浙江省溫州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(A卷)

2022學(xué)年第二學(xué)期溫州市高一期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題（A卷）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共5頁，滿分150分，考試時間120分鐘.考生注意：1.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題卷上.2.選擇題的答案須用2B鉛筆將答題卷上對應(yīng)題目的答案涂黑，如要改動，須將原填涂處用橡皮擦凈.3.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卷上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，答案寫在本試題卷上無效.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，為虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選：B2.在中，內(nèi)角所對的邊分別是已知，，，則（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中條件，由正弦定理，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，由正弦定理可得，，則.故選：A.3.直線a，b互相平行的一個充分條件是（）A.a，b都平行于同一個平面 B.a，b與同一個平面所成角相等C.a，b都垂直于同一個平面 D.a平行于b所在平面【答案】C【解析】【分析】根據(jù)各選項(xiàng)中的條件判斷直線a，b的位置關(guān)系，可得出正確的答案.【詳解】對于A：若a，b都平行于同一個平面，則a，b平行、相交或異面，故A錯誤；對于B：若a，b為圓錐的兩條母線，它們與底面所成角相等，但它們是相交直線，即a，b與同一個平面所成角相等，不能得出直線a，b互相平行，故B錯誤；對于C：若a，b都垂直于同一個平面，則a，b互相平行，故C正確；對于D：若a平行于b所在平面，則a，b平行或異面，故D錯誤；故選：C4.在四邊形ABCD中，已知，則四邊形ABCD為（）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四邊形【答案】D【解析】【分析】由向量的減法運(yùn)算結(jié)合向量相等的定義判斷即可.【詳解】，，即，相互平行且，則四邊形ABCD為平行四邊形.故選：D5.某同學(xué)投擲一枚骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為，則點(diǎn)數(shù)2出現(xiàn)的次數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】由平均數(shù)和方差的公式推理得出這五個數(shù)，進(jìn)而得出答案.【詳解】設(shè)這五個數(shù)為，則.因?yàn)闉檎麛?shù)，所以這五個數(shù)必有3個3，另外兩個為或.又，所以這五個數(shù)為.故選：B6.下列正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能滿足平面MNP的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由與平面MNP相交，判斷A；由，結(jié)合不在平面判斷B；由線面平行的判定判斷C；由中位線定理判斷D.詳解】對于A：連接，由圖可知，與平面相交，故不滿足平面，故A錯誤；對于B：如圖所示，分別是所在棱的中點(diǎn)，連接則平面MNP和平面為同一平面，因?yàn)?，因?yàn)榕c平面相交，所以不滿足平面，故B錯誤；對于C：連接，交與點(diǎn)，連接，因?yàn)?，分別為中點(diǎn)，所以，由線面平行的判定定理可知，平面，故C正確；對于D：分別是所在棱的中點(diǎn)，連接，，平面與平面為同一平面，取的中點(diǎn)為，連接，由中位線定理可知，，因?yàn)榕c平面相交，所以不滿足平面，故D錯誤；故選：C7.在一個盒子中有紅球和黃球共5個球，從中不放回的依次摸出兩個球，事件“第二次摸出的球是紅球”，事件“兩次摸出的球顏色相同”，事件“第二次摸出的球是黃球”，若，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由對立事件的性質(zhì)判斷B；由結(jié)合乘法公式得出，進(jìn)而判斷ACD.【詳解】依題意，事件對立，，故B正確；設(shè)盒子中有個紅球，個黃球，，，故AD正確；，故C錯誤；故選：C8.如圖，在長方體中，，，E為棱AD上一點(diǎn)，且，平面上一動點(diǎn)Q滿足，設(shè)P是該長方體外接球上一點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合平面向量基本定理求出點(diǎn)到外接球球心距離的最大值，然后加上外接球半徑即為要求的最大值.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),長方體外接球球心記為.則,因?yàn)椋寓?又動點(diǎn)在面上，所以可設(shè)，則，即②.將②代入①中整理得③.在三棱錐中，且兩兩互相垂直，所以三棱錐為正三棱錐且底邊.當(dāng)面時，最小，在正三棱錐中由等體積法有，解得.在中，，此時有最大值.又.先代入②再代入③有.則，此時有最大值，解得.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，滿足，最大，此時.則.點(diǎn)到外接球球心距離為④.將②代入④中整理得.又，所以.因?yàn)椋援?dāng)時，.因?yàn)殚L方體外接球半徑為.所以P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題個關(guān)鍵是利用坐標(biāo)法找出動點(diǎn)Q滿足的條件，進(jìn)而利用坐標(biāo)法求出，然后利用球的性質(zhì)即得.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】先設(shè)出，則，由共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)相等的定義、模的定義以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，對四個選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【詳解】設(shè)，則，對于A，，，則，故選項(xiàng)A正確；對于B，，，則，故選項(xiàng)B不正確；對于C，，故選項(xiàng)C錯誤；對于D，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故選項(xiàng)D正確．