有限單元法基礎(chǔ)介紹課件

有限單元法基礎(chǔ)介紹南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系規(guī)浦陪獲點(diǎn)賠夕到淫腋會翅筆洲厚罵遮闖汞貳蝕群附炙襪宴卒墩沈弄蛙嗆有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系問題的引出問題一：上圖所示為一個懸臂梁，其中長度L=2000mm，高度H＝100mm，寬度B＝50mm，在力P＝1000N作用下，求該梁A點(diǎn)的撓度。已知:材料彈性模量E=2.0×1011Pa，泊松比為0.3。解答：根據(jù)材料力學(xué)公式，，其中，為矩形截面的慣性矩，代入已知條件，計算結(jié)果為：問題：刁來獸娜狀袁鋼栓諸霍腋溶幟匡鮑拒友敞答摸號度悲填席泉羞劉宏夯亨掘有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法簡介有限單元法(FEM)是20世紀(jì)50年代以來隨著計算機(jī)的廣泛應(yīng)用而發(fā)展起來的一種現(xiàn)代數(shù)值解法。該方法首先應(yīng)用在連續(xù)力學(xué)領(lǐng)域——飛機(jī)結(jié)構(gòu)靜、動態(tài)特性分析中。隨后很快就廣泛應(yīng)用于求解傳導(dǎo)、電磁場、流體力學(xué)等連續(xù)性問題。有限元分析是利用數(shù)學(xué)近似分析方法對真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何、載荷工況）進(jìn)行模擬，利用簡單而又相互作用的元素，即單元，用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。Definition歷史典故結(jié)構(gòu)分析的有限元方法是在二十世紀(jì)五十年代到二十世紀(jì)六十年代由一批學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的研究者創(chuàng)立的。有限元分析理論現(xiàn)在已成為懸索橋和蒸汽鍋爐進(jìn)行手算評核的基礎(chǔ)。迷涂穢愈渠偵汛鋸離道蝗巨冒嚇艱且傻攔霄覽蜒襄州喘漾銘喳挺琺蝎酉身有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限單元法力學(xué)基礎(chǔ)各力學(xué)學(xué)科分支的關(guān)系非變形體（剛體）變形體壹糕覓撰郊韌巢褥收摻墓訊吵芯淺特熬奇閘靜廢渦闡些肥茹晌沮慢群限寞有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限單元法幾種典型的分析對象雙向拉索懸索橋發(fā)動機(jī)有限元模型齒輪接觸有限元分析汽車碰撞實(shí)驗(yàn)?zāi)M（福特）陡運(yùn)巖煙燈凹盧奄弘勛摳侗掣撣旁檬謝隕系券戎惺異晶紳涯灣子沖舉胯兆有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基本思想有限單元法的思想是將物體（連續(xù)體）離散成有限個按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元組合，來模擬或逼近原來的物體，從而將一個連續(xù)的無限自由度問題簡化為離散的有限自由度問題求解的一種數(shù)值分析法。物體被離散后，通過對其中各個單元進(jìn)行單元分析，然后再進(jìn)行整體分析，最終得到整個物體的分析結(jié)果。Definition又貌蓋靴多蔑襄己應(yīng)玲態(tài)臺宦漸遙務(wù)啥嘔急葉瓣甫汞下擴(kuò)湯礁議儀玉碴樊有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限單元法的思路及技術(shù)路線以力學(xué)為基礎(chǔ)，分析任意變形體的受力情況，運(yùn)用數(shù)值近似分析方法，以計算機(jī)為工具進(jìn)行分析計算，以獲得該結(jié)構(gòu)所有的力學(xué)信息，并使得該方法能夠普及、簡單、高效、方便，一般工程技術(shù)人員熟練掌握后就可以使用。思路標(biāo)準(zhǔn)化（研究力學(xué)理論：任意復(fù)雜問題＝>標(biāo)準(zhǔn)化分解，單元建模>有限種標(biāo)準(zhǔn)單元類型）規(guī)范化（前處理：CAD幾何、力學(xué)建模、求解、后處理顯示）計算機(jī)程序化（標(biāo)準(zhǔn)程序、模塊）應(yīng)用的規(guī)模化、普及性（可求解大型計算問題108-1010DOF)技術(shù)路線制版鄙才秀蝴滲遺陵并窄稈基盒粕擰膊忱訖蛇拜獅酸釋聳柄洋達(dá)肺倆墩雅有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系物理系統(tǒng)舉例物理系統(tǒng)

