深入探索正交投影變換

深入探索正交投影變換之前我們在《深入探索透視投影變換》以及《深入探索透視投影變換（續(xù)）》中研究了OpenGL、D3D以及M3G的透視投影變換的原理以及生成方法。這些方法在當前的主流圖形API中得到了普遍使用。但關于投影應用，還有一類經(jīng)常使用的投影方式需要我們深入理解——正交投影，我們在本篇文章里面研究它（這里假設讀者已經(jīng)看過前兩篇文章，并理解了絕大多數(shù)的理論，因為正交投影比透視投影的推導關系簡單得多，因此我們的推導會非常得快，如果讀者有任何的不解，請參考前兩篇文章或者通過email聯(lián)系我）。

在具體研究之前我覺得有必要把平面投影的分類簡單介紹一下，目的是為了讓大家有一個總體的認識，從而更好的理解這個知識體系。請看下圖：

平面投影分為平行投影和透視投影兩種類型，后者我們在前兩篇文章中介紹了。平行投影則是具有矩形觀察體的投影方式（透視投影則是視錐觀察體），它不會根據(jù)物體離視點的遠近縮放物體（透視投影則會）。平行投影可以分成側投影和正交投影兩種類型。這兩種類型如何區(qū)分呢？我們繼續(xù)看圖吧：

上圖中，v是投影平面，n是它的法線。p和q是平面外兩點，p’和q’分別是它們在平面上的投影點。q的投影方向向量為Q=單位化（q’-q），而p的投影方向向量為P=單位化（p’-p），其中Q不平行于n而P平行于n，則q的投影叫做側投影，而p的投影叫做正交投影。正交投影是我們今天的研究對象。

實際上上面對平面投影的分類還可以繼續(xù)向下細分，比如透視投影可以分為一滅點、二滅點以及三滅點透視投影。側投影則可以繼續(xù)分為散點側投、斜二軸側投等等。而正交投影則可以分成軸側投影以及多視點正交投影等等。如果讀者對此感興趣，可以參考相關的圖形學教程。

接下來我們研究正交投影。分別介紹OpenGL、D3D以及M3G的。我們的環(huán)境約定（左右手坐標系、行列向量乘法、CVV范圍）仍然尊重相應API自己的設置。

OpenGL正交投影變換下圖是OpenGL的右手坐標系中觀察空間的情形，我們看到的是正交投影的矩形觀察體，原點是相機位置，n是近裁剪平面到相機平面的距離，f是遠裁剪平面到相機平面的距離。p是觀察體中的一個點，p’是它投影之后的點。

投影之后我們有關系：

因為是正交投影，沒有統(tǒng)一的投影射線目標點，因此投影之后的x和y不會變，而z則永遠地變成了-n，跑到了投影平面上（我們讓投影平面和近裁剪平面重合），它已經(jīng)沒用了，則我們用這個沒用的信息保存z（為了之后片元操作的時候用），寫為：反推正交投影矩陣版本一

對x和y進行CVV線性插值

分兩種情況討論（如果讀者對此不清楚，請參考第二篇文章《深入探索透視投影變換（續(xù)）》）：

（1）投影平面居中，銷掉兩邊的1/2，然后反推正交投影矩陣

后面那個矩陣就是相應正交投影矩陣，這個也是D3DXMatrixOrthoLH方法所使用的情況。

（2）一般情況，投影平面不一定居中，直接通過投影結果反推正交投影矩陣

后面那個矩陣就是相應的正交投影矩陣，這個也是D3DXMatrixOrthoOffCenterLH方法所使用的情況。好了，D3D的也介紹完畢，接下來是M3G的。

M3G正交投影變換M3G是對OpenGL的封裝，因此環(huán)境和OpenGL的相同，我們從對x和y的插值來看

M3G只使用居中的投影平面，因此可以銷掉兩邊的1/2，得到

接著反推出正交投影矩陣

最后那個矩陣就是M3G的正交投影矩陣，也就是Camera.setParallel所使用的形式。

結束語以上介紹了三個API所使用的正交投影矩陣的生成方法，三者的正交投影矩陣依然可以通過視野（FOV）以及投影平面的寬高比（AspectRatio）來設置，這里請讀者自行推導，可以參考第二篇文章《深入探索透視投影變換（續(xù)）》。

正交投影矩陣和透視投影矩陣一樣可以有無窮多個，但原理相同，不同的只是環(huán)境。目前