2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)“三招九型”輕松破解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題含答案

2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)“三招九型”，輕松破解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

目錄

一、重難點(diǎn)題型方法1

〈第一招:數(shù)形結(jié)合＞

題型一:求函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)所在區(qū)間

題型二:求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)

題型三:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍(不分參型)

題型四：比較零點(diǎn)的大小關(guān)系

題型五:求函數(shù)零點(diǎn)的和

〈第二招:分離參數(shù),

題型六:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍(分參型)

題型七:根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)分布求零點(diǎn)代數(shù)式的取值范圍

〈第三招:轉(zhuǎn)化化歸〉

題型八:嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

題型九:根據(jù)嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

二、針對(duì)性鞏固練習(xí)

重難點(diǎn)題型方法

v第一招:數(shù)形結(jié)合＞

題型一:求函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)所在區(qū)間

【典例分析】

典例1-1.(2022?河北?邢臺(tái)一中高一階段練習(xí))已知/3)在定義域上為單調(diào)函數(shù)，對(duì)(0,+8),

恒有/(/(⑼-log2t)=1，則函數(shù)/(工)的零點(diǎn)是()

A.2B.1C./D.—

典例1—2.(2022?天津市南開(kāi)中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高一階段練習(xí))已知函數(shù)/(￡)=!一log也,在下列

區(qū)間中，包含/(2)零點(diǎn)的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(2,3)C.(3,+8)D.(1,2)

典例1一3.(2022.貴州遵義?高一期中)若函數(shù)/Q)=/+。+館的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則小的取值范

圍為()

A.[-6,—2]B.(—6,—2)

C.(-8,-6]U[-2,+oo)D.(-oo,-6)U(-2,4-00)

【方法技巧總結(jié)】

1.零點(diǎn)存在性定理:如果函數(shù)9=73)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)?/(b)V

0,那么函數(shù)y=/(力在區(qū)間(a,6)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c€(a,b)，使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程的根。

2.注意:①不滿足/(a)40)VO的函數(shù)也可能有零點(diǎn).②若函數(shù)/Q)在區(qū)間［a,b］上的圖象是一條連續(xù)曲

線，則/(a)?/(b)<0是/(⑹在區(qū)間［a,切內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件.

【變式訓(xùn)練】

+2TT4()

?,，c，則函數(shù)g3)=

|lg磯x>0

/(I一0一1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為().

A.1B.2C.3D.4

2.(2022?北京市海淀區(qū)仁北高級(jí)中學(xué)需一階盤練習(xí))函數(shù)代為=/+5c—7的零點(diǎn)所在的區(qū)間可以是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

3.(2022?天津市南開(kāi)區(qū)南大奧宇線調(diào)學(xué)校高三階段練習(xí))函數(shù)/⑸=2<11<吟+<2?4工+3在區(qū)間4,1)上

有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.a<—B.a<—C.—<a<—爭(zhēng)D.a<—

題型二:求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)

【典例分析】

典例2—1.(2022?廣東?惠州一中方一期中)函數(shù)/(c)=e，|ln句一2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

典例2—2.(2021?陜西省神木中學(xué)方三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)/(⑼是定義在R上的偶函數(shù)，且

f(x+2)=/(rc)，當(dāng)0小巳&1時(shí)，/Q)=c,設(shè)函數(shù)g(c)=/(x)—log：㈤,則函數(shù)g(c)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.6B.8C.12D.14

典例2-3.(2022-黑龍江-哈爾濱三中高一階段練習(xí))若函數(shù)/(力)的定義域?yàn)镽,〃力-1)為偶函數(shù)，當(dāng)

*—1時(shí),f(x)=|3心一1|，則函數(shù)93)=73)-y的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.4

【方法技巧總結(jié)】

1.核心：函數(shù)的零點(diǎn)o方程的根0函數(shù)圖象與①軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

2.流程:利用函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù):①畫出函數(shù)/(公的圖象，函數(shù)/(①)的圖象與多軸在給定區(qū)間上交點(diǎn)的個(gè)

