高考數(shù)學(xué)全國甲卷（理）3年（2023-2023）真題分類匯編-填空題

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高考數(shù)學(xué)全國甲卷（理）3年（2023-2023）真題分類匯編-填空題

一、填空題

1．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））若為偶函數(shù)，則．

2．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））若x，y滿足約束條件，設(shè)的最大值為．

3．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn)．

4．（使用，請勿下載（全國甲卷理數(shù)））在中，，的角平分線交BC于D，則．

5．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．

6．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．

7．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為．

8．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．

9．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

10．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知向量．若，則．

11．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為．

12．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為．

參考答案：

1．2

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.

【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?/p>

所以，即，

則，故，

此時(shí)，

所以，

又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，

所以.

故答案為：2.

2．15

【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可.

【詳解】作出可行域，如圖，

由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，

由可得，即,

所以.

故答案為：15

3．12

【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2，中點(diǎn)為，取，中點(diǎn)，側(cè)面的中心為，連接，如圖，

由題意可知，為球心，在正方體中，，

即，

則球心到的距離為，

所以球與棱相切，球面與棱只有1個(gè)交點(diǎn)，

同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，

所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.

故答案為：12

4．

【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；

方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．

【詳解】

如圖所示：記，

方法一：由余弦定理可得，，

因?yàn)椋獾茫海?/p>

由可得，

，

解得：．

故答案為：．

方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：?/p>

由正弦定理可得，，解得：，，

因?yàn)?，所以，?/p>

又，所以，即．

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．

5．

【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得．

【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，

又，，所以，

所以．

故答案為：．

6．

【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．

【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，

不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，

依題意圓心到漸近線的距離，

解得或（舍去）．

故答案為：．

7．.

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．

【詳解】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)，有個(gè)結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有個(gè)，故所求概率．

故答案為：．

8．/

【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.

【詳解】[方法一]：余弦定理

設(shè)，

則在中，，

在中，，

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，

所以當(dāng)取最小值時(shí)，.

故答案為：.

[方法二]：建系法

令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）

[方法三]：余弦定理

設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得

，，

，，

令，則，

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.

[方法四]：判別式法

設(shè)，則

在中，，

在中，，

所以，記，

則

由方程有解得：

即，解得：

所以，此時(shí)

所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.

9．

【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．

【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．

求導(dǎo)得：，所以．

故切線方程為．

故答案為：．

10．.

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得的值

【詳解】,

，解得,

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.

11．

【分析】根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.

【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，

且，所以四邊形為矩形，

設(shè)，則，

所以，

，即四邊形面積等于.

故答案為：.

12．2

【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數(shù)或驗(yàn)證數(shù)值可得.

【詳解】由圖可知，即，所以；

由五點(diǎn)法可得，即；

所以.

因?yàn)?，?/p>

所以由可得或；

因?yàn)?，所以?/p>

方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，

解得，令，可得，

可得的最小正整數(shù)為2.

方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)