湖北省武漢市漢南區(qū)第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

湖北省武漢市漢南區(qū)第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知邊長(zhǎng)為的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿對(duì)角線BD折成二面角A﹣BD﹣C為120°的四面體ABCD，則四面體的外接球的表面積為（）A．25π B．26π C．27π D．28π參考答案：D【考點(diǎn)】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．【分析】正確作出圖形，利用勾股定理建立方程，求出四面體的外接球的半徑，即可求出四面體的外接球的表面積．【解答】解：如圖所示，∠AFC=120°，∠AFE=60°，AF==3，∴AE=，EF=設(shè)OO′=x，則∵O′B=2，O′F=1，∴由勾股定理可得R2=x2+4=（+1）2+（﹣x）2，∴R2=7，∴四面體的外接球的表面積為4πR2=28π，故選：D．2.已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若a﹣i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù)，則（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】由條件利用共軛復(fù)數(shù)的定義求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù)，則a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故選：D．3.已知點(diǎn),,,，則向量在方向上的投影為（

）（A） （B）

（C）

（D）參考答案：A略4.在等比數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為

A．

B.

C.

D.參考答案：答案：B解析：由，所以5.“a＞b＞0”是“ab＜”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A略6.等差數(shù)列{an}中，已知a6+a11=0，且公差d＞0，則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n的值為(

)A．6

B．7

C.8

D．9參考答案：C7.設(shè)全集,集合,,則集合=（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B8.函數(shù)的圖象大致是（

）

參考答案：A試題分析：因?yàn)楫?dāng)x=2或4時(shí)，，所以排除B、C；當(dāng)x=-2時(shí)，，故排除D，所以選A．考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化．9.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為、，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線與雙曲線的左準(zhǔn)線重合，若雙曲線與拋物線的交點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為

（

）A．

B． C．

D．參考答案：答案：B10.已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且滿足，則的值為A.

B.

C.

D.參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列【試題解析】由題知：因?yàn)?/p>

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知球與棱長(zhǎng)均為2的三棱錐各條棱都相切，則該球的表面積為

.參考答案：將該三棱錐放入正方體內(nèi)，若球與三棱錐各棱均相切等價(jià)于球與正方體各面均相切，所以,則球的表面積為.12.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_________.A．

B．

C．

D．參考答案：A13.若直線的傾斜角是,則

(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).參考答案：14.“雙曲線（）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍為：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正確選項(xiàng)是B。若將其中的條件“”更換為“，且”，試經(jīng)過(guò)合情推理，得出雙曲線離心率的取值范圍是

參考答案：15.設(shè)a+b=2,b>0,則的最小值為_(kāi)_____參考答案：16.設(shè)，實(shí)數(shù)滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：作出直線所圍成的區(qū)域，

如圖所示，，當(dāng)時(shí)，滿足題意.

17.拋物線y=ax2的焦點(diǎn)為F(0，1)，P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則a=

；線段FP中點(diǎn)M的軌跡方程為

參考答案：；．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．有甲、乙兩人相互獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)租車騎游（各租一車一次）．設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為，；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為，；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．（Ⅰ）求甲乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率．（Ⅱ）設(shè)甲乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）首先求出兩個(gè)人租車時(shí)間超過(guò)三小時(shí)的概率，甲乙兩人所付的租車費(fèi)用相同即租車時(shí)間相同：都不超過(guò)兩小時(shí)、都在兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)和都超過(guò)三小時(shí)三類求解即可．（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的所有取值為0，2，4，6，8，由獨(dú)立事件的概率分別求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）甲乙兩人租車時(shí)間超過(guò)三小時(shí)的概率分別為：，甲乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率p=（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的所有取值為0，2，4，6，8P（ξ=0）==P（ξ=2）==P（ξ=4）==P（ξ=6）==P（ξ=8）==數(shù)學(xué)期望Eξ==19.（本小題滿分12分）設(shè)