數(shù)就是函數(shù)/Q)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);②將函數(shù)拆成兩個(gè)圖象易得的函數(shù)九(0和g(z)的差，即/(工)=0等價(jià)

于九(0=g(z),則所求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=/i(z)^11y—g(x)的圖象在給定區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

3.注意:若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所給函數(shù)是周期函數(shù)，則只需求在一個(gè)周期內(nèi)

零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【變式訓(xùn)練】

ex

'，若函數(shù)g（*）=/（—切一/3），則函數(shù)

{—3a;,x<0

g（z）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.1B.3C.4D.5

2.（2022.安徽?高三階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)〃乃的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且/（2+2）+

/（⑼=/（1）JQ）在［0,2］上單調(diào)遞增，則/⑸在區(qū)間［-100,100］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.100B.102C.200D.202

3.（2022.山東青島?高三期中）已知偶函數(shù)/（工）的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）U（0,+8）,對(duì)任意X>0,都有/（力=

/傳），且當(dāng)x6［1,2）時(shí)，/（z）=sin7r;r,則函數(shù)gQ）=f（x）-ylog2|x|+l的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.14

題型三:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求套數(shù)范圍（不分）型）

【典例分析】

典例3—1.（2022.廣東?海球外國(guó)語(yǔ)實(shí)會(huì)中學(xué)南一階段練習(xí)）已知函數(shù)/（⑼=log述-（a>0且a羊

1）在（0,十］上無(wú)零點(diǎn)，在（//）上有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.（0,：）B.（j,l）U（1,+~）C.（0,j］D.（j.l）

典例3—2.（2022?黑龍江?杜香江市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)八為=

皿，x>0

■”‘有N個(gè)不同零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)3的范圍為（）

sin（tox+-^-）,一兀&4W0

A.招耳）B.4竽）C.（小^D.島竽］

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧：分類討論參數(shù)的不同取值情況，研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或取值。核心思想還是數(shù)形結(jié)合，需結(jié)合帶參討

論。

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?河南?安陽(yáng)一中方一期木）已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足/（2-口+/Q）=0,當(dāng)工€（0,1］時(shí),

/（x）=-log2：r,若函數(shù)FQ）=/（t）-sin（7ra）,在區(qū)間［-1,77?訂上有10個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）

A.［3.5,4）B.（3.5,4］C.（5,5.5］D.［5,5.5）

(a:—2)ln(x+1)1<x^m,

2.（2022-江西?赤三階盤練習(xí)（理））已知m>0,函數(shù)/㈤=,恰有3個(gè)零點(diǎn),

cos(3z+孑),mV/&兀,

則小的取值范圍是（）

A.［金，普）U［2,華）B」各招）U［2蓍］

C(0,普)U[2,普)D.(0,普)42,啕

題型四:比較零點(diǎn)的大小關(guān)系

【典例分析】

X

3.典例4—1.(2022*全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(c)=2+2xyg(x)=log2x+2x,h(x)=3'+2x的零

點(diǎn)分別為Q,b,c,則a,b,c的()

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>a>6D.a>b>c

4.典例4-2.（2022-福建泉州-商一階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)a,6,c分別滿足a?2。=b?log3b=c?log2c=1,則

Q,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>c>b

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧:觀察所屬函數(shù)，并畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小進(jìn)而判斷所求數(shù)的大小關(guān)系。

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(c)=x+x3,g(x)=力+33拉(c)=o+log3G的零點(diǎn)分別為g,

如知?jiǎng)txx,g,x3的大小順序?yàn)?)

