2.2+基本不等式+教學(xué)設(shè)計-2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第-7-《2.2基本不等式》單元-課時教學(xué)設(shè)計一.內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容（1）本節(jié)的知識結(jié)構(gòu)框圖（梅州教研活動作者放“2（3）內(nèi)容地位與作用”）基本不等式基本不等式證明含義應(yīng)用概念幾何解釋數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用（2）本節(jié)的知識內(nèi)容：基本不等式的含義（概念、證明、幾何解釋）及其應(yīng)用。2.內(nèi)容解析（1）內(nèi)容的本質(zhì)“基本不等式”是求最值的常用方法之一，是兩個量（正數(shù)）的“算術(shù)平均數(shù)”與“幾何平均數(shù)”之間的大小關(guān)系，也可稱為“均值不等式”（其實(shí)，可以推廣到多個量）?！盎静坏仁健斌w現(xiàn)“加法”與“乘法”兩種運(yùn)算之間的一種區(qū)別?！盎静坏仁健痹趲缀我饬x上，是“直徑為最長弦長”。（2）蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法：①在基本不等式的證明和運(yùn)用基本不等式時的轉(zhuǎn)化思想；②在基本不等式的幾何解釋時的數(shù)形結(jié)合思想；②在解決實(shí)際問題中的建模思想。（3）知識的上下位“基本不等式”是前面學(xué)習(xí)完不等式性質(zhì)之后的第一個具體且重要的不等式（定理），在此章與“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”有著并列的地位，屬于預(yù)備知識，為后面研究函數(shù)做好必要知識的鋪墊。（4）育人價值本節(jié)教科書充分關(guān)注了與實(shí)際問題的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的價值。例如，教科書從“北京舉辦的24屆國際數(shù)學(xué)大會”“籬笆圍菜園”“建造長方體形無蓋貯水池”等實(shí)際生活中的問題，有利用學(xué)生更好地感受“數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)于生活”，促進(jìn)學(xué)生關(guān)心生活、關(guān)注社會，增強(qiáng)社會責(zé)任意識，所以在教學(xué)中，我們結(jié)合具體的實(shí)際問題滲透數(shù)學(xué)思想方法和彰顯人文價值。①通過基本不等式的幾何解析，可以培養(yǎng)學(xué)生“直觀想象”的素養(yǎng)，并從中感受“數(shù)形一致”的數(shù)學(xué)魅力。②通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明活動，發(fā)展學(xué)生“邏輯推理”的素養(yǎng)。③通過具體運(yùn)用基本不等式求解相關(guān)函數(shù)最值時，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)④通過建立數(shù)學(xué)模型，并利用基本不等式求解最優(yōu)化等實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)。（5）教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：基本不等式含義的理解與證明。難點(diǎn)：利用基本不等式求最值的基本方法及實(shí)際應(yīng)用。二.目標(biāo)和目標(biāo)解析1.課程目標(biāo)（1）掌握基本不等式（2）結(jié)合具體實(shí)例，能利用基本不等式求簡單的最值問題。2.素養(yǎng)目標(biāo)（1）數(shù)學(xué)抽象：通過抽象和概括基本不等式的概念，幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).（2）直觀想象：將基本不等式的幾何解釋通過數(shù)形結(jié)合直觀感知、求證，幫助學(xué)生發(fā)展直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。（3）邏輯推理：通過對基本不等式嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明活動，發(fā)展學(xué)生“邏輯推理”的素養(yǎng)。（4）數(shù)學(xué)建模：通過建立數(shù)學(xué)模型，并利用基本不等式求解最優(yōu)化等實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)。3.目標(biāo)解析（1）能夠通過具體演算或者直觀實(shí)例，能抽象出基本不等式的形式；（2）能夠證明基本不等式；（3）能夠理解基本不等工的幾何解析；（4）能夠利用基本不等求函數(shù)或代數(shù)式的最值，并能注意到運(yùn)用其的前提條件：一正二定三相等；（5）會利用基本不等式求解決實(shí)際問題中的最值。三.教學(xué)問題診斷分析1.基本不等是學(xué)生前面學(xué)習(xí)了不等式的一般性質(zhì)之后接觸的第一個較為抽象的（不等式）模型，對于證明的方法，不夠理解和熟練，學(xué)生心中稍會產(chǎn)生畏恐心理，建議從具體到抽象，即是先讓學(xué)生通過具體數(shù)值的結(jié)果對比，或者直觀的事實(shí)，讓學(xué)生有感性的理解和認(rèn)識后，有足夠的信心再進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。2.對于基本不等式的幾何解析，用代數(shù)語言解析了幾何現(xiàn)象，既會讓學(xué)生產(chǎn)生好奇感和驚喜心，但當(dāng)中也可能存在一定的障礙。比如：相交弦定理，因此，要做好引導(dǎo)和適當(dāng)?shù)匿亯|為好。3.