（I）求在上的最小值；

（II）設(shè)曲線在點(diǎn)的切線方程為；求的值。參考答案：解：（I）設(shè)；則

……（2分）

①當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)………………（3分）

得：當(dāng)時(shí)，的最小值為………（4分）

②當(dāng)時(shí)，………………（6分）

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為

………………（7分）（II）………………（8分）

由題意得：………………（12分）20.某市需對(duì)某環(huán)城快速車道進(jìn)行限速，為了調(diào)研該道路車速情況，于某個(gè)時(shí)段隨機(jī)對(duì)100輛車的速度進(jìn)行取樣，測(cè)量的車速制成如下條形圖：經(jīng)計(jì)算：樣本的平均值μ=85，標(biāo)準(zhǔn)差σ=2.2，以頻率值作為概率的估計(jì)值．已知車速過(guò)慢與過(guò)快都被認(rèn)為是需矯正速度，現(xiàn)規(guī)定車速小于μ﹣3σ或車速大于μ+2σ是需矯正速度．（1）從該快速車道上所有車輛中任取1個(gè)，求該車輛是需矯正速度的概率；（2）從樣本中任取2個(gè)車輛，求這2個(gè)車輛均是需矯正速度的概率；（3）從該快速車道上所有車輛中任取2個(gè)，記其中是需矯正速度的個(gè)數(shù)為ε，求ε的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）記事件A為“從該快速車道上所有車輛中任取1個(gè)，該車輛是需矯正速度”，因?yàn)棣泰?σ=78.4，μ+2σ=89.4，由樣本條形圖可得所求的概率．（2）記事件B為“從樣本中任取2個(gè)車輛，這2個(gè)車輛均是需矯正速度”由題設(shè)可知樣本容量為100，又需矯正速度個(gè)數(shù)為5個(gè)，可得所求概率．（3）需矯正速度的個(gè)數(shù)ε服從二項(xiàng)分布，即?～B，即可得出．【解答】解：（1）記事件A為“從該快速車道上所有車輛中任取1個(gè)，該車輛是需矯正速度”，因?yàn)棣泰?σ=78.4，μ+2σ=89.4，由樣本條形圖可知，所求的概率為．（2）記事件B為“從樣本中任取2個(gè)車輛，這2個(gè)車輛均是需矯正速度”由題設(shè)可知樣本容量為100，又需矯正速度個(gè)數(shù)為5個(gè)，故所求概率為．（3）需矯正速度的個(gè)數(shù)ε服從二項(xiàng)分布，即?～B，∴，，，因此ε的分布列為ε012P由?～B，可知數(shù)學(xué)期望E（?）=2×=．21.（本小題滿分13分）已知函數(shù)，設(shè)直線分別是曲線的兩條不同的切線．（Ⅰ）若函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)有極小值為，求的值；（Ⅱ）若直線，直線與曲線切于點(diǎn)且交曲線于點(diǎn)，直線和與曲線切于點(diǎn)且交曲線于點(diǎn)，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，求的值．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.B11【答案解析】(I)(II)解析：解：（Ⅰ）∵，為奇函數(shù)，∴，即，∴b=0，∴，則，又當(dāng)時(shí)有極小值為，∴

即∴

即，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；∴；（Ⅱ）令，由及得，∴由得，即；

將與聯(lián)立化簡(jiǎn)得，∴，∴，同理，∴，，，∴【思路點(diǎn)撥】（1）（i）由函數(shù)為奇函數(shù)求得b，再由當(dāng)x=1時(shí)f（x）有極小值為﹣4列式求出a，c的值；（ii）設(shè)（x0，y0）為曲線y=f（x）上一點(diǎn)，由（i）得，由此得到y(tǒng)=f（x）在點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程結(jié)合f′（﹣1）=0，f（﹣1）=4，可知y=4是曲線y=f（x）的一條切線，且過(guò)（m，4）．再設(shè)另兩條切線切點(diǎn)分別為（x1，y1），（x2，y2），求出直線l1和l2的方程，令y=4求得且，可知x1，x2是方程的兩解，然后構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出m的取值范圍；（2）令xB=x1，xC=x2，由直線l1∥l2得到兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，再通過(guò)求解方程組求得點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)，得到（xA﹣xB），（xB﹣xC），（xC﹣xD），則答案可求．22.（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA丄底面ABCD，PA=AC．過(guò)點(diǎn)A的平面與棱PB，PC，PD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G（E，F(xiàn)，G三點(diǎn)均不在棱的端點(diǎn)處）．（I）求證：平面PAB丄平面PBC（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，求的值；（Ⅲ）直線AE是否可能與平面PCD平行？證明你的結(jié)論．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在四棱錐P﹣ABCD中，可得BC⊥面PAB，即平面PAB丄平面PBC．（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，則有PC丄AF，又因?yàn)镻A=AC，即F為PC中點(diǎn)，可得，（Ⅲ）假設(shè)AE∥面PCD，又因?yàn)锳B∥面PCD，且AE∩AB=A，?面PAB∥面PDC，與已知矛盾．【解答】解（Ⅰ）在四棱錐P﹣ABCD中，∵底面ABCD為正方形