A.x2>X3>X]B.x3>x2>XiC.Xi>x2>x3D.Xi>Xi>x2

2.(2023?全國(guó)*高三專題練習(xí))若實(shí)數(shù)a,b,c滿足2~a=ln(a+1),2-6=logh2一，=lnc/lj()

A.c<b<aB.a<c<b

C.c<a<bD.b<a<c

題型五:求函數(shù)零點(diǎn)的和

【典例

典例5—1.（2022-江西?上方二中寄二階段練習(xí)（文））函數(shù)/（⑼=sin（兀①）+不匕，則y=）的圖象

在（一2,4）內(nèi)的零點(diǎn)之和為（）

A.2B.4C.6D.8

典例5—2.（2022?江蘇?常熟中學(xué)高三階段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)/（⑼滿足“一為+〃。）=0,

/（—x）=/（%+2）；且當(dāng)xE[0,1]時(shí),f（x）=x3—x2+x.則方程4/（。）-c+2=0所有的根之和為（）

A.6B.12C.14D.10

【方法技巧總結(jié)】

1.零點(diǎn)之和需要掌握的方法：

（1）函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用：根據(jù)條件中函數(shù)滿足的關(guān)系式推導(dǎo)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性和在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)

性，并運(yùn)用性質(zhì)求零點(diǎn)和；

（2）數(shù)形結(jié)合:根據(jù)給定區(qū)間的函數(shù)解析式作圖,再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)補(bǔ)全剩余圖象；

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?福建盾福州第二中學(xué)方二期末）函數(shù)/⑸=sing-ln|2x-3|的所有零點(diǎn)之和為（）

A.9B.6C.4.5D.3

2.（2022-云南云南?模擬現(xiàn)測(cè)）已知定義在R上的偶函數(shù)/（⑹滿足/Q）=/（2—2）,當(dāng)①€[0,1]時(shí)，J（x）=

x.函數(shù)93）=6山7（—1〈2〈3）,則/（0與93）的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）

A.3B.4C.5D.6

V第二招:分離參數(shù)〉

題型六:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍（分）型）

【典例分析】

典例6-1.（2021.天津?肉一期末）定義在R上的函數(shù)/Q）滿足F3+l）=/（x-1）,且當(dāng)IW[-1,1）時(shí),

1,若在區(qū)間[0,5]上函數(shù)g（a;）=/3）-恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

（一㈤，0<x<1

館的取值范圍為（）

A.（―1-.0）B.（-8,一,）C.（-y.0）D.（―j-，-y）

工T>1

典例6-2.（2022?黑龍江?賓縣第二中學(xué)方一期中）已知函數(shù)/3）=~，若函數(shù)g（0=/

1|3工-11,①

3）—k有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）

A.（0,+oo）B.（0,1）C.[1,+oo）D.[1,2）

【方法技巧總結(jié)】

1.己知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利

用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

【變式訓(xùn)練】

J(x—1)3,x<2

1.(2022-北京?高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)/Q)=，若函數(shù)gQ)=/(0—a存在兩個(gè)零

[e2-1,x>2

點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(―co,0)B.(一8,1)C.(0,1)D.(1,+8)

2.(2021-陜西?安康市我學(xué)研究宣一模(理))已知函數(shù)/(2)=fE*+1)',若函數(shù)gQ)=f(x)-k\x\

[e—1,x<0

(kCR)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是()

A.(1,2)B.[1,2]C.(0,2)D.(-1,1)

3.(2022.四川看嬉舊中學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試)定義在R上的偶函數(shù)/(0滿足對(duì)任意的①eR,都有/(I+z)=

/(3—2)，當(dāng)2任[0,2]時(shí)，f(c)=J4—若函數(shù)1=/(4)—for在26(0,+8)上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k

的取值范圍為()

A.I15'3JB114'31135'151U,L35114/

題型七:根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)分布求零點(diǎn)代數(shù)式的取值范圍

【典例分析】

典例7-1.(2022?浙江?溫州市第八高級(jí)中學(xué)高一期中)設(shè)函數(shù)/(工)={言;若關(guān)于工的

方程/(%)=1有四個(gè)實(shí)根x1,x2,x3,a；4(xi<x2<x3<x4)，則力i+g+2g+4g的最小值為()

A.普B.*C.10D.9

sin7rx,

,./_，若有3個(gè)不

{log：口“n，o，

相等的實(shí)數(shù)a、b、c,且f(a)=f(b)=f(c),則a+b+c的取值范圍是()

A.[孑創(chuàng)B.居,3]C.信3]D.(孑,3)

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧:解決此題的關(guān)鍵是作出函數(shù)的圖象，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)為方程的根進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函

數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),再根據(jù)利用二次函數(shù)的對(duì)稱性及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及不等式的性質(zhì)即可求解.