在運(yùn)用基本不等式求最值問題時，學(xué)生容易疏忽其使用的前提條件（“一正二定三相等”），這跟學(xué)生對于期理解的不夠深刻有關(guān)，建議在教學(xué)時，不要講得太快，不要老師包辦，加深學(xué)生對于條件的理解。4.運(yùn)用基本不等式的時候，發(fā)現(xiàn)“和為定值”或者“積為定值”是重要的一步，但同時往往也是比較困難的一步，特別是當(dāng)形式不那么明顯直接的情況下，需要學(xué)生適化簡或配湊，對此，老師一方面要注意把握教學(xué)的難度，不可要求過高，畢竟在此面對的是高一的新后，雖然在高考中對于基本不筀閉幕式可能有更高的要求，但是這些能力可以在后面逐漸學(xué)習(xí)培養(yǎng)，另一方面，注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察與運(yùn)算能力，把握式子中隱含關(guān)系，靈活運(yùn)用基本不等式。5.教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式的理解和證明；觀察式子結(jié)構(gòu)，利用基本不等式求最值問題。四.教學(xué)支持條件分析1.高一學(xué)生有了一定的字母運(yùn)算能力，為證明基本不等式有了一定的技能儲備。2.應(yīng)用Excel、GGB等計算機(jī)軟件，可以直觀呈現(xiàn)，生動刻畫基本不等式的數(shù)值和圖形表現(xiàn)。五.課時安排第1課時，基本不等式的含義與證明；第2課時，利用基本不等式解決最值問題。六.課時教學(xué)設(shè)計第1課時《§2.2基本不等式》教學(xué)設(shè)計【教材分析】《基本不等式》在人教A版高中數(shù)學(xué)第一冊第二章第2節(jié)，本節(jié)課的內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的對不等式的進(jìn)一步研究，在知識體系中起著承上啟下的作用。在探究基本不等式內(nèi)涵和證明的過程中，能夠培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思想意識；在應(yīng)用的過程中，通過對條件的轉(zhuǎn)化和辨識，有助于培養(yǎng)學(xué)生形成類比歸納的思想和習(xí)慣，進(jìn)而形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式?！陡咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求掌握基本不等式，結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題，同時利用基本不等式求最值是高考的基本考點(diǎn)，經(jīng)常與實(shí)際問題相結(jié)合進(jìn)行考查。本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模與邏輯推理的相關(guān)核心素養(yǎng)。【學(xué)情分析】在認(rèn)知上，學(xué)生已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)，并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)、式的大小比較，也具備一定的平面幾何的基本知識。本節(jié)內(nèi)容在復(fù)習(xí)、鞏固不等式性質(zhì)的前提下，學(xué)習(xí)基本不等式，學(xué)生是比較容易接受的。但在利用基本不等式解決最值問題時，學(xué)生往往忽視基本不等式使用的前提條件和等號成立的條件?！窘虒W(xué)策略】學(xué)生往往會直接應(yīng)用基本不等式，而忽略其成立的條件。因此，在教學(xué)過程中，可借助辨誤的方式，讓學(xué)生充分領(lǐng)會基本不等式成立的三個限制條件一正、二定、三相等在解決最值的問題中的作用。具體教學(xué)中，可借助幾何畫板等多媒體來演示，使學(xué)生在自主探究與合作交流中體驗(yàn)基本不等式模型的觀察、分析、猜想和概括等系列思維活動過程，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象直觀想象素養(yǎng)，通過基本不等式的證明方法的探索和不同角度的形象提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)，通過引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用基本不等式解決常見的最值等實(shí)際問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)?！緦W(xué)科核心素養(yǎng)】1.目標(biāo)與素養(yǎng)（1）通過對基本不等式的學(xué)習(xí)，能夠?qū)ζ溥M(jìn)行證明且在論證中體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，并會應(yīng)用幾何語言來進(jìn)行解釋，達(dá)到邏輯推理和直觀想象核心素養(yǎng)水平一的層次。（2）能夠運(yùn)用基本不等式來函數(shù)或者求代數(shù)式的最值，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理水平一、數(shù)學(xué)運(yùn)算水平二的層次。（3）能夠使用基本不等式解決實(shí)際生活中的最值問題，提高用數(shù)學(xué)手段解答現(xiàn)實(shí)生活中的問題的能力和意識，積累基本解題經(jīng)驗(yàn)，使理論與實(shí)踐相結(jié)合，達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平一、數(shù)據(jù)分析水平一、邏輯推理核心素養(yǎng)水平二的層次。2.情境與問題通過“北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)大會會標(biāo)”的設(shè)計淵源、理念引出相關(guān)問題，建立“重要不等式”模型。有了“重要不等式”就有了類似“替代”的可能，由此引入本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，方便、自然。