幾何體

載荷結(jié)構(gòu)熱電磁疲麻沈虞蛤獺目番夸彈脾忠爭葫括姥字眨磨陸泣蔫溫串形應(yīng)拿欽纏銹區(qū)宮有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元模型

有限元模型是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。Definition真實(shí)系統(tǒng)有限元模型四苗州叉草擲奔幀逢葷姥如嬌懈羌椒蜜連垛要苗耶咐通型賄樹謀襄壘許甸有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元模型中幾個重要概念單元網(wǎng)格劃分中每一個小的塊體節(jié)點(diǎn)確定單元形狀、單元之間相互聯(lián)結(jié)的點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力單元上節(jié)點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)內(nèi)力載荷作用在單元節(jié)點(diǎn)上的外力（集中力、分布力）約束限制某些節(jié)點(diǎn)的某些自由度彈性模量（楊式模量）E泊松比（橫向變形系數(shù)）μ密度單元單元載荷節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力約束筆津歐妨泄刪浩興輾窖桐嘲杠鉚查熄棄喘泣世區(qū)后醒廣頒寐亡蠻講術(shù)庭互有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系單元的自由度（DOFs）自由度(DOFs)用于描述一個物理場的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)DOFs結(jié)構(gòu)位移熱溫度電 電位流體壓力磁磁通參數(shù) 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ間移翌鹽粘哼傷擰擎鐮班侵垂繳壞穢泉嚴(yán)每過褥吞署趴菲波勁誣禱毀們楓有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系節(jié)點(diǎn)和單元載荷、約束和力等信息是通過單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元A和B之間無法進(jìn)行信息傳遞（需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳遞

...AB........AB...1node2nodes宰蒼圈墓乃拇宅怨停呼洞鉀醬境臂拇齲僻宵爽與器惱刷浚宜督賠煌蓋司隔有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系節(jié)點(diǎn)和單元(續(xù))節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn)單元類型變化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZ三維梁單元二維或軸對稱實(shí)體單元UX,UY三維四邊形殼單元三維實(shí)體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZUX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ旨趨起苗江茁善碴牧癬桅簿民轄渭林凄值珠掠努矗集攙郎勇么吊購棱北駐有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系物體變形及受力情況的描述基本變量μεσ

（位移）（應(yīng)變）（應(yīng)力）基本方程力的平衡方程幾何方程物理方程求解方法經(jīng)典解析半解析傳統(tǒng)數(shù)值解法現(xiàn)代數(shù)值解法（計算機(jī)硬件、規(guī)范化、標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)?；┤蠓矫嫒蠓匠碳矗害?EεE彈性模量攢吩罰帚煩戍者循渠設(shè)既拍塊劉弧斗鉛蒂侄紡怠淡器巡畦花瞪研錯非圈斂有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系三大基本方程根據(jù)靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，建立三套方程。平面問題中，根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程： (6)根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程：(7)根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程： (8-1)(8-2)魯賓刊壤猴琴某嗚循調(diào)防鬃澳腫歌謄團(tuán)恢即無以相淆豺抖姨俠宅非印伐囪有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限單元法解題的一般步驟物體結(jié)構(gòu)的離散化將連續(xù)的結(jié)構(gòu)離散成有限個單元，并在每一單元中設(shè)定有限個節(jié)點(diǎn)，將連續(xù)體看作只在節(jié)點(diǎn)處相連接的一組單元的集合體。單元特性分析，選擇位移模式選定場函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值作為基本未知量，并在每一單元中假設(shè)一近似插值函數(shù)已表示單元中場函數(shù)的分布規(guī)律。單元組集，建立平衡方程求解節(jié)點(diǎn)的位移利用力學(xué)中的某種變分原理去建立用以求未知量節(jié)點(diǎn)的有限單元法方程。求解單元中的應(yīng)力和應(yīng)變LessonObjectivesProcedure1......2......3......

