立葉變換等于其傅里葉變換的卷積）：第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)某信號為一無限長余弦信號，以此為例進行泄漏分析。其傅立葉變換為單位矩形函數(shù)——矩形窗函數(shù)b(t)的表達式為其傅立葉變換為第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月這樣我們?nèi)-τ，+τ]內(nèi)的有限長余弦信號就相當于使用上述的矩形窗函數(shù)與無限長余弦函數(shù)相乘，于是該有限長余弦信號的傅里葉變換為：得到的圖形見右?？梢姡漕l譜不是兩條譜線了，而是發(fā)生了畸變，原來集中在f0處的能量被分散到較寬的頻帶上了，這種現(xiàn)象叫做泄漏。若僅僅從頻譜上分析信號的頻率組成，必然導(dǎo)致誤差。出現(xiàn)泄漏的原因是，窗函數(shù)的頻譜是連續(xù)譜，且包含一個主瓣和無數(shù)旁瓣，這樣進行卷積時導(dǎo)致主瓣的能量被轉(zhuǎn)移到旁瓣中去了。第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月二、譜窗以及泄漏譜窗從有限長度樣本得到的譜密度原始估計值(區(qū)別于后述的經(jīng)平滑處理的估計值)用下式計算式中——相關(guān)函數(shù)的最大時移。上式是用有限區(qū)間的積分來估計由式所定義的真實譜密度?？梢园芽闯墒窃赱-，]區(qū)間截斷的結(jié)果。這種截斷必然導(dǎo)致誤差的產(chǎn)生，是譜處理時必須考慮的一個問題。第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月U(τ)為矩形函數(shù)當然其傅立葉變換為根據(jù)傅氏變換的卷積定理，有可寫成第9頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月把矩形函數(shù)稱為窗函數(shù)，它在時域上的稱為矩形時移窗（時域窗）。在頻域上稱為矩形譜窗。時移窗和譜窗互為傅氏變換。泄漏的概念譜密度處理時，矩形窗函數(shù)的存在，使相對于產(chǎn)生畸變。例如，設(shè)正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)為第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月則功率譜密度函數(shù)為：即頻率是f0的正弦波的雙邊功率譜是在頻率處±f0的兩個脈沖函數(shù)。如果以單邊功率譜表示，有第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月再看經(jīng)過截斷后有限數(shù)據(jù)的功率譜密度函數(shù)

一般f0×τm＞＞1，因此相應(yīng)的單邊譜為第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月f＝f0時有其最大值，為它們的圖形為可以看出原采集中于一個頻率的功率，由于副瓣的存在，能量被分散到一個較寬的頻率范圍上，這種功率分散的效應(yīng)稱為泄漏。泄漏效應(yīng)的產(chǎn)生，降低了譜估計的精度。第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月

上述特例可以推廣至任意類型的函數(shù)。圖是某一任意函數(shù)譜估計時泄漏效應(yīng)的影響示意圖。由圖看到，原來比較光滑的功率譜密度函數(shù)曲線，經(jīng)用譜窗卷積之后，得到的是一條具有“皺波”的非光滑曲線。皺波或者偏離的形成，完全是因為譜窗函數(shù)在主瓣兩側(cè)出現(xiàn)正負相間的副瓣所致。因此為了減小統(tǒng)計誤差，必須抑制泄漏。同時可以看出，泄漏的程度取決于副瓣或者旁瓣的大小。第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月三、抑制泄漏的措施

泄漏的程度取決于譜窗副瓣的大小。較小的副瓣，得到的曲線具有較小的皺波。因此，為了抑制泄漏，應(yīng)選擇副瓣較小的譜窗函數(shù)。工程上，提出了多種形式的譜窗，常用的有哈寧(Hanning)窗和海明(Hamming)窗。1、哈寧窗哈寧時移窗的函數(shù)式為其譜窗為：第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月從上式可看到，哈寧譜窗是由一個壓低1/2的矩形譜窗和兩個各左右位移1/(2τm)、峰高為1/4的矩形譜窗譜窗迭加而成,見圖，圖中虛線是三個變異矩形譜窗。分析可知，矩形譜窗的主瓣高為2τm

