2023屆高三文數(shù)學(xué)專題講座

高考數(shù)學(xué)中的文化和數(shù)學(xué)史2.立體幾何

出入相補(bǔ)法球的體積——牟合方蓋3.解析幾何與導(dǎo)數(shù)

切線的歷史淵源上篇1.數(shù)列

多邊形數(shù)到棱錐數(shù)

從一次冪和公式到二次冪和公式等比數(shù)列求和——完全數(shù)從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)形數(shù)（figurednumbers）理論可以上溯到畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras,569B.C.～500B.C.）本人。用一點(diǎn)（或一個(gè)小石子）代表1，兩點(diǎn)（或兩個(gè)小石子）代表2，三點(diǎn)（或三個(gè)小石子）代表3，等等，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在世界數(shù)學(xué)史上首次建立了數(shù)和形之間的聯(lián)系。早期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派似乎已經(jīng)熟悉利用小石子或點(diǎn)來(lái)構(gòu)造三角形數(shù)和正方形數(shù)；晚期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員尼可麥丘（Nicomachus,60?～120?）以及稍后的泰恩（Theon,約2世紀(jì)上半葉）則討論了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長(zhǎng)方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）。從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)問題依次計(jì)算數(shù)列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四項(xiàng)值，由此猜測(cè)的結(jié)果，并加以證明。從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)正方形數(shù)從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)古希臘數(shù)學(xué)家Iamblichus（公元4世紀(jì)）在研究Nicomachus《算術(shù)引論》一書時(shí)發(fā)現(xiàn)

=n2

Iamblichus或許正是從正方形數(shù)的構(gòu)造中發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論的。從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)后期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家尼可麥丘在《算術(shù)引論》中將多邊形數(shù)推廣到立體數(shù)。前四個(gè)三棱錐數(shù)為

11+31+3+61+3+6+10

從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)第n個(gè)三棱錐數(shù)為（Nicomachus,1世紀(jì)）從多邊形數(shù)到棱錐數(shù)

前四個(gè)四棱錐數(shù)為

11+41+4+91+4+9+16第n個(gè)四棱錐數(shù)為二次冪和公式古巴比倫：泥版數(shù)學(xué)文獻(xiàn)歸納法可能是最接近古人的思維方式與一次冪求和公式對(duì)比

二次冪和公式二次冪和公式阿基米德（Archimedes,前287-212）

《論劈錐曲面體與球體》命題2引理；

《論螺線》命題10二次冪和公式阿爾·海賽姆（Al-Haitham,965～1039）：

10-11世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家二次冪和公式二次冪和公式帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）

二次冪和公式分別令r=1，2，…，n，將個(gè)等式相加即得

簡(jiǎn)單例子：1的平方加到3的平方二次冪和公式三角形法二次冪和公式二次冪和公式案例3二次冪和公式案例

二次冪和公式萊因得紙草書

萊因得紙草書是公元前1650年左右埃及的著作。書里有87個(gè)問題，分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算，一元一次方程，面包分配的問題（等差數(shù)列），等比數(shù)列求和公式萊因得紙草上的等比數(shù)列問題

案例等比數(shù)列求和公式萊因得紙草書（約公元前1650年）這個(gè)題目究竟什么意思呢？有7個(gè)人，每人養(yǎng)七只貓，每只貓吃七只老鼠，每只老鼠吃7棵麥穗，每個(gè)麥穗可以長(zhǎng)成七個(gè)量器的大麥，問各有多少？中國(guó)古書《孫子算經(jīng)》中也有類似地問題：今有出門，望見九堤，堤有九木，木有九枝，樹有九果，果有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，各有幾何？等比數(shù)列求和公式等比數(shù)列求和公式歐幾里得《幾何原本》（公元前3世紀(jì)）第9卷命題35等比數(shù)列求和公式完全數(shù)如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的真因子之和，則稱該數(shù)為“完全數(shù)”