3.內(nèi)容與節(jié)點(diǎn)本節(jié)內(nèi)容為基本不等式的概念、證明及其幾何解釋，它是證明其他不等式的重要依據(jù)，也是求解最值問題的有力工具。4.過程與方法（1）通過探究基本不等式的過程，能夠理解并建立“基本不等式數(shù)學(xué)模型”及不等式的知識鏈，學(xué)會體會研究數(shù)學(xué)問題的基本思想方法，學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。（2）掌握用“基本不等式的數(shù)學(xué)模型”解決實(shí)際最值問題的方法，提升數(shù)學(xué)建模、邏輯推理的素養(yǎng)?！窘虒W(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：用數(shù)形結(jié)合的思想解不等式，并從小油角度探索證明基本不等式，利用基本不等式求最值。難點(diǎn)：用基本不等式的求最大值和最小值?！窘虒W(xué)過程設(shè)計】教學(xué)步驟預(yù)計時間教學(xué)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動教學(xué)評價1.構(gòu)建“重要不等式模型”5分鐘活動1，探究重要不等式情景與問題：2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)大會。大會會標(biāo)根據(jù)1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表著中國人民的熱情好客。（1）你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（2）成立嗎?（3）你能給出它的證明嗎?（4）你是如何理解結(jié)論中的“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義的?師：引導(dǎo)學(xué)生將圖2.1-3中的“風(fēng)車”抽象成圖2.1-4，觀察圖形，得出結(jié)論，并從代數(shù)的角度給予說明。師：板書結(jié)論。1.重要不等式：1.重要不等式：（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）師：提示，，由可得到，反之，由可知。生：自己作圖，把問題轉(zhuǎn)化為比較大正方形ABCD與四個相同的直角三角形的面積之和的大小關(guān)系，從中得出結(jié)論。生：交流、討論，得出結(jié)論的代數(shù)證明和取等號時滿足的對應(yīng)條件是“當(dāng)且僅當(dāng)”。引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)文化，通過圖象抽象出重要不等式，提升學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，同時為后面學(xué)習(xí)基本不等式模型作鋪墊。2.構(gòu)建“基本不等式模型”3分鐘活動2：探究基本不等式（5）在重要不等中，特別地，用代替，代替可得到什么結(jié)論?（6）你是如何理解結(jié)論中的“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義的?師：巡查學(xué)生的變換情況，解決學(xué)生遇到的問題，幫助學(xué)生理解基本不等式的含義。師：板書。2.基本不等式：2.基本不等式：（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）其中，叫做正數(shù)的算術(shù)平均值，叫做正數(shù)的幾何平均值.含義：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。師：提示，在的前提之下，由可知，反之由可知.生：替換后嘗試寫出基本不等式。生：了解基本不等式的形式，及其注意事項(xiàng)。檢查學(xué)生的變換能力，使學(xué)生了解基本不等式的形式，理解其不等號和等號成立的條件。教學(xué)步驟預(yù)計時間教學(xué)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動教學(xué)評價3.合作探究12分鐘活動3.證明基本不等式基本等式當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立）證明：法一（利用重要不等式證明）因?yàn)椋晕覀兛梢杂?，分別代替重要不等式中的，得到，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即（），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。法二（利用作差法證明）：因?yàn)椋?，即所以，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立法三（利用不等式的性質(zhì)證明）因?yàn)?，所以，即，亦即，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)時等號成立法四（利用幾何意義來證明）如圖是圓的直徑，是上一點(diǎn)，,過點(diǎn)作垂直于的弦,連接。易證,則，即，這個圓的半徑為，顯然它大于或者等于，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合，即時等號成立由此我們可以得（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）的幾何意義：半徑不小于半弦。師：能否用來證明?師：除了利用來進(jìn)行推導(dǎo)，你們還能想到哪些地代數(shù)方法證明?提示：剛剛學(xué)習(xí)不等式時比較大小時用的方法。師：引導(dǎo)學(xué)生利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明，并適時點(diǎn)撥、幫助。師：引導(dǎo)學(xué)生觀察教材第45頁的探究，并設(shè)置問題如下：①圖形中線段的長為線段的長為，那么可以用哪條線段來表示?