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?安徽?高一階段練習(xí))已知函數(shù)人。)=「°g產(chǎn)卜(%>o)

且CiVgVgV叫時(shí)，/Qi)=

X2+2V2x+3,(cWO)

/(g)=/(g)=f(叫)，則§+2的取值范圍為()

*3XiX3+X2X3

A.(十⑼B.[2,+oo)C.(4,+oo)D.[-64,-4)

2.(2022?安徽店懷寧縣第二中學(xué)高三階段嫉習(xí))已知函數(shù)fQ)=["g?'若a,b,c互不相等,

[一□?+11,x>10

且/(a)=/(b)=/(c)，則abc的取值范圍是()

A.(1,10)B.(1,11)C.(10,11)D.(10,+8)

V第三招:轉(zhuǎn)化化歸〉

題型八:嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

【典例分析】

7*2—21TT()

2'/c，則關(guān)于Z的方程2[/(乃]2+

{—X,

/3)-1=0有()實(shí)根.

A.6個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【方法技巧總結(jié)】

1.分類:嵌套函數(shù)分為：”二次嵌套型"y=a[/Q)『+/(c)+c與“自嵌套型”9=分/(乃].

2.技巧：利用換元的思想將函數(shù)轉(zhuǎn)化為內(nèi)外函數(shù)，并畫出內(nèi)外函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合，將問(wèn)題化歸為單

個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題。需注意的是內(nèi)外函數(shù)的自變量的區(qū)別與關(guān)系。

【變式訓(xùn)練】

L(2023?全國(guó)?方三專題練習(xí))已知函數(shù)fQ)=爐-3z，則函數(shù)無(wú)㈤=f[f(x)]-c,cE[-2,2]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

()

A.5或6個(gè)B.3或9個(gè)C.9或10個(gè)D.5或9個(gè)

題型九:根據(jù)嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求)數(shù)

【典例

x2ex,/VI

典例9—1.(2022?安徽?合用一中方三階段練習(xí))已知函數(shù)〃工)=-、「若關(guān)于力的方程

既e，x>l

[/(⑼產(chǎn)-2時(shí)(乃=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

B,+8

A.-(魯用U信

,+8

C.D?序?qū)?U（導(dǎo)

典例9-2.(2020-安微盾河縣第一中學(xué)模板覆測(cè)(理))已知函數(shù)/(x)=

STS,若函數(shù)9㈤r

(/(⑼)恰有8個(gè)零點(diǎn)，則a的值不可能為()

A.8B.9C.10D.12

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧:通過(guò)分解為內(nèi)外函數(shù)，配合數(shù)形結(jié)合的思想求解參數(shù)范圍，遇見(jiàn)難的函數(shù)可以配合求導(dǎo)完善圖象。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣西?桂林市第五中學(xué)方三階段練習(xí)（文））已知定義在A上的函數(shù),=/（0是偶函數(shù)，當(dāng)多>0

2sin-yx,040&1

時(shí)，f（8）=,1Q，若關(guān)于x的方程[/3）r+時(shí)（￡）+b=0（Q,bGH）,有且僅有6個(gè)不同

實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(-4,-y)

C.(-4,-^-)U(-y-f)D-(-4)—1-Juf-l.-y)

x+1,%WO

2.（2023?史慶?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)（H）1I八，若關(guān)于多的方程產(chǎn)（0+（m—4）/3）+2（2

/=m?，①〉。

一?。?0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是（）

A.[1,3）B.（0,2）C.[1,2）D.（0,1）

針對(duì)性鞏固練習(xí)

練習(xí)一:求函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)所在區(qū)間

1.（2022?淅江盾杭州學(xué)軍中學(xué)方一期中）已知/Q）是定義域?yàn)椋?,+8）的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意的立€

