上海市北蔡中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

上海市北蔡中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖所示，已知等腰直角中，，斜邊，點(diǎn)D是斜邊上一點(diǎn)（不同于點(diǎn)A、B），沿線段折起形成一個(gè)三棱錐，則三棱錐體積的最大值是（

）

A.1

B.

C.

D.參考答案：D2.要得到一個(gè)奇函數(shù)，只需將的圖象(

)A、向右平移個(gè)單位

B、向左平移個(gè)單位C、向右平移個(gè)單位

D、向左平移個(gè)單位參考答案：B略3.復(fù)數(shù)表示純虛數(shù)的條件為

（

）A.或2

B.

C.

D.或1參考答案：C4.已知，若是的最小值，則的取值范圍為A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：由于當(dāng)時(shí)，在時(shí)得最小值；由題意當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)最小值為，故，解得，由于，因此；若，則條件不成立，故的取值范圍為，故答案為D．考點(diǎn)：1、分段函數(shù)的應(yīng)用；2、函數(shù)的最值．5.已知，，，則（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由∈（0，1），b＝lnln2＜0，，即可得出大小關(guān)系．【詳解】∈（0，1），b＝lnln2＜0，∴b＜a＜c．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及其指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.若向量滿足，則在方向上投影的最大值是（）A．

B．

C.

D．參考答案：B由題意，所以，設(shè)的夾角為，則，所以，所以在方向上投影為，因?yàn)?，所以，故選B.

7.已知不等式≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)、恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值是A．2

B．4

C．6

D．8參考答案：B略8.設(shè)為向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C略9.（文科）已知函數(shù)則的最小值為

（

）

A．

B．

C．1

D．2參考答案：C略10.在下列函數(shù)中：①，②，③，④，其中偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是(

)

（A）0

(B)1

(C)2

(D)3參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則將的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為________.參考答案：【分析】由圖可得，可得的值，由，可得得值，可得的解析式，利用的圖像變換可得答案.【詳解】解：由圖可得，，又，，又，，可得的解析式為，可得的圖象向右平移個(gè)單位后的解析式為故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查的部分圖像確定函數(shù)解析式，考查函數(shù)的圖像變化，考查識(shí)圖與運(yùn)算能力，屬于中檔題.12.在二項(xiàng)式的展開式中，若含項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)=_____________.參考答案：13.已知某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為,表面積為.

參考答案：，30+6.本題主要考查三視圖、空間幾何體體積和表面積的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查考生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.解決本題的思路是根據(jù)三視圖還原出幾何體,然后根據(jù)幾何體的形狀計(jì)算出體積和表面積. 根據(jù)三視圖,知可以借助長方體得到如圖所示的三棱錐P-ABC, 過點(diǎn)P作PH⊥AB,垂足為H,連接CH,則三棱錐的體積V=×S△ABC×PH=×10×4=,S△PAB= ×5×4=10,S△ABC=S△PBC=×5×4=10,S△PAC=×2×6=6,所以三棱錐的表面積為30+6.14.如果實(shí)數(shù)x，y滿足條則z=的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用分式的性質(zhì)，結(jié)合直線斜率的幾何意義進(jìn)行求解即可．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，z==2﹣，設(shè)k=，則z=1﹣k，k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，要求z=1﹣k的最大值，則求k的最小值，由圖象知OC的斜率最小，由得，即C（，1），則k==，則z=2﹣=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．15.函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是_________參考答案：16.某小賣部為了了解熱茶銷售量y（杯）與氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天賣出的熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫（℃）181310﹣1杯

