n階行列式課件

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四點補(bǔ)充說明，期中測試，一般在第11周周四下午舉行，屆時會提前兩周通知大家。

往年期中比例5-10%?？记?作業(yè)=30%-35%尤為關(guān)注數(shù)學(xué)成績。本科四年所學(xué)的數(shù)學(xué)課程有哪些？成績?nèi)绾?？是否得到?shù)學(xué)方面的獎勵？比如美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽等獎項。答疑時間：，建議提前聯(lián)系。2

六點補(bǔ)充說明每章結(jié)束會有課題組統(tǒng)一發(fā)放的自測題，對自己學(xué)的知識進(jìn)行查漏補(bǔ)缺。（一般要求）此外，還有補(bǔ)充試題。（綜合提高）5.大三、大四同學(xué)要警惕：6.訓(xùn)練思維：解決、推理、歸納問題的能力等

3第一章行列式§1.1n階行列式§1.2行列式的性質(zhì)§1.3行列式的展開§1.4克萊姆法則4§1.1n階行列式主要內(nèi)容：1二、三階行列式排列及其逆序數(shù)

對換與奇偶性4

n階行列式1、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組由消元法，得當(dāng)時，該方程組有唯一解求解公式為二元線性方程組

請觀察，此公式有何特點？分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定.分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再相減而得.其求解公式為二元線性方程組我們引進(jìn)新的符號來表示“四個數(shù)分成兩對相乘再相減”.記號數(shù)表稱為二階行列式。其數(shù)學(xué)意義為：其中，稱為元素.i為行標(biāo)，表明元素位于第i行；j為列標(biāo)，表明元素位于第j

列.原則：橫行豎列8主對角線副對角線對角線法則1二階行列式的計算二元線性方程組若令(方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為例1求解二元線性方程組解因為所以11三階行列式的計算-對角線法則【規(guī)律】1.

紅線上三元素的乘積為正號，藍(lán)線上乘積為負(fù)號．2.三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負(fù).12

如果三元線性方程組的系數(shù)行列式

利用三階行列式求解三元線性方程組13則三元線性方程組的解為記注:證明將在第二章中給出.例2

計算行列式解按對角線法則，有15定義1由自然數(shù)1,2…n組成一個有序數(shù)組

稱為一個n級排列例題1由自然數(shù)1,2,3可組成一個三級排列

123；132；213；231；312；321規(guī)律：一般n級排列的總數(shù)為n！個2排列及逆序數(shù)16定義2在排列中，如果一對數(shù)的位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么就稱它為一個逆序；一個排列中逆序的總數(shù)稱為它的逆序數(shù)。記為例2在一個五級排列45213中，構(gòu)成逆序的數(shù)對42,41,43,52,51,53,21=717定義3逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性【注】

逆序數(shù)為0的排列稱作偶排列,如

.3對換定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這樣的變換叫做對換．將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換．例如注相鄰對換是對換的特殊情形.一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現(xiàn).如果連續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了.m次相鄰對換

m+1次相鄰對換

m次相鄰對換

m+1次相鄰對換

如：20定理1

任意一個排列經(jīng)過一次對換后，改變奇偶性．證明1°相鄰兩個數(shù)對換除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.對換與排列奇偶性的關(guān)系（，）因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性.當(dāng)a<b時（a,b）變（b,a）逆序數(shù)對增加1當(dāng)a>b時（a,b）變（b,a）逆序數(shù)對減少1注：對換偶（奇）數(shù)次，排列的奇偶性不（改）變21次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換結(jié)合（1）可知一個排列中的任意兩個數(shù)對換，排列改變奇偶性.2°不相鄰兩個數(shù)對換b左移m次a右移m+1次22考慮在數(shù)1,2,3的全部3級排列中有3個偶排列：123,231,312有3個奇排列：132,213,321對3個偶排列中前兩個元素施以相鄰對換，得到3個奇排列：213,321,132對3個奇排列中前兩個元素施以相鄰對換，得到3個偶排列：312,123,23123（轉(zhuǎn)化）證明

