第二章解析函數(shù)課件

第二章解析函數(shù)第二章解析函數(shù)1.

解析函數(shù)的概念2.

函數(shù)解析的充要條件3.

初等函數(shù)4.

第二章小結(jié)與習(xí)題第一節(jié)解析函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分1解析函數(shù)的概念2小結(jié)與思考3一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分定義2.1.11.導(dǎo)數(shù)的定義在定義中應(yīng)注意:解：例1

可導(dǎo)，試證f(z)在z0點(diǎn)連續(xù)。結(jié)論：函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)必在該點(diǎn)連續(xù)，反之不成立。例2

解:例3

解2.求導(dǎo)法則:

由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致，并且復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)變函數(shù)中一樣，因而實(shí)變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來,且證明方法也是相同的.求導(dǎo)公式與法則:3.微分

復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實(shí)變函數(shù)的微分概念完全一致.定義2.1.2特別地,二、解析函數(shù)的概念1.解析函數(shù)的定義2.奇點(diǎn)的定義根據(jù)定義可知:函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.但是，函數(shù)在一點(diǎn)處解析與在一點(diǎn)處可導(dǎo)是不等價(jià)的概念.即函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，不一定在該點(diǎn)處解析.函數(shù)在一點(diǎn)處解析比在該點(diǎn)處可導(dǎo)的要求要高得多.例4

解:由本節(jié)例2和例3知:由于k的任意性，極限不存在。令z0+Δz沿直線y=kx趨于z0.例5解:定理2.1.1以上定理的證明,可利用求導(dǎo)法則.根據(jù)定理可知:(1)所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的.三、小結(jié)與思考

理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分以及解析函數(shù)的概念；掌握連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系以及求導(dǎo)方法.

注意：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與一元實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義在形式上完全一樣，它們的一些求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則也一樣，然而復(fù)變函數(shù)極限存在要求與z趨于零的方式無關(guān)，這表明它在一點(diǎn)可導(dǎo)的條件比實(shí)變函數(shù)嚴(yán)格得多.思考題1.答案：2.復(fù)變函數(shù)w＝f(z)的導(dǎo)數(shù)定義與實(shí)一元函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)定義在要求上有什么不同？3.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)(可微)與解析之間有什么關(guān)系？第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件主要定理1典型例題2小結(jié)與思考3一、主要定理定理2.2.1證明:(1)必要性.(2)充分性.由于u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微因?yàn)椋阂虼苏聿⒂煽挛?黎曼方程得：根據(jù)定理2.2.1，可得函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z=x+iy處的導(dǎo)數(shù)公式：函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件：定理2.2.2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析的充要條件是：u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微，并且滿足柯西-黎曼方程。因此可以得到解析函數(shù)的判定方法:二、典型例題例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解：不滿足柯西－黎曼方程,四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)指數(shù)函數(shù)四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)例3解：例4證明：高階偏導(dǎo)數(shù)存在不能保證函數(shù)可微性的例子.

例5解：三、小結(jié)與思考在本課中我們得到了一個(gè)重要結(jié)論—函數(shù)解析的充要條件:掌握并能靈活應(yīng)用柯西—黎曼方程.思考題答案：第三節(jié)初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)1對(duì)數(shù)函數(shù)2乘冪ɑb

與冪函數(shù)34三角函數(shù)和雙曲函數(shù)5反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)6小結(jié)與思考一、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義:2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(1)周期：以2πi為基本周期的周期函數(shù)。(3)解析性：全平面解析函數(shù)，(2)加減性例1

解:例2

解:求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:例3

解:二、對(duì)數(shù)函數(shù)1.定義其余各值為特殊地,2.性質(zhì)例4

解：注意:在實(shí)變函數(shù)中,負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù),而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.例5解:定義：

----單值函數(shù)----n值函數(shù)三、冪函數(shù)討論：

(1)(3)----單值函數(shù)(2)----無窮多值函數(shù)在除原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸復(fù)平面內(nèi)主值支及各分支解析，且（5）（4）----n值函數(shù)例6解例7解:四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1.三角函數(shù)的定義將兩式相加與相減,得到把歐拉公式推廣到任意復(fù)數(shù)得到：稱它們分別為z的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。2.三角函數(shù)性質(zhì)(1)周期：以2π為周期的周期函數(shù)。(2)零點(diǎn)：sinz，cosz的零點(diǎn)分別是nπ，(n+1/2)π

(n=0,±1,±2,…(5)解析性：全平面解析函數(shù)，(3)奇偶性：sinz為奇函數(shù)，cosz為偶函數(shù)。(4)三角公式：

各種三角恒等式仍然成立(半角公式除外).(6)無界性sinz，cosz的模可以大于1甚至無界。其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義：(自己分析)例8解:3.雙曲函數(shù)的定義4.雙曲函數(shù)的性質(zhì)

(3)解析性：

全平面解析函數(shù)。

(1)周期性：以2πi為基本周期的周期函數(shù)。(2)奇偶性：（4）與三角函數(shù)的關(guān)系：chz為偶函數(shù),shz為奇函數(shù)。例9解:五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1.反三角函數(shù)兩端取對(duì)數(shù)得(1)反余弦函數(shù)定義

(2)表達(dá)式：同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù),重復(fù)以上步驟,可以得到它們的表達(dá)式:2.反雙曲函數(shù)的定義(3)反正弦函數(shù)(4)反正切函數(shù)(1)(2)(3)例10解:六、小結(jié)與思考復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣,它既保持了后者的某些基本性質(zhì),又有一些與后者不同的特性.如:

1.指數(shù)函數(shù)具有周期性2.負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)的結(jié)論不再成立3.三角正弦與余弦不再具有有界性4.雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)第二章小結(jié)與習(xí)題重點(diǎn)與難點(diǎn)1內(nèi)容提要2典型例題3一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：1.解析函數(shù)的概念；2