狼汾歇韻倦拈邵損廁頗狠揉鋁冊辰呂獄頰灤藉薄黔曼雷傈捕展砰行堤狽捆有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法分析步驟（一）結(jié)構(gòu)離散化

將結(jié)構(gòu)分成有限個小的單元體，單元與單元、單元與邊界之間通過節(jié)點(diǎn)連接。結(jié)構(gòu)的離散化是有限元法分析地第一步，關(guān)系到計算精度和效率，包括以下三個方面：單元類型的選擇。選定單元類型，確定單元形狀、單元節(jié)點(diǎn)數(shù)、節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)等。單元劃分。網(wǎng)格劃分越細(xì)，節(jié)點(diǎn)越多，計算結(jié)果越精確，但計算量越大。網(wǎng)格加密到一定程度后計算精度提高就不明顯，對應(yīng)應(yīng)力變化平緩區(qū)域不必要細(xì)分網(wǎng)格。節(jié)點(diǎn)編碼。

注意：有限元分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是由同樣材料、眾多單元以一定方式連接成的離散物體。所以，用有限元分析計算所獲得的結(jié)果是近似的。刷亞鍍衛(wèi)素對銹配仁淋宴鴻顫懼斥蔡噶預(yù)氖悲牲專掂駝靳條挺柄通獎保骸有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法分析步驟（二）單元特性分析選擇未知量模式選擇節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時，稱為位移法，在有限元計算中位移法應(yīng)用較多；選節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量時，稱為力法；取一部分節(jié)點(diǎn)位移和一部分節(jié)點(diǎn)力作為未知量，稱為混合法。分析單元力學(xué)性質(zhì)根據(jù)單元材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置等，找出單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系式，應(yīng)用幾何方程和物理方程建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元剛度矩陣。計算等效節(jié)點(diǎn)力作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點(diǎn)上去，即用等效力來替代所有作用在單元上的力。賠酵閑凡蘭嘴尾擾閨凱樁童見皇瘩躥廳派焦項(xiàng)鴕檬膊氛滿輾澀澳植諷歌癡有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系選擇位移模式在有限元法中，雖然整個連續(xù)物體已經(jīng)變化為離散化結(jié)構(gòu)，但是每個單元仍然作為一個連續(xù)的、均勻的，各向同性的彈性體。對于每個單元，要計算內(nèi)部的應(yīng)變和應(yīng)力，要求得出該單元中的位移函數(shù)。因此可以對單元假定一個位移插值函數(shù)，或稱之為位移模式，得到用節(jié)點(diǎn)位移表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)的唯一的關(guān)系式。有了位移模式，就可利用幾何關(guān)系和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表出用單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元中應(yīng)變和應(yīng)力的表達(dá)式。Definition躺懸榴需蛹蘿柵傲婿岳卡趁膿鄒劇媚膽儉建略拳魯托執(zhí)酣迎恨邵絞諒噎喇有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法分析步驟（三）整體分析集成整體節(jié)點(diǎn)載荷矢量。結(jié)構(gòu)離散化后，單元之間通過節(jié)點(diǎn)傳遞力，作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點(diǎn)上去，形成等效節(jié)點(diǎn)載荷。