數(shù)24343864由表中數(shù)據(jù)算得線性回歸方程中的b≈﹣2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為﹣5℃時(shí)，熱茶銷售量為杯．參考答案：70【考點(diǎn)】回歸分析的初步應(yīng)用．【分析】先計(jì)算樣本中心點(diǎn)，再求出線性回歸方程，進(jìn)而利用方程進(jìn)行預(yù)測(cè)．【解答】解：由題意，==10，==40將b≈﹣2及（10，40）代入線性回歸方程，可得a=60∴x=﹣5時(shí)，y=﹣2×（﹣5）+60=70故答案為：7017.若變量x，y滿足約束條件，且z=2x+y的最小值為﹣6，則k=．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即先確定z的最優(yōu)解，然后確定k的值即可．【解答】解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，（陰影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=﹣2x+z的截距最小，此時(shí)z最?。繕?biāo)函數(shù)為2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵點(diǎn)A也在直線y=k上，∴k=﹣2，故答案為：﹣2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品在過去50天的銷售量和價(jià)格均為銷售時(shí)間t(天)的函數(shù)，且銷售量近似地滿足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天價(jià)格為g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天價(jià)格為g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．(1)寫出該種商品的日銷售額S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系；(2)求日銷售額S的最大值．參考答案：略19.定義：在平面內(nèi)，點(diǎn)P到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)P到曲線的距離.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓M：及點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到圓M的距離與到A點(diǎn)的距離相等，記P點(diǎn)的軌跡為曲線為W.（Ⅰ）求曲線W的方程；

（Ⅱ）過原點(diǎn)的直線（不與坐標(biāo)軸重合）與曲線W交于不同的兩點(diǎn)C，D，點(diǎn)E在曲線W上，且，直線DE與軸交于點(diǎn)F，設(shè)直線DE，CF的斜率分別為，，求.參考答案：分析：（Ⅰ）由點(diǎn)到曲線的距離的定義可知，到圓的距離，所以，所以有，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，從而可求出橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)，，則，則直線的斜率為，由可得直線的斜率是，記，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理用，表示與即可得到結(jié)論.解：（Ⅰ）由分析知：點(diǎn)在圓內(nèi)且不為圓心，故，所以點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為（），則，所以，故曲線的方程為.（Ⅱ）設(shè)（），，則，則直線的斜率為，又，所以直線的斜率是，記，設(shè)置的方程為，由題意知，，由得.∴，∴，由題意知，，所以，∴直線的方程為，令，得，即.可得.所以，即.

20.（本小題共13分）已知是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，第項(xiàng)之后各項(xiàng)的最小值記為，。（Ⅰ）若為，是一個(gè)周期為的數(shù)列，（即對(duì)任意，），寫出，，，的值；（Ⅱ）設(shè)是非負(fù)整數(shù)，證明：的充分必要條件為是公差為的等差數(shù)列。（Ⅲ）證明：若，，則的項(xiàng)只能是或者，且有無窮多項(xiàng)為。參考答案：21.研究機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生往返校時(shí)間的統(tǒng)計(jì)資料表明：該校學(xué)生居住地到學(xué)校的距離x（單位：千米）和學(xué)生花費(fèi)在上學(xué)路上的時(shí)間y（單位：分鐘）有如下的統(tǒng)計(jì)資料：到學(xué)校的距離x（千米）1.8263.14.35.56.1花費(fèi)的時(shí)間y（分鐘）17.819.627531.336.043.2

如果統(tǒng)計(jì)資料表明y與x有線性相關(guān)關(guān)系，試求：（1）判斷y與x是否有很強(qiáng)的線性相關(guān)性？（相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，精確到0.01）（2）求線性回歸方程（精確到0.01）；（3）將分鐘的時(shí)間數(shù)據(jù)稱為美麗數(shù)據(jù)，現(xiàn)從這6個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，求抽取的2個(gè)數(shù)據(jù)全部為美麗數(shù)據(jù)的概率.參考數(shù)據(jù)：，，，，，參考公式：，參考答案：（1）與有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；（2）；（3）【分析】（1）通過計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)可得答案；（2）根據(jù)題意寫出統(tǒng)計(jì)表，用統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)求出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)、，寫出線性回歸方程；（3）根據(jù)（2）中求出的線性回歸方程，求出符合要求的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，再列出全部情況，由古典概型的公式，求出所求概率.【詳解】（1）∴與有很強(qiáng)的線性相關(guān)性（2）依題意得，，所以又因?yàn)楣示€性回歸方程為（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以滿足分鐘的美麗數(shù)據(jù)共有3個(gè)，設(shè)3個(gè)美麗數(shù)據(jù)為、、，另3個(gè)不是美麗數(shù)據(jù)為、、，則從6個(gè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)共有15種情況，即，，，，，，，，，，，，，，，其中，抽取到的數(shù)據(jù)全部為美麗數(shù)據(jù)的有3種情況，即，，.所以從這6個(gè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，抽取的2個(gè)數(shù)據(jù)全部