設(shè)這n!個n級排列中共有s個奇排列,t個偶排列，現(xiàn)證s=t.故必有奇排列偶排列所以前兩個數(shù)對換ｓ個ｓ個偶排列奇排列所以前兩個數(shù)對換ｔ個ｔ個推論1n個元素(n＞１)共有n!個n級排列,其中奇、偶排列各占一半,即各有個.24補(bǔ)充：

有時需要將一個n級排列經(jīng)過若干次對換變成自然序排列12…n,是否有規(guī)律可循？34521（3,1）14523（4,2）12543（5,3）12345將5級排列34521變成12345共作了3次對換，逆序數(shù)與對換次數(shù)的奇偶性相同。上述結(jié)論對n級排列也適用。25任一n級排列設(shè)n級排列可經(jīng)上述方法對換變成1,2,…n經(jīng)過t次對換變成1,2，…n顯然1,2…n為偶排列，因此如果是奇（偶）排列，則t必為奇（偶）數(shù)則1,2，…n經(jīng)過t次對換變成26定理2：任一n級排列經(jīng)過一系列對換互變，即與排列1,2,…n可以且所做的對換次數(shù)t與的奇偶性相同1,2…nt次對換t次對換27分析三階行列式結(jié)果歸納每項內(nèi)容及符號的規(guī)律三階行列式共有6項，即項．（1）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．（2）符號：

當(dāng)行標(biāo)按1，2，3排列時，每項都可寫成每項符號決定于列標(biāo)排列的逆序數(shù)，即其中為列標(biāo)全排列.奇排列為正，偶排列為負(fù)4、n階行列式28綜上，三階行列式

為對列標(biāo)所有全排列求和.求和個數(shù)為全排列的個數(shù)29n階行列式的定義定義

n階行列式是所有取自不同行、不同列的n個數(shù)的乘積的代數(shù)和，即30說明2、階行列式是項的代數(shù)和;3、階行列式的每項都是位于不同行、不同列個元素的乘積;5、一階行列式不要與絕對值記號相混淆;4、的符號為1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的，可簡記為;31例所表示的代數(shù)和共有120項.乘積是其中的某一項

不是其中的一項.32例6計算對角行列式展開式中項的一般形式是從而這個項為零，所以只能等于,同理可得解即行列式中不為零的項為33展開式中項的一般形式是所以不為零的項只有解例7

計算上三角行列式34例835同理可得下三角行列式36例9

證明對角行列式37證明第一式是顯然的,下面證第二式.若記則依行列式定義回憶：等差數(shù)列前n項和公式，這里是n-1n-2n-3…1之和

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在n階行列式的定義中，我們把每一項n個元素乘積按照行標(biāo)成自然序排列。乘法有交換律，如果按照列標(biāo)，這時的符號有什么特征呢？如：三階行列式按行自然排序的項按照列自然排序的項：猜想：n階行列式一般項可以寫成39設(shè)

t次對換兩元素的位置行標(biāo)和列標(biāo)都同步完成了t次對換行標(biāo)排列12…nt次對換由定理2可知：列標(biāo)t次對換12…n由定理2可知：因此，40

定理3n階行列式的一般式可以寫為：

推論241確定行列式中各項的符號定理（由看雙坐標(biāo)向單坐標(biāo)轉(zhuǎn)化）定理4n階行列式

的一般項可以寫成其中為行標(biāo)的n級排列；

為列標(biāo)的n級排列.

證明:為了根據(jù)定義確定的符號,就是要把這n個元素重新排列一下使得它們的行標(biāo)成自然序排列,也就是排成

（1）于是它的符號是

42由變到可以經(jīng)過一系列元素的對換來實現(xiàn).每做一次對換,元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列與

同時做一次對換，也就是與同時改變奇偶性,因而它們的和的奇偶性不改變.因此在一系列對換之后有證畢43例10

用行列式的定義計算解44作業(yè)：P29

1(7),2(2),3(4),4(3),5,6,7(1)(4)45思考題1所以的系數(shù)為解含的項有兩項,即對應(yīng)于已知求的系數(shù).46寫在最后成功的