（0,+8）,都有咒/（切一log.*]=3,則函數(shù)沙=2,⑺一工的零點(diǎn)為（）

X

A.4-B.4-C.2D.3

2.（2022-Z東?廣州市第九十七中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)/（⑼=1g/+2力一5的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

3.（2021-江蘇看鐵江中學(xué)玄一階盤練習(xí)）函數(shù),"一2姐+a—1在（0,1）上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是（）

A.0<a<1B.aVO或a>lC.a>1D.aV—1或a>0

練習(xí)二:求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)

4.（2022?陜西?渭南市瑞泉中學(xué)高三階段練習(xí)（理））函數(shù)/（z）=sin（;r+￡）—|lgz|零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

5.（2022?河南?新安縣第一高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/Q）的圖像是連續(xù)不間

斷的曲線，且/3+2）+/（x）=/（1）,對(duì)任意的為，gC[—2,0],為￥g,⑹>。恒成立，則f

（功在區(qū)間[—100,100]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.100B.102C.200D.202

6.(2022?上海市七寶中學(xué)方三期中)定義域?yàn)镠的函數(shù)“乃的圖象關(guān)于直線H=1對(duì)稱，當(dāng)zC［0,1］時(shí)，

/(0)=0,且對(duì)任意］611只有/3+2)=—/(力)，93)=('八，則方程g(c)-g(-%)=0

l-log2025(-^),CVO

實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為()

A.2024B.2025C.2026D.2027

練習(xí)三:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求套數(shù)范圍(不分套型)

9X—n1

,'、恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

{x(x—a),1

A.(-oo,1)B.(0,2)C.(0,+8)D.［1,2)

8.(2023-全fl?商三專題練習(xí))若方程-2一m=0(m>0,且zn#1)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則優(yōu)的取值范

圍是()

A.(0,1)B.(2,+oo)C.(0,1)U(2,+8)D.(1,+~)

練習(xí)四:比較零點(diǎn)的大小關(guān)系

9.(2021-江蘇?無(wú)得市市北高級(jí)中學(xué)方一期中)知函數(shù)/㈤=(/)①一2,=。-2—(打，Me)=x3-x

Q>0),方程,3)=0,g(x)=O,h(x)=0的根分別為Q,b,c,則Q,b,c的大小順序?yàn)?)

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.b>a>c

10.（2022?山東厚坊?方三期末）已知2tt=logia,36=logift,（：y=log2C,則（）

A.a<6<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

練習(xí)五:求函數(shù)零點(diǎn)的和

11.(2023-全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)/(力)=1—(力一兀)sine在區(qū)間［―

A.0B.27tC.4兀D.6冗

12.(2022?北京大興?高一期中)已知/(c)為定義在R上的奇函數(shù)，且八0=/(2—。)，當(dāng)［0,1］時(shí)，/(0

=力，則當(dāng)化€［-3,5］時(shí),f(x)=的所有解的和為()

a_11

A.4B.yC.5D.號(hào)

練習(xí)六:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范囹（分參型）

—1,x0

13.（2022?全國(guó)?南一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（切=412「若函數(shù)g（±）=/3）—k有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)

十2,力0U,

數(shù)k的取值范圍是（）

A.（0,4-oo）B.（0,+8）U{-1}C.[0,+8）D.（—l,4-oo）

((白1\2，i

14.（2022-廣西北海-玄二期末（文））已知函數(shù)/（⑼=，若函數(shù)gQ)=/(x)+2k-for恰好

(6—2)3,T<3

有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.（—8,0）U（0,1）B.[1,+<?）C.（l,+oo）

練習(xí)七:根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)分布求零點(diǎn)代數(shù)式的取值范圍

15.（2022-吉林?長(zhǎng)春市第五中學(xué)方二期木）已知函數(shù)/（工）‘>°，函數(shù)R（乃=/（x）-b有四

■+4c+1,cMO

個(gè)不同的零點(diǎn)0，62,工3,口，且滿足：為2V￡3<力4,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.0<6<1B.日1C.電+g=-4D.①3，g=1