故選：AD．10.國家統(tǒng)計(jì)網(wǎng)最新公布的一年城市平均氣溫顯示昆明與鄭州年平均氣溫均為攝氏度，該年月平均氣溫如表（表1）所示，并繪制如圖所示的折線圖，則（）表1月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明19鄭州A.昆明月平均氣溫的極差小于鄭州月平均氣溫的極差B.昆明月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于鄭州月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差C.鄭州月平均氣溫的中位數(shù)小于昆明月平均氣溫的中位數(shù)D.鄭州月平均氣溫的第一四分位數(shù)為10【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)極差的定義即可判斷A；根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的幾何意義結(jié)合折線圖即可判斷B；根據(jù)中位數(shù)的定義即可判斷C；根據(jù)百分位數(shù)的定義即可判斷D.【詳解】對于A，昆明月平均氣溫的極差為，鄭州月平均氣溫極差為，故A正確；對于B，由折線圖可知，昆明月平均氣溫相較于鄭州月平均氣溫更為集中，所以昆明月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于鄭州月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差，故B錯誤；對于C，昆明的月平均氣溫按從小到大的順序排列：，則昆明月平均氣溫的中位數(shù)為，鄭州的月平均氣溫按從小到大的順序排列：，則鄭州的月平均氣溫的中位數(shù)為，鄭州月平均氣溫的中位數(shù)小于昆明月平均氣溫的中位數(shù)，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以鄭州月平均氣溫的第一四分位?shù)為，故D正確.故選：ACD.11.平面向量，，滿足，，與夾角為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.最小值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最大值為【答案】AD【解析】【分析】設(shè)，，，利用和與夾角為，求出，利用，求出，然后結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面直角坐標(biāo)系即可逐個選項(xiàng)判斷.【詳解】由題知，設(shè)，，，因?yàn)?，與夾角為，所以，即，解得或，即或，因?yàn)椋曰?，即或，則或，即或，所以，A正確；以的起點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正向建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)時，則的終點(diǎn)落在上，的終點(diǎn)落在上，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，是指，即，最小時，即的長度，則，當(dāng)時，則的終點(diǎn)落在上，的終點(diǎn)落在上，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，是指，即，最小時，即的長度，則，B錯；如圖，當(dāng)時，點(diǎn)為的終點(diǎn)，則是指與的長，即，根據(jù)圖像易知，沒有最大值，故C錯；同理，當(dāng)時，此時點(diǎn)為的終點(diǎn)，則是指與的長，即，根據(jù)圖像易知，沒有最大值，故C錯；當(dāng)時，，，當(dāng)時，上式有最大值，且為；當(dāng)時，，，當(dāng)時，上式有最大值，且為，D正確.故選：AD12.如圖，在長方形ABCD中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，將沿直線BF進(jìn)行翻折，將沿直線DE進(jìn)行翻折的過程中，則（）A.直線AB與直線CD可能垂直 B.直線AF與CE所成角可能為60°C.直線AF與平面CDE可能垂直 D.平面ABF與平面CDE可能垂直【答案】AD【解析】【分析】將沿直線BF進(jìn)行翻折，得到以BF為軸，線段AF繞BF旋轉(zhuǎn)形成的一個圓錐，點(diǎn)在圓錐的底面圓周上，同理將沿直線DE進(jìn)行翻折的過程中，點(diǎn)也在相應(yīng)的圓錐的底面圓周上.求出圓錐軸截面的最大張角，再逐一判斷各選項(xiàng).【詳解】如圖，將沿直線BF進(jìn)行翻折，得到以BF為軸，線段AF繞BF旋轉(zhuǎn)形成的一個圓錐，點(diǎn)在圓錐的底面圓周上，同理將沿直線DE進(jìn)行翻折的過程中，點(diǎn)也在相應(yīng)的圓錐的底面圓周上.對于A，如圖，在長方形ABCD中，.旋轉(zhuǎn)形成的圓錐的軸截面張角最大，由，，則，，所以，則，假設(shè)不做旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中可以與旋轉(zhuǎn)前的初始位置垂直，即在旋轉(zhuǎn)過程中可以與AB垂直，故A正確.對于B，由選項(xiàng)A同理可得，，軸截面張角，所以同理可得直線AF與CE所成角不可能為60°，故B錯誤；對于C，若直線AF與平面CDE垂直，則直線AF與CE垂直，由選項(xiàng)B可知，，直線AF不可能與CE垂直，所以直線AF與平面CDE不可能垂直，故C錯誤；對于D，當(dāng)平面ABF不做旋轉(zhuǎn)，平面CDE旋轉(zhuǎn)到與平面BEDF垂直時，即平面ABF與平面CDE垂直，故D正確.故選：AD.非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.如圖，由A，B兩個元件組成并聯(lián)電路，觀察兩個元件正?；蚴У那闆r，則事件“電路是通路”包含的樣本點(diǎn)個數(shù)為______________.【答案】【解析】【分析】由A，B兩個元件組成并聯(lián)電路，至少有一個元件正常，列舉出所有的樣本點(diǎn)即可得解.