課02-第一章(復(fù)變函數(shù)2)

一、復(fù)變函數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)的定義:1.4復(fù)變函數(shù)注意：復(fù)函數(shù)可以為多值函數(shù)。12.復(fù)變函數(shù)與實變函數(shù)之間的關(guān)系:例如,2二、映射的概念1.定義所以，“函數(shù)”與“映射”本質(zhì)意思一樣，只是一個是代數(shù)叫法，一個是幾何叫法。今后可不加區(qū)別。32.關(guān)于復(fù)函數(shù)的圖示43.例子：兩個特殊的映射5且是全同圖形.67根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知,8(如下頁圖)9將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個長方形.10以原點為焦點,開口向左的拋物線.(圖中紅色曲線)以原點為焦點,開口相右的拋物線.(圖中藍色曲線)11練習(xí)：解12所以象的參數(shù)方程為13小結(jié)

1.復(fù)變函數(shù)以及映射的概念是本章的一個重點.注意：復(fù)變函數(shù)與一元實變函數(shù)的定義不完全一樣,前者不強調(diào)單值函數(shù).

2.到目前為止見過的一些復(fù)變函數(shù)：14一、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義:1.5初等函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì):15(2)模與幅角的性質(zhì):指數(shù)函數(shù)的定義等價于關(guān)系式:16(3)運算性質(zhì):證17例1解1819例2解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:202122例3解思考：23二、對數(shù)函數(shù)Lnz1.對數(shù)函數(shù)的定義2.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(1)多值性質(zhì)24其余各值為特殊地,(2)回歸性質(zhì)25例4解注意:在實變函數(shù)中,負數(shù)無對數(shù),而復(fù)變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.(3)負數(shù)性質(zhì)：負數(shù)有對數(shù)（復(fù)對數(shù)）26例5解27練習(xí)：解2829(4)運算性質(zhì)（對比實函數(shù)）注意（2）（3）是集合意義下的等式。30三、乘冪與冪函數(shù)1.乘冪的定義注意:3132特殊情況:332.冪函數(shù)的定義34例7解答案課堂練習(xí)35例8解36四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1.三角函數(shù)的定義將兩式相加與相減,得現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況.372.三角函數(shù)的性質(zhì)38例9解39（3）有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式40(注意：這是與實變函數(shù)完全不同的)41其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義42例10解43例11解44例12解45462.雙曲函數(shù)的定義47例13解48五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1.反三角函數(shù)的定義兩端取對數(shù)得49同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù),重復(fù)以上步驟,可以得到它們的表達式:2.反雙曲函數(shù)的定義50例14解51六、小結(jié)與思考復(fù)變初等函數(shù)是一元實變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣,它既保持了后者的某些基本性質(zhì),又有一些與后者不同的特性.如:

1.指數(shù)函數(shù)具有周期性2.負數(shù)無對數(shù)的結(jié)論不再成立3.三角正弦與余弦不再具有有界性4.雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)52思考題實變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同?53思考題答案兩者在函數(shù)的奇偶性、周期性、可導(dǎo)性上是類似的,而且導(dǎo)數(shù)的形式、加法定理、正余弦函數(shù)的平方和等公式也有相同的形式.最大的區(qū)別是,實變?nèi)呛瘮?shù)中,正余弦函數(shù)都是有界函數(shù),但在復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)中,放映結(jié)束，按Esc退出.54作業(yè)題：課本

1.1.4(b);1.1.7(d);1.1.12;1.1.13;1.1.14;1.1.15;1.1.19;1.2.1(c);