山西省大同市靈丘縣上寨鎮(zhèn)上寨中學2021-2022學年高三數學理期末試題含解析

山西省大同市靈丘縣上寨鎮(zhèn)上寨中學2021-2022學年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，則等于（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】先解不等式求得集合B,再進行補集交集運算【詳解】由題故，.故選A【點睛】本題考查集合的運算，準確求得集合B是關鍵，是基礎題2.定義運算,則函數f(x)＝1⊕2x的圖象是()．參考答案：A3.已知定義在(0,+∞)上的函數，其中，設兩曲線與有公共點，且在公共點處的切線相同，則的最大值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A4.若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)滿足條件(8—)·=30，則x=(

)

A．6

B．5

C．4

D．3參考答案：C略5.讀下面的程序框圖（流程圖），若輸出S的值為－7，那么判斷框內空格處可填寫（

）

A． B． C． D．參考答案：A填“”時，第一次循環(huán)，，；第二次循環(huán)，，；第三次循環(huán)，，．此時不再滿足，則輸出，它的值是，判斷框內空格處可填寫“”．6.已知定義在R上的奇函數f（x）在[0，+∞）上遞減，若f（x3﹣2x+a）＜f（x+1）對x∈[﹣1，2]恒成立，則a的取值范圍為（）A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，﹣3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，3）參考答案：C【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】由題意可得f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數，當x∈[﹣1，2]時，x3﹣2x+a＞（x+1）恒成立，即a＞﹣x3+3x+1恒成立．利用導數求得g（x）=﹣x3+3x+1的最大值，可得a的取值范圍．【解答】解：∵定義在R上的奇函數f（x）在[0，+∞）上遞減，故f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數，若f（x3﹣2x+a）＜f（x+1）對x∈[﹣1，2]恒成立，則當x∈[﹣1，2]時，x3﹣2x+a＞x+1恒成立，即a＞﹣x3+3x+1恒成立．令g（x）=﹣x3+3x+1，令g′（x）=﹣3x2+3=0，x=±1，在[﹣1，1]上，g′（x）＞0，g（x）是增函數；在（1，2]上，g′（x）＜0，g（x）是減函數，故g（x）的最大值為g（1）=3，∴a＞3，故選：C．7.如圖，在矩形中，，，點在線段上且，現分別沿將翻折，使得點落在線段上，則此時二面角的余弦值為(

▲

)A．B．C．

D．參考答案：D8.函數的圖象大致為()．參考答案：A9.設函數f(x)=4cos(x﹣)sinx﹣2cos(2x+π)，則函數f（x）的最大值和最小值分別為（）A．13和﹣11 B．8和﹣6 C．1和﹣3 D．3和﹣1參考答案：D【考點】三角函數的最值．【分析】利用輔助角公式誘導公式和兩角和余差的基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，利用三角函數的有界限求最大值和最小值．【解答】解：函數=4×cossinxcox+4×sinsin2x+2cos2x=sin2x+1﹣cos2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1．∵﹣1≤sin（2x+）≤1∴﹣1≤f（x）≤3．故函數f（x）的最大值和最小值分別：3和﹣1．故選：D．【點評】本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．10.復數z滿足（z﹣2）（1﹣i）=2（i為虛數單位），則z的共軛復數為（） A．1﹣i B． 1+i C． 3﹣i D． 3+i參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點P的坐標，過點P的直線l與圓相交于A、B兩點，則AB的最小值為

.

參考答案：4略12.已知定義域為R的函數是奇函數，則a+b=

．參考答案：3【考點】函數奇偶性的性質．【專題】方程思想；轉化思想；數學模型法；函數的性質及應用．【分析】根據函數是定義域為R的奇函數，故f（0）=0且f（﹣1）=﹣f（1），求出a，b值后，檢驗是否滿足題意，可得答案．【解答】解：∵定義域為R的函數是奇函數，∴f（0）==0，解得：b=1，且f（﹣1）=﹣f（1），即=﹣，解得：a=2，經檢驗，當a=2，b=1時，滿足f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，為奇函數，故a+b=3，故答案為：3【點評】本題考查的知識點是函數奇偶性的性質，方程思想，轉化思想，難度中檔．13.函數的定義域是