②可以用哪條線段來表示?③你能利用圖形得出與的大小關(guān)系嗎?師：引導(dǎo)學(xué)生再次觀察圖形，得到兩者相等的條件。師：引導(dǎo)學(xué)生用多種方法完成基本不等式的證明后，同時從結(jié)構(gòu)上觀察基本不等式的結(jié)構(gòu)特征。生：嘗試著證明，注意的取值范圍。生：試試?yán)米鞑罘ㄗC明。生：嘗試?yán)貌坏仁降男再|(zhì)進(jìn)行證明基本不等式。生：觀察圖形，對比回答問題：①在圖形中，可以用直徑來表示。②利用相似三角形得出的值可以用半弦來表示。③利用圓中半弦長不超過半徑長可以得出與的大小關(guān)系。生：思考、理解基本不等式的幾何意義，明確取等的條件。生：觀察、體會基本不等式表現(xiàn)出來的含義。用代數(shù)的方法證明不等式，使學(xué)生加深對基本不等式的理解，理解基本不等式中不等號和等號成立的的條件，引導(dǎo)學(xué)生自己動手寫出證明過程，并對圖形進(jìn)一步分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的大小關(guān)系，讓學(xué)生體會不僅能以數(shù)形，尋找數(shù)量關(guān)系的幾何解釋，還可以通過對圖形的觀察分析以形識數(shù)，進(jìn)而完善前面的代數(shù)結(jié)論，提升邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)。教學(xué)步驟預(yù)計時間教學(xué)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動教學(xué)評價4.“基本不等式模型”應(yīng)用（一）8分鐘活動4、典例剖析。例1（教材第45頁例1）已知，求的最小值。分析：求的最小值，就是要求一個（），使，都有，觀察，發(fā)現(xiàn)，聯(lián)系基本不等式，可以利用正數(shù)和的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系得到。解：因?yàn)?，所以所以?dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，因此所求的最小值為2.例2（教材第45頁例2）已知都是正數(shù)，求證（1）如果積等于定值，那么當(dāng)時，和有最小值。（2）如果和等于定值，那么當(dāng)時，積有的最大值。證明：因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以，（1）當(dāng)積證明：因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以，（1）當(dāng)積等于定值時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立。于是，當(dāng)時，和有最小值.（2）當(dāng)和等于定值時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立。于是，當(dāng)時，和有最小值.（1）當(dāng)積等于定值時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立。于是，當(dāng)時，和有最小值（2）當(dāng)和等于定值時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立。于是，當(dāng)時，和有最小值。師：分析題干，引導(dǎo)學(xué)生解題思路，讓學(xué)生板演或展示成果，適時點(diǎn)評師：強(qiáng)調(diào)答題格式，需注明等式成立的條件，明確“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義。師：明確例2得到的結(jié)論十分有用，會在實(shí)際問題中用到，要牢記條件和對應(yīng)的結(jié)論。師：補(bǔ)充最值定理：積定和?。▋蓚€正數(shù)的積為定積時，它們的和有最小值），和定積大（兩個正數(shù)的和為定積時，它們的積有最大值）。生：思考、分析，嘗試以語言等方式展示成果。生：理解、分析，及時做筆記?？疾閷W(xué)生對所學(xué)知識掌握的情況，幫助學(xué)生真正理解基本不等式的含義，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。教學(xué)步驟預(yù)計時間教學(xué)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動教學(xué)評價5.“基本不等式模型”的達(dá)成2分鐘活動5.總結(jié)運(yùn)用基本不等式所需滿足的條件基本不等式（1）使用條件：一正二定三相等（2）作用：積定和小，和定積大。師：引導(dǎo)學(xué)生思考、總結(jié)基本不等式的使用條件和作用。生：通過例1、例2，思考、交流得出基本不等式的使用條件和作用。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)基本不等式的使用注意事項(xiàng)和功能，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)。6.“基本不等式模型”的發(fā)展8分鐘活動6.“基本不等式”應(yīng)用的題型探究題型一直接利用基本不等式求最值例3.已知，且，則的最小值為____，此時。題型二配湊構(gòu)造基本不等式求最值例4.求的最小值。題型三拆分構(gòu)造基本不等式求最值例5.已知，求的最小值.師：引導(dǎo)學(xué)生通過“拆、添、湊”構(gòu)造基本不等式的三個條件。生：獨(dú)立思考，構(gòu)造基本不等式求最值。幫助學(xué)生深入理解“基本不等式的含義，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展。7.課堂小結(jié)1分30秒活動7.課堂小結(jié)1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么?提示：基本不等式的證明及其應(yīng)用。2.在應(yīng)用基本不等式時，需要注意什么?提示：一正二定