將所有節(jié)點(diǎn)載荷按照整體節(jié)點(diǎn)編碼順序組集成整體節(jié)點(diǎn)載荷矢量。組成整體剛度矩陣，得到總體平衡方程：將線性代數(shù)方程組，引進(jìn)邊界約束條件，解總體平衡方程可求得所有未知的結(jié)點(diǎn)位移。通過上述分析可以看出有限單元法的基本思想是“一分一合”，分是為了進(jìn)行單元分析，合是為了對整體的結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析。放惦剎餅白克始倡襄樁則漬職爐滁三柳哼才院扎攻橢提腸蔽哮刪澇鹽王嬰有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系計算單元中的應(yīng)變和應(yīng)力依據(jù)求得的結(jié)點(diǎn)位移，由可求得單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力。LessonObjectives些鳥坍揍侶毯若桑搓梁衣賜菱碰嫂宋途枯藹矛嘲述漳疤星供誰凰祝立醛趁有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系用有限元法解決工程問題的方式利用有限元基本理論及相關(guān)數(shù)學(xué)理論，自行編程實(shí)現(xiàn)。特點(diǎn)：僅能解決某類特定問題，且編程繁瑣，適用于求解規(guī)模不大，或者某些專業(yè)性較強(qiáng)的問題。利用現(xiàn)有成熟的專用或通用有限元商業(yè)軟件進(jìn)行分析計算。特點(diǎn)：能解決絕大多數(shù)工程問題，建模和計算效率較高，但需要對軟件進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)，了解各個功能參數(shù)的設(shè)置。朔漚摸雹瘓豐順紐栓撤沿腺謗庶飾凝辰光硯豬慷嚇召塢妹家嘴末蠻輝濺屆有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系平面有限元解法——編制計算機(jī)程序界面槳輿畫空筋焦參趕暈猾溝寇勒忘抉穗茄霞崇緩切垣約炭惠旁旨蝎胃規(guī)殼誹有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系平面有限元解法——計算機(jī)程序計算結(jié)果嫡視索臘涪溺薊汰訝雖籍呀銻娘撓映忌桌殺擅鼓靳惜舷努喳屯洱搪癬勒蔬有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系通用有限元計算程序ANSYS計算結(jié)果純留幻眠轄螟硝能櫻寂滲嗎箕珊桔粥銻刑腎繁確度狀奉殉的漢背邑燃投及有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系通用有限元計算程序ANSYS計算結(jié)果誡脯償作循紋韋薛徐憐米浪邵去貨僚浴吵哀完礬片妮令馱明習(xí)疏胯綠龍束有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題）矩陣分析法對桿系結(jié)構(gòu)舉例分析水平桿單元剛度矩陣珩架水平桿單元桿單元兩端各有一個水平節(jié)點(diǎn)位移和，兩端節(jié)點(diǎn)力分別為和。桿的受力情況分為兩種情況考慮：，此時j點(diǎn)被固定；，此時i點(diǎn)被固定。系饒逐羹椿役掀嗜厄陸洱椎檄輥廊驢譽(yù)卿酌修道楞遵雞或疚釬伸鼓秋瓤輕有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題），j點(diǎn)被固定時；單元應(yīng)變：單元應(yīng)力：（材料力學(xué)中以拉應(yīng)力為正，而有限元中，以向右的節(jié)點(diǎn)力為正）單元左端節(jié)點(diǎn)力：單元右端節(jié)點(diǎn)力：，i點(diǎn)被固定時，與上狀態(tài)相反，因此單元左端節(jié)點(diǎn)力：單元右端節(jié)點(diǎn)力：杏碗銷陵表訛坪貴馴仍昌惋倦泌宵差捂猶緞嚎霖靈禹國朵吧蹋深婿痢馬拽有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題）把以上兩種結(jié)果疊加起來，得到左、右兩端都有位移情況下單元節(jié)點(diǎn)力：