。6，它有約數(shù)1、2、3、6，除去它本身6外，其余3個(gè)數(shù)相加，1+2+3=6。28，它有約數(shù)1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5個(gè)數(shù)相加，1+2+4+7+14=28。后面的完全數(shù)還有496、8128、33550336等截至2023年，相關(guān)研究者已經(jīng)找到51個(gè)完全數(shù)等比數(shù)列求和公式如果從1開始的幾個(gè)數(shù)成公比為2的等比數(shù)列，這些數(shù)的和是質(zhì)數(shù)，這些數(shù)的和與最后一個(gè)數(shù)相乘得到乘積，那么這個(gè)乘積是完全數(shù).

6=(1+2)×2496=（1+2+4+8+16)×16

割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理問題如圖，已知多面體ABC-DEFG中，AB、AC、AD兩兩垂直，平面ABC//平面DEFG，平面BEF//平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，求該多面體的體積。

割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理ba割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理陽(yáng)馬、鱉臑、壍堵圖片割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理劉徽原理割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理

球體積公式一、《九章算術(shù)》中球體積的計(jì)算公式《九章算術(shù)》的《少?gòu)V》章有所謂“開立圓術(shù)”，

開立圓術(shù)曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑.

球體已知球體積，求其直徑的方法古人的思想是:？化圓為方

徑一周三

黃金方寸,重十六兩.

金丸徑寸,重九兩.二、劉徽求球體積的方法

劉徽，魏晉年間人.自幼好學(xué)，尤喜數(shù)學(xué).據(jù)《隋書?律歷志》記載,他于公元263年撰《九章算術(shù)注》.

最突出的成就是割圓術(shù)和體積理論.劉徽引入立體圖形“牟合方蓋”“牟合方蓋”是劉徽研究球積公式時(shí)創(chuàng)建的幾何模型,這一模型的建立,為最后獲得球積公式提供了充分條件。在這個(gè)立體里面，可以內(nèi)切一個(gè)半徑和原來(lái)圓柱體一樣大小的球體。牟合方蓋

牟合方蓋是上下相對(duì)的兩把方傘一樣的立體圖形.取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規(guī)之為圓囷（qun），徑二寸，高二寸。又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽(yáng)馬，圓然也。按合蓋者，方率也。丸其中，即圓率也。”

祖暅原理：“緣冪勢(shì)既同，則積不容異．"高面積劉徽用截面法

用水平截面去截牟合方蓋與它的內(nèi)切球，所得截面為：求內(nèi)切球的體積求牟合方蓋的體積

觀立方之內(nèi)，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩.判合總結(jié)，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正.欲陋形措意，懼失正理.敢不闕疑，以俟能言者.？劉徽：劉徽構(gòu)造的牟合方蓋是這樣一個(gè)立體圖形，它的每一個(gè)橫切面都是正方形，它的內(nèi)切球在同一高度，橫切面的圓外切于這個(gè)正方形。劉徽知道一個(gè)圓和它的外切正方形面積之比是π∶4，從而用牟合方蓋的體積與其內(nèi)切球的體積之比為π∶4.他希望用牟合方蓋來(lái)證明九章算術(shù)的錯(cuò)誤，同時(shí)得出球的體積，但他沒有成功，只好留待有能之士解決。三、祖沖之父子的解決辦法祖沖之(429--500),中國(guó)南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和機(jī)械制造專家，祖籍今河北省淶源縣.