O

(IN+]|&Q

16.(2022?河南?界州十九中方二開(kāi)學(xué)才武)已知函數(shù)/(乃=,,，若方程有4個(gè)不同的

l|logix|,x>0

根多”x;,x3,±4,且;ri<g<g<g,則-^-y—x4(x,+x9)的取值范圍是()

①:兩

A.[472,6)B.[2,4V2)C.(2,4V2]D.[472,9]

練習(xí)八:嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

17.（2022?遼寧?曷圖縣第一高級(jí)中學(xué)高二期末）已知函數(shù)=

3—x~—2xx]

■上4」則函數(shù)沙=/（/（，））一3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

Xz,x

H---X--->1,，

A.2B.3

C.4D.5

練習(xí)九:根據(jù)嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求套數(shù)

18.(2022?安徽?合肥一中南一階段練習(xí))已知函數(shù)/3)=已二2；，斐：：，若方程[f(x)]2-(3fc+4)/(^)+fc

=0有三個(gè)不等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.{^|fc<y}B.{砸=0或%

C.卜k=0或k>}}D.卜,〈:}

19.(2022.江蘇?南京碑大附中方一院盤練習(xí))設(shè)館是不為0的實(shí)數(shù)，已知函數(shù)/3)=

""''2,若函數(shù)尸(二)=2(『(3；))2—何(3；)有7個(gè)零點(diǎn),則771的取值范圍是()

[x~-10x4-24,x>2

A.(-2,0)U(0,16)B.(0,16)C.(0,2)D.(-2,0)U(0,4-oo)

“三招九型”,輕松破解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

目錄

一、3點(diǎn)題型方法1

〈第一招:數(shù)形結(jié)合＞

題型一:求函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)所在區(qū)間

題型二:求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)

題型三:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍(不分參型)

題型四：比較零點(diǎn)的大小關(guān)系

題型五:求函數(shù)零點(diǎn)的和

〈第二招:分離參數(shù),

題型六:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍(分參型)

題型七:根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)分布求零點(diǎn)代數(shù)式的取值范圍

〈第三招:轉(zhuǎn)化化歸＞

題型八:嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

題型九:根據(jù)嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

二、針對(duì)性鞏固練習(xí)

重難點(diǎn)題型方法

V第一招:數(shù)形結(jié)合,

是型一:求函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)所在區(qū)間

【典例

典例1-1.(2022?河北?邢臺(tái)一中方一階段練習(xí))已知『(c)在定義域上為單調(diào)函數(shù)，對(duì)VxG(0,+8),

恒有/(/(乃一log22)=1,則函數(shù)/Q)的零點(diǎn)是()

A.2B.1C.D.——

【答案】C

【分析】先根據(jù)/(⑼單調(diào)，結(jié)合已知條件求出/(①)的解析式，然后再進(jìn)一步研究函數(shù)/(N)的零點(diǎn).

【詳解】解：因?yàn)?(⑼是定義域?yàn)?0,+8)的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的IE(0,+8),

都有句=1,

故可設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)。W(0,+8),使得/(Q)=1,

則設(shè)/(①)—log2x=a,所以/(”)=log2rr+a,

所以/(a)=log2a+a=1,則log2a=1—a,

由于函數(shù)y=1。儂。在(。,+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)g=1—%在(0,+8)上單調(diào)遞減，

又log2l=0=1—1,所以Q=l,

故/3)=log2a?+1,再令f(c)=log2x+1=0,xG(0,+8),

解得：①=/,故函數(shù)/(①)的零點(diǎn)是券.

故選：C.

典例1一2.(2022?天津市南開(kāi)中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校玄一階盤練習(xí))已知函數(shù)/Q)=L—log也,在下列

X

區(qū)間中，包含/(⑼零點(diǎn)的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(2,3)C.(3,+8)D.(1,2)

【答案】D

【分析】利用零點(diǎn)存在定理可判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間.

【詳解】因?yàn)橄?［在(0,+8)上為減函數(shù)，y=k>gM在(0,+co)上為增函數(shù)，

故/(①)在(0,+8)上為減函數(shù)，

而/(1)=1-10821=1>0,汽2)=3一10822=—9<(),

故/3)的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)中,

故選：D.