．參考答案：14.(07年全國卷Ⅱ文)一個總體含有100個個體，以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為5的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為

．參考答案：答案：解析：一個總體含有100個個體，以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為5的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為．15.（5分）（2014?東營二模）設E，F分別是Rt△ABC的斜邊BC上的兩個三等分點，已知AB=3，AC=6，則=．參考答案：10【考點】：平面向量數量積的運算．【專題】：計算題．【分析】：由已知中E，F分別是Rt△ABC的斜邊BC上的兩個三等分點，已知AB=3，AC=6，我們可以以A為坐標原點，AB、AC方向為X，Y軸正方向建立坐標系，分別求出向量，的坐標，代入向量數量積的運算公式，即可求出答案．解：以A為坐標原點，AB、AC方向為X，Y軸正方向建立坐標系∵AB=3，AC=6，則A（0，0），B（3，0），C（0，6）又∵E，F分別是Rt△ABC的斜邊BC上的兩個三等分點，則E（2，2），F（1，4）則=（2，2），=（1，4）∴=10故答案為：10【點評】：本題考查的知識點是平面向量數量積的運算，其中建立坐標系，將向量數量積的運算坐標化可以簡化本題的解答過程．16.已知Sn為數列{an}的前n項和，且滿足a1=1，anan+1=3n（n∈N+），則S2014=

．參考答案：2?31007﹣2考點：數列遞推式．專題：等差數列與等比數列．分析：由anan+1=3n，得，兩式作商得：，由此可得數列{an}的奇數項和偶數項分別構成以3為公比的等比數列，分組后利用等比數列的前n項和求得S2014．解答： 解：由anan+1=3n，得，兩式作商得：，又a1=1，∴a2=3，則數列{an}的奇數項和偶數項分別構成以3為公比的等比數列，∴S2014=（a1+a3+…+a2013）+（a2+a4+…+a2014）=+=+=2?31007﹣2．故答案為：2?31007﹣2．點評：本題考查數列遞推式，考查了作商法求數列的通項公式，考查了數列的分組求和，考查等比數列的前n項和，是中檔題．17.函數的定義域是

.

參考答案：答案：{x|3<x<4或2≤x<3}三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知f（x）=|x2﹣2|+x2+ax．（1）若a=3，求方程f（x）=0的解；（2）若函數f（x）在（0，2）上有兩個零點x1，x2．①求實數a的取值范圍；②證明：＜+＜2．參考答案：考點：帶絕對值的函數．專題：綜合題；函數的性質及應用．分析：（1）若a=3，f（x）=|x2﹣2|+x2+3x=，即可求方程f（x）=0的解；（2）①函數f（x）在（0，2）上有兩個零點x1，x2，﹣a=g（x）=在（0，2）上有兩個零點x1，x2，作出函數g（x）的圖象，由圖求實數a的取值范圍；②由①得，=﹣k，=﹣k，可得+=x2，利用＜x2＜2，即可證明：＜+＜2．解答： 解：（Ⅰ）a=3時，f（x）=|x2﹣2|+x2+3x=所以當x或x≥時，得x=﹣2，或x=（舍去）當﹣＜x＜時，2+3x=0得x=﹣所以a=3時，方程f（x）=0的解是x=﹣2或x=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①函數f（x）在（0，2）上有兩個零點x1，x2，﹣a=g（x）=在（0，2）上有兩個零點x1，x2，作出函數g（x）的圖象，由圖可知：當且僅當＜﹣a＜3，即﹣3＜a＜﹣時，g（x）在（0，2）上有兩個零點所以，﹣3＜a＜﹣時，函數（x）在（0，2）上有兩個零點x1，x2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（②由①得，=﹣k，=﹣k，所以+=x2，而＜x2＜2所以＜+＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣點評：本題考查帶絕對值的函數，考查函數的零點，考查函數的圖象，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．19.已知函數的圖象經過原點，且在處的切線斜率為。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數在區(qū)間上的最大值。參考答案：解：（Ⅰ）∵函數的圖象過原點，∴即，………….1分∵函數在處的切線斜率為即，∴?！?3分（Ⅱ）時，，，令，則，，，，，∴；…………………6分時，，當即時，，……7分

