人教版數(shù)學(xué)八年級上冊1最短路徑問題（共19張）

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題人民教育出版社八年級（上）

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？BAlABCD

如圖，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B，點(diǎn)C，D在直線l上，則CA與CB，DA與DB大小關(guān)系如何？理由是什么？lCA=CBDA=DB對稱軸是對稱點(diǎn)連線的垂直平分線，垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等溫故知新

如圖，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？

兩點(diǎn)之間,線段最短①②③我選第②條路(Ⅰ)兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。

P連接AB,線段AB與直線L交于點(diǎn)P就是所求。根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？BAl

精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．這就是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容——最短路徑問題你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？

BAl

將A，B兩地抽象為兩個點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．B··Al作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？AB'CBl

你能用所學(xué)的知識證明AC+CB最短嗎？

證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，C′B，C′B′．由軸對稱的性質(zhì)知，

CB=CB′，C′B=C′B′．∴AC+CB=AC+CB′=AB′，AC′+C′B=AC′+C′B′．B·lA·B′CC′AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B．即AC+CB最短．在△AB′C′中，

問回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′

利用了軸對稱的有關(guān)知識，把兩點(diǎn)在直線同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)在直線異側(cè)問題。從而用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問題。小試牛刀如圖，OM,ON是兩條公路，在兩條公路之間有一油庫A，現(xiàn)在想在兩條公路分別建一個加油站，為使運(yùn)油的車從A出發(fā)先到一個加油站再到另一個加油站，最后回到油庫A的路程最短，問加油站應(yīng)如何選址？再試試光華中學(xué)93班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的小明想先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短？OAD

C

B發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：最短路徑（最小值）問題一般回歸到：兩點(diǎn)之間，線段最短。

(Ⅲ)一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小.BCDE分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時，三角形的周長最小

(Ⅲ)一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小.分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對稱點(diǎn)A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求

1.如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

A·BMN作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E，

2.連接AE交河對岸與點(diǎn)M,

則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B地的路程為:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,則A到B地的路程為：AC+CD+DB=AC+CD+