典例1—3.(2022?貴州遵義?高一期中)若函數(shù)/Q)=/+土+館的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范

圍為()

A.[-6,-2]B.(-6,-2)

C.(—oo,-6]U[―2,+co)D.(―86)U(-2,4-co)

【答案】B

【分析】因?yàn)?(⑼在(1⑵上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)的存在性定理知要使/㈤在(1,2)上存在零點(diǎn)，需要滿足

匕m，求得小的取值范圍.

【詳解】因?yàn)?(工)在(1,2)上單調(diào)遞增，且〃土)的圖象是連續(xù)不斷的,

所以丘汨=4+2+m>0,解得—6VmV—2.

故選：3.

【方法技巧總結(jié)】

1.零點(diǎn)存在性定理:如果函數(shù)y=/(G在區(qū)間［a向上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(a)?/(?V

0,那么函數(shù)?=/(。)在區(qū)間(a,6)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c€(a,b),使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程的根。

2.注意:①不滿足/(a)?/(&)<0的函數(shù)也可能有零點(diǎn).②若函數(shù)/(2)在區(qū)間［a,b］上的圖象是一條連續(xù)曲

線，則〃a)?『(b)V0是/3)在區(qū)間［a,b］內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件.

【變式訓(xùn)練】

2QQ>X&0

'，則函數(shù)g(c)=

|lg磯x>0

/(1一工)一1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為().

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】通過(guò)解法方程9(立)=0來(lái)求得。(立)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】由g(2)=0可得—0=1.

當(dāng)cW0時(shí)，/+2H=1=>z=-1—V2,或rr=-1+V2(舍去)，

當(dāng)a;>0時(shí)，|lgz|=1=>z=1()或工=去.

故1—c=-1—V2=>力=2+，^是g(力)的零點(diǎn)，

1—①=10=1=—9是g(c)的零點(diǎn)，

1().

1—是。(宓)的零點(diǎn).

綜上所述，g(力)共有3個(gè)零點(diǎn).

故選:C

2.(2022?北京市海淀區(qū)仁北方級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))函數(shù)/(切=/+5c—7的零點(diǎn)所在的區(qū)間可以是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【分析】利用零點(diǎn)存在性定理，可得答案.

【詳解】/(0)=-7<0,/(1)=1+5-7=-1<0,/(2)=8+10-7=11>0,/(3)=27+15-7=35>

0,/(4)=64+20-7=77>0,

由/(1)/(2)<0,則函數(shù)"⑼的零點(diǎn)存在的區(qū)間可以是(1,2),

故選：B.

3.(2022.天津市南開(kāi)區(qū)南大臭字母調(diào)學(xué)校方三階段練習(xí))函數(shù)/Q)=2a\og2x+a?4,+3在區(qū)間(專,1)上

有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.a<—B.a<—C.—<a<—D.a<—

【答案】D

【分析】分析可知aWO,函數(shù)/(①)在區(qū)間(5,1)上單調(diào)，利用零點(diǎn)存在定理可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，

解之即可.

【詳解】當(dāng)a=()時(shí)，/(工)=3,不合乎題意.

當(dāng)a>()時(shí)，由于函數(shù)y=2alog2：r、y=a-4"+3在(-^-,1)上均為增函數(shù)，

此時(shí)函數(shù)/⑻在(4,1)上為增函數(shù).

當(dāng)a<0時(shí)，由于函數(shù)y=2alog2Z、y=a?4"+3在(十/)上均為減函數(shù)，

此時(shí)函數(shù)/⑸在(y,l)上為減函數(shù).

因?yàn)楹瘮?shù)/⑸在區(qū)間(十,1)上有零點(diǎn)，則/僚?/⑴<0,

、？

即3(4a+3)V0,解得aV—~r>

4

故選：D.

題型二:求函數(shù)零點(diǎn)成方程根的個(gè)數(shù)

【典例分析】

典例2—1.(2022?廣東?急州一中高一期中)函數(shù)/Q)=e*n劍一2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為9(氏)與滅3)的圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出圖像即可得解.