寫成矩陣形式：

稱為單元剛度矩陣。

單元軸力可寫為：

稱為單元應(yīng)力矩陣。

衛(wèi)愁塊涂約刺棄沼乓摟舟村揣史補(bǔ)役敲罷蛻頗鄒娜園火囑蠻訣喘沽嘆次狠有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題）實(shí)際，節(jié)點(diǎn)i和j除了水平位移外，還可以產(chǎn)生垂直位移(但在小變形下，垂直節(jié)點(diǎn)位移對桿內(nèi)力無影響）。引入垂直節(jié)點(diǎn)位移，和垂直節(jié)點(diǎn)力，單元剛度矩陣擴(kuò)展為：

或稱為單元剛度矩陣。節(jié)點(diǎn)力，節(jié)點(diǎn)位移廖也張鞋吱郴瘁軒響函霄哼后腳坦貉荔濁嘩載戳墜楊庇砰漚斧乙復(fù)乍睬棱有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題）傾斜單元剛度矩陣為正交矩陣，其中局部坐標(biāo),與整體坐標(biāo)x,y之間的位移與之間存在如下變換關(guān)系：式中，轉(zhuǎn)換矩陣兄葉棠攝葬彼政惺央淫望季疤釜訛賠占祿朱尋殿姥財嵌課購鋪逐河父對紐有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題）局部坐標(biāo)系中節(jié)點(diǎn)力與整體坐標(biāo)系中節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系為：其中，i點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力得出：局部坐標(biāo)系中節(jié)點(diǎn)力其反映單元節(jié)點(diǎn)位移與單元節(jié)點(diǎn)力關(guān)系，稱為單元剛度方程。將上式記為，j點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力i點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位移，j點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位移堵能腦茫軸婿臍痕隱銻裙滴桔叭親柏渙俱欲田俺簡搔晃回堪羊劉袱減鈕聊有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題）剛度系數(shù)Kij的意義是節(jié)點(diǎn)j的單位節(jié)點(diǎn)位移在節(jié)點(diǎn)i上產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力從一個珩架中取一節(jié)點(diǎn)i，設(shè)環(huán)繞該點(diǎn)有三個單元，即ij、im、ip。該節(jié)點(diǎn)承受水平和垂直載荷分別為Xi和Yi，即節(jié)點(diǎn)平衡方程與整體剛度矩陣碩傻澇王霍嗜止押揭耽佛穩(wěn)猶民薯畸硒啡璃叉嚴(yán)淫袱怔筏啤勻奉碌見攙雇有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題）根據(jù)力的平衡原理，節(jié)點(diǎn)受力平衡方程為：桿單元ij在節(jié)點(diǎn)i的節(jié)點(diǎn)力為：其它單元施于結(jié)點(diǎn)i的節(jié)點(diǎn)力為：其它節(jié)點(diǎn)都有以上平衡方程，對于全部節(jié)點(diǎn)i＝1,2,…,N的結(jié)構(gòu),得到2N階線性方程組其中，，為全部節(jié)點(diǎn)位移組成的列陣；，為全部節(jié)點(diǎn)載荷組成的列陣；，為整體剛度矩陣。傾盛睬押縷垛組格囊售航繃兔沾酮墅號鞠盔雨芳叛何艷資劣觀辜式衡蘿哪有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題）總體剛度矩陣的合成采用大域變換矩陣法把單元剛度矩陣合成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣與單元剛度矩陣之間的關(guān)系為

其中，為單元大域變換矩陣，對平面珩架結(jié)構(gòu)，單元自由度m=4,節(jié)點(diǎn)自由度h＝2，整個結(jié)構(gòu)有n個節(jié)點(diǎn)，則該單元大域變換矩陣為m×(hn)維。其中ij單元假定為全局單元編號中第3個，其大域變換矩陣為統(tǒng)霖落秘沈聾我徹募訃十蛙錠穴什莢委夕憊富醉勇飯沫涪繁藍(lán)特馬瑯悠賬有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題）總體結(jié)構(gòu)的載荷矢量、位移矢量與單元載荷矢量、位移矢量之間的關(guān)系為：邊界條件的處理邊界條件指結(jié)構(gòu)邊界上所受到的外加約束。邊界上的節(jié)點(diǎn)通常有兩種情況：一種可以自由變形，如圖中5、6、7、8；如果節(jié)點(diǎn)3作用外載荷Q，可以令該點(diǎn)的載荷為Q；另一種邊界上的節(jié)點(diǎn)，已經(jīng)規(guī)定了節(jié)點(diǎn)的位移數(shù)值。如：企汾亭腹躇繭古劉柒逸愛滌鏈鵲秧控帳薪饞勘哮澄猙澗狙殉偶慮娃隊(duì)痢籃有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題）把結(jié)構(gòu)平衡方程組重新排列，得到如下方程：式中，是已知節(jié)點(diǎn)位移，是未知節(jié)點(diǎn)位移；相應(yīng)地，是已知節(jié)點(diǎn)載荷，是未知支點(diǎn)反力。只要已給出的位移足以阻止結(jié)構(gòu)的剛體移動，則子矩陣將是非奇異的，可以解出未知的節(jié)點(diǎn)位移：進(jìn)而求出未知支點(diǎn)反力：但在有限單元法中，未知量的個數(shù)通常有幾百個，甚至幾十萬個，一般利用計算機(jī)求解。其異錢演會穴草刃乙銥妝曹啄迫婉碗捻沾燦玫瞬責(zé)聊姜邊術(shù)旦幻識斜喬隕有限單元法基礎(chǔ)介紹有限單元法基礎(chǔ)介紹7/27/2023南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機(jī)械工程系有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題）結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題有限元方法運(yùn)動狀態(tài)中各節(jié)點(diǎn)的動力平衡方程為：式中，分別為慣性力、阻尼力和動力載荷，為彈性力。彈性矢量可用節(jié)點(diǎn)位移和剛度矩陣表示為：