【詳解】設(shè)元件正常為，失效為，由A，B兩個元件組成并聯(lián)電路，則至少有一個元件正常，故事件包含的樣本點(diǎn)為共個.故答案為：.14.已知平面向量，，則在方向上的投影向量的模為______________.【答案】【解析】【分析】由投影向量模長公式，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】在方向上的投影向量的模為.故答案為：15.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美,如圖,將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個三棱錐,共可截去八個三棱錐,得到八個面為正三角形,六個面為正方形的“阿基米德多面體”,則直線與平面所成角的正弦值為_____________.【答案】【解析】【分析】將多面體放置于正方體中,借助正方體分析多面體的結(jié)構(gòu),由此求解出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】如圖所示:將多面體放置于正方體中,連接,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,因?yàn)榉謩e為中點(diǎn),所以,且,則四邊形為平行四邊形,所以,所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角,又平面,所以直線與平面所成角即為,設(shè)正方體的棱長為,則,所以,即直線與平面所成角的正弦值為.故答案為:.16.如圖，四邊形ABCD為箏形（有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形），滿足，AD的中點(diǎn)為E，，則箏形ABCD的面積取到最大值時，AB邊長為___________.【答案】【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合基本不等式得出，進(jìn)而得出AB邊長.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)，則因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時，取等號.箏形ABCD的面積為即當(dāng)時，箏形ABCD的面積最大.此時AB邊長為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.關(guān)于x的一元二次方程有兩個根，其中.（1）求a的值；（2）設(shè)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，求線段AB的長度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，再利用韋達(dá)定理即可求出；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案.【小問1詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程有兩個復(fù)數(shù)根，所以復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，則，所以，解得；【小問2詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，所以，所以線段AB的長度為.18.在菱形ABCD中，，，記，.（1）用，表示；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算求出的值.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以點(diǎn)在線段上，并靠近點(diǎn)的等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，并靠近點(diǎn)的等分點(diǎn)..【小問2詳解】設(shè)菱形ABCD的邊長為.因?yàn)?，所?即，，解得.19.如圖，正方形ABCD是圓柱的軸截面，EF是圓柱的母線，圓柱的體積為.（1）求圓柱的表面積；（2）若，求點(diǎn)F到平面BDE的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由體積公式計(jì)算底面半徑，再有表面積公式求解；（2）證明平面，再有等體積法得出點(diǎn)F到平面BDE的距離.【小問1詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則，解得.則圓柱的表面積為.【小問2詳解】連接，因?yàn)椋?，設(shè)點(diǎn)F到平面BDE的距離為，易知，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，，，因?yàn)?，所?即，解得.20.現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB2762-2012中規(guī)定了10大類食品中重金屬汞的污染限量值，其中肉食性魚類及其制品中汞的最大殘留量為，近日某水產(chǎn)市場進(jìn)口了一批冰鮮魚2000條，從中隨機(jī)抽取了200條魚作為樣本，檢測魚體汞含量與其體重的比值（mg/kg），由測量結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求a的值，并估計(jì)這200條魚汞含量的樣本平均數(shù)；（2）用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)進(jìn)口的這批魚中共有多少條魚汞含量超標(biāo)；（3）從這批魚中顧客甲購買了2條，顧客乙購買了1條，甲乙互不影響，求恰有一人購買的魚汞含量有超標(biāo)的概率.【答案】（1），這200條魚汞含量的樣本平均數(shù)為；（2）（3）【解析】【分析】（1）由頻率之和等于1得出，進(jìn)而由平均數(shù)的公式求解即可；（2）求出樣本中汞含量在內(nèi)的頻率，利用頻率進(jìn)行估計(jì)；（3）由概率的乘法公式計(jì)算甲乙兩人購買的魚汞含量有超標(biāo)的概率，進(jìn)而得出所求概率.【小問1詳解】由，解得.則這200條魚汞含量的樣本平均數(shù)為.【小問2詳解】樣本中汞含量在內(nèi)的頻率為.則估計(jì)進(jìn)口的這批魚中共有條魚汞含量超標(biāo).【小問3詳解】由題意可知，樣本中汞含量在內(nèi)的頻率為.則顧客甲購買的魚汞含量有超標(biāo)的概率為，顧客乙購買的魚汞含量有超標(biāo)的概率為.則恰