【詳解】因?yàn)?/'(./-)e1ln.7；|—2,令/(力)=0,貝1C，|ln2；|-2=0,即|1口力|=jq

2(.，唱

令。(z)=Hnrr|,則g(x)的圖像是。=Inx的圖像保留c軸上方的圖像，同時(shí)將\

)軸下方的圖像沿著々軸向上翻折得到的圖像，如圖所示，

令=2(；)'，則h(x)的圖像是。=(乙『的圖像的縱坐標(biāo)獷大2倍，橫坐?

-O|1x

標(biāo)保持不變得到的圖像，如圖所示，

所以gQ)與h(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即/(。)=e，|lnc|-2有兩個(gè)零點(diǎn).

故選：C.

典例2—2.(2021?陜西省神木中學(xué)高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)/(⑼是定義在R上的偶函數(shù)，且

f[x+2)=/Q),當(dāng)0&1時(shí),J(x)=c,設(shè)函數(shù)g(c)=/(%)—log?1土],則函數(shù)g(c)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.6B.8C.12D.14

【答案】C

【分析】由已知可得函數(shù)/(①)的周期，作出兩函數(shù)g=/(。)與y=log7|x|在(0,4-oo)上的部分圖象，數(shù)形結(jié)

合可得兩函數(shù)在(0,+8)上的交點(diǎn)公式，再根據(jù)對(duì)稱性得答案.

【詳解】解：函數(shù)/(力)是定義在R上的偶函數(shù)，所以/(一/)=/(i),且/Q+2)=/(。)

所以/(一①)=/3+2),則函數(shù)g=73)的圖象關(guān)于1=1對(duì)稱，

函數(shù)。(①)=/(乃-logykl的零點(diǎn)即為/Q)=log7|rc|的根，

又函數(shù)/(①)滿足/(①+2)=[3),則f3)的周期為2,

函數(shù)g=/(c)與y=iog7㈤的圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱，

作出兩函數(shù)在(0,+oo)上的部分圖象如圖：

由圖可知，兩函數(shù)在(0,+8)上有6個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可得，

g(⑼的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為12.

故選：C.

典例2-3.(2022.黑龍江?哈爾濱三中高一階段練習(xí))若函數(shù)/Q)的定義域?yàn)镽JQ-1)為偶函數(shù)，當(dāng)

0—1時(shí),/(乃=|3-，一1|,則函數(shù)gQ)=/(c)-j-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】令3一,一120解得0&0,令37：—1〈0解得1>0,

(紂T-1<工=0

所以當(dāng)/》一1時(shí)，/(?)=|3一]一1|=<

-(豺+1，8>0

f(x-1)為偶函數(shù)，所以/(4一1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以/(化)的圖象關(guān)于直線0=-I軸對(duì)稱，

故作出了(c)的圖象如下,

令g⑺=/3)一方=。,即/⑺=之，

由圖象可知，/(%)的圖象與沙=十的圖象共有四個(gè)交點(diǎn),

所以函數(shù)g(0)=/(x)—y的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).

故選：D

【方法技巧總結(jié)】

1.核心：函數(shù)的零點(diǎn)O方程的根Q函數(shù)圖象與。軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)O兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

2.流程:利用函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù):①畫出函數(shù)/(0的圖象，函數(shù)"0的圖象與工軸在給定區(qū)間上交點(diǎn)的個(gè)

數(shù)就是函數(shù)/(①)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);②將函數(shù)拆成兩個(gè)圖象易得的函數(shù)九(0和g(⑹的差，即/(乃=0等價(jià)

于h(x)=g⑸,則所求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=h(x)和y=gQ)的圖象在給定區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

3.注意:若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所給函數(shù)是周期函數(shù)，則只需求在一個(gè)周期內(nèi)

零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【變式訓(xùn)練】

x

(e工>0

1.(2023?陜西西安?高三期末(理))已知函數(shù)/(功='，若函數(shù)gQ)=/(—±)—/3),則函數(shù)

1―3/，/<0

gQ)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1