祖暅，也是著名的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，繼承和發(fā)展了其父親的科學(xué)事業(yè).《綴術(shù)》是他們父子完成的數(shù)學(xué)杰作.祖沖之(429--500)

球體積公式內(nèi)棋（八分之一合蓋）

球體積公式

八分之一合蓋的截面

球體積公式

外棋（“立方之內(nèi)、合蓋之外”部分）

祖暅沿用了劉徽的思想，利用劉徽“牟合方蓋”的理論去進(jìn)行體積計(jì)算，他的方法是將原來(lái)的“牟合方蓋”平均分為八份，取它的八分之一來(lái)研究。

“緣冪勢(shì)既同，則積不容異+=由祖暅原理，1994年哈佛大學(xué)主編的《微積分》收錄該方法小牟合方蓋體積=2r3/3牟合方蓋體積=16r3/3故：球體體積=(π/4)(16r3/3)=4πr3/3案例8曲線的切線笛卡兒：切線問題“是我所知道的、甚至也是我一直想要知道的最有用的、最一般的問題”。

曲線的切線

歐幾里得《幾何原本》圓的切線：與圓相遇、但延長(zhǎng)后不與圓相交的直線。第3卷命題16推論：“過圓的直徑的端點(diǎn)作和它成直角的直線與圓相切?！盓uclid（about325BC-about265BC）曲線的切線阿波羅尼斯《圓錐曲線》

命題32稱：“從圓錐曲線頂點(diǎn)作直線與相應(yīng)縱坐標(biāo)線平行，則該直線與圓錐曲線相切，且在圓錐曲線與該直線之間不能再插入另外的直線。”Apollonius（about262BC-about190BC）案例8曲線的切線命題33－34：圓錐曲線的切線作圖案例8曲線的切線案例8曲線的切線案例8曲線的切線案例8曲線的切線阿基米德《論螺線》Archimedes（287BC-212BC）曲線的切線17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類問題一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀(jì)是一個(gè)十分盛行的研究課題，洛必達(dá)在其《無(wú)窮小分析》中列專章加以討論。早在公元1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Heron）就已經(jīng)證明了光的反射定律：光射向平面時(shí)，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時(shí)，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么，對(duì)于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。

曲線的切線曲線的切線二是曲線運(yùn)動(dòng)的速度問題。對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個(gè)古老的難題。自古希臘以來(lái)，人們對(duì)圓弧和直線構(gòu)成的角——牛頭角（圖10中AB弧與AC構(gòu)成的角）和弓形角（圖11中AB與ACB弧所構(gòu)成的角）即有過很多爭(zhēng)議。17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線所構(gòu)成的角呢？這就需要確定曲線在交點(diǎn)處的切線。古希臘歐幾里得與阿波羅尼斯分別從同樣的角度定義圓與圓錐曲線的切線：切線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；圓位于切線的同一側(cè)；切線和圓之間不能插入其他直線。在古典幾何階段，對(duì)于切線的定義限于特殊曲線，另一方面限于靜態(tài)的關(guān)系，即公共點(diǎn)唯一以及切線與曲線的位置關(guān)系，直到17世紀(jì)，羅波瓦爾發(fā)展了阿基米德的運(yùn)動(dòng)學(xué)概念，把切線定義為合速度方向所在直線。同時(shí)代的，費(fèi)瑪和笛卡爾分別提供了切線的做法案例8曲線的切線費(fèi)馬的方法費(fèi)馬的方法通過假設(shè)切線上兩點(diǎn)的距離與曲線上兩點(diǎn)的實(shí)際距離幾乎等長(zhǎng)，利用增量列等式求出切線的長(zhǎng)度，從而知道切線與X軸交點(diǎn)的位置，最后作出切線案例8曲線的切線笛卡兒的方法RenéDescartes（1596–1650）笛卡爾的方法圓法：先經(jīng)過曲線的兩點(diǎn)作一圓心在x軸的圓，聯(lián)立曲線與圓的方程，求所得方程的兩個(gè)等根，等根意味者兩個(gè)交點(diǎn)相重合，從而找到法線（過切點(diǎn)與切線垂直）所經(jīng)過點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再尋找切線。這是切線作為“割線的極限位置”的概念首次出現(xiàn)在印刷品中。案例8曲線的切線洛必達(dá)《無(wú)窮小分析》曲線的切線是曲線的內(nèi)接“無(wú)窮邊形”一邊的延長(zhǎng)線。G.L’Hospital（1661-1704）案例8曲線的切線切線圖像正例、反例