，寬為1/τm，第一副瓣的約為主瓣高的20％；而D(f)譜窗的主瓣高為τm，寬為2/τm

，第一副瓣高約為主瓣高的2.4％。哈寧窗副瓣有明顯的降低，達到了抑制泄漏的目的。但是它的主瓣寬卻加大了一倍。即，減少泄漏是以展寬主瓣為代價。主瓣的展寬意味著帶寬擴展，從而使功率譜圖形的分辨能力降低。因此，功率譜處理時，往往需要在提高分辨力和減少泄漏兩者之間作折衷考慮。第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月2.海明窗海明時移窗的函數(shù)式為相應(yīng)的海明譜窗為可見Hanning、Hamming譜窗結(jié)構(gòu)一樣，只是系數(shù)作了調(diào)整，以進一步抑制泄漏，壓低副瓣高。其，但主瓣高約為1.08τm，第一副瓣高接近于零。因此，減少泄漏的效果更好一些。第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月必須指出，盡管泄漏效應(yīng)使得功率譜密度函數(shù)不準確，但沒有使隨機過程的總功率有任何損失。例如前述的正弦函數(shù)：無泄漏時，功率為：有泄漏時，功率為：可見，隨機過程的功率并無損失。第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月3、平滑處理

前述抑制泄漏的措施，是通過對原始數(shù)據(jù)選用適當?shù)拇昂瘮?shù)達到，反映在頻域上的效果是使功率譜密度函數(shù)的皺波減小。實際上這一效果也可以從另一角度達到：用矩形時移窗得到功率譜密度函數(shù)，然后對其進行光滑，稱之為平滑處理。平滑的結(jié)果得到一條較為光滑的曲線，從而減少了譜處理的統(tǒng)計誤差。第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月右圖是平滑處理示意圖，圖中實線是，虛線是。平滑處理時，對于第k點的值，參考前后兩點，即第k－1點和第k－1點的值、，以圓滑過渡為目標進行修正，稱修正后的估計值為平滑估計值，記為，以區(qū)別于未經(jīng)平滑的原始估計值。平滑處理時，用下式計算（設(shè)k的最小、大值為0、m）利用矩形窗得到的功率譜密度第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月在k＝0、m處，取

上式是平滑處理中常用公式，但不是唯一的?？梢宰C明，利用上述的平滑處理抑制泄漏與與采用Hanning窗的效果完全相同。

數(shù)據(jù)處理時，是對原始數(shù)據(jù)進行抑制泄漏處理，還是在頻域上作平滑處理，可視數(shù)據(jù)處理的方便性進行決定。第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月功率譜密度函數(shù)的計算1、信號傅里葉變換及余弦坡度窗函數(shù)設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機過程{x(t)}的一個樣本，則式中：x‘(t)——假想的平穩(wěn)隨機過程{x(t)}的一個無限長樣本，在[-T/2，T/2]內(nèi)與x(t)相同；

X’(f)——x‘(t)的傅立葉變換；

u(t)——矩形時移窗；

U(f)——u(t)的傅立葉變換。第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月實際處理中為抑制泄漏，采用Hanning/Hamming窗函數(shù)，這需要對信號的每一點進行改造，但若信號很長，則費時間。因而有時使用1/10余弦坡化數(shù)字窗代之：采用此窗只需對20％的原始數(shù)據(jù)進行處理。第23頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月2、比例因子的概念及確定

在利用信號的傅里葉變換計算功率譜密度時，由于窗函數(shù)的引入，使得信號的形狀發(fā)生改變，矩形窗除外。如圖所示。這樣就導(dǎo)致加窗前后的信號總功率發(fā)生改變。因此若要保持原信號的總功率不變，必須對加窗后信號的計算結(jié)果進行修正——乘以一個因子。若原始數(shù)據(jù)的總功率為信號乘以窗函數(shù)后的總功率為第24頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月這兩個值是不等的，要使兩者相等，引入?yún)?shù)K，于是：K值為比例因子，可以計算得出：矩形窗1Hanning2.67hamming2.52余弦坡度窗1.43第25頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月3、獲得自功率譜密度函數(shù)的一般過程①