當即時，，……………8分

當即時，；………9分當時，若即時，，若即時，，………11分綜上，函數在區(qū)間上的最大值為………12分

20.已知數列{an}是公差不為零的等差數列，，且存在實數滿足，.（1）求的值及通項an；（2）求數列的前n項和Sn.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）設出等差數列的公差d，然后退位相減便可得結果；（2）求出數列的通項公式，然后利用分組求和法解出數列的前項和.【詳解】（1）設等差數列的公差為，由……①得……②，①-②得，，又因為，解得；將代入①可得，即，又因為，所以.（2）由（1）可得，所以.【點睛】本題考查了等差數列、等比數列的通項公式和前項和公式的運用，基本量法是解題常見的方法.21.函數f（x）=的定義域為A，函數g（x）=的定義域為B。（1）求A；（2）若BA，求實數a的取值范圍。參考答案：解：（1）A：x＜-1或x≥1；…………6分

（2）B：（x-a-1）（x-2a）＜0…∵φ≠BA，∴①

∴a＞1

或②

∴a≤-2或≤a＜1；

∴a＞1或a≤-2或≤a＜1；…………12分22.（12分）已知函數f（x）=2xlnx﹣（x﹣a）2．（1）若f（x）在定義域上為單調遞減函數，求函數a的取值范圍；（2）是否存在實數a，使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零點，若存在，求出滿足a∈（n，n+1），n∈Z的n的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；函數恒成立問題．【分析】（1）求導，由題意可知：f′（x）≤0恒成立，構造輔助函數，求導，利用函數的單調性與導數的關系，即可求得函數a的取值范圍；（2）求導，當a≤0時，f（x）在[1，+∞）單調遞減，則f（1）≤f（1）=﹣（x﹣a）2＜0無零點，當a＞0時，構造輔助函數，求導，利用導數與函數單調性的關系及函數零點的判斷，即可求得存在n=0即a∈（0，1），使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零點．【解答】解：（1）由已知，函數f（x）的定義域為（0，+∞），求導f′（x）=2（lnx﹣x+1+a），則f（x）在定義域上單調遞減，則f′（x）≤0恒成立，則g（x）=f′（x）=2（lnx﹣x+1+a），則g′（x）=﹣2=，當x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）單調遞增，當x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x）單調遞減，即f′（x）在（0，1）內單調遞增，在（1，+∞）單調遞減，∴f′（x）≤f′（1）≤0，則a≤0，函數a的取值范圍（﹣∞，0]；（2）當x∈（0，1），xlnx＜0，∴f（x）=2xlnx﹣（x﹣a）2＜0恒成立，當x∈（1，+∞），由（1）可知，f′（x）在[1，+∞）單調遞減，①當a≤0時，由（1）可知，f（x）在[1，+∞）單調遞減，則f（1）≤f（1）=﹣（x﹣a）2＜0，f（x）無零點，不符合題意；②當a＞0時，設p（x）=ex﹣2x，（x＞0），p′（x）=ex﹣2，則p（x）＞p（ln2）=2﹣lnx2＞0，∴f′（ea+1）=2（a+1）﹣ea+1＜0，由f′（1）＞0，∴存在x0∈（1，ea+1），使得f′（x0）=0，即a=x0﹣1﹣lnx0，①故當且僅當x∈（1，x0）時，f′（x0）＞0，當x∈（x0，+∞），f′（x0）＜0，∴f（x）在（1，x0）內單調遞增，在（x0，+∞）內單調遞減，由f（x）≤0恒成立，且f（x）有唯一的零點，∴f（x0）=2x0lnx0﹣（x0﹣a）2=0，②由①②可知：，③聯立2x0lnx0﹣（x0﹣a）2=2x0lnx0﹣[x0﹣（x0﹣1﹣lnx0）]2=2x0lnx0﹣（1+lnx0）2，設φ（x）=2xlnx﹣（1+lnx）2，則φ（1