第四章-差異量數課件

第四章差異量數有如下三組數據：A:7,7,8,8,8,9,9M=8B:4,5,7,8,9,11,12M=8C:1,4,7,8,9,12,15M=8圖4-1平均數相同的三組數據分布圖這三組數據的平均數都是8，但它們的整齊程度顯然不一樣?？梢?，對于一組數據只用集中量數來代表還不能全面反映情況，還須有反映其變異性（整齊程度，或離中趨勢）的度量，變異性實質上刻化了集中量數的代表性程度。要想描述一組數據的全貌，必須同時使用集中量數和差異量數。因為集中量數描述數據的典型性特點，差異量數描述數據的變異性特點。差異量數：離散量數，是指對一組數據的變異性，即離中趨勢特點進行度量和描述的統(tǒng)計量。差異量數越大，表明數據分布越分散、越不集中；差異量數越小，表明數據分布越集中，變動范圍越小。常用的差異量數主要有：全距、四分位差、百分位差、平均差、標準差與方差等。第一節(jié)全距與百分位差一、全距全距(Range,R)：兩極差，一組數據的最大值與最小值之差。R=Xmax－Xmin全距是說明數據離散程度的最簡單的統(tǒng)計量。如果兩極端值有偶然性或屬于異常值時，全距不穩(wěn)定、不可靠、也不靈敏；受抽樣變動影響。二、百分位差（百分位距）百分位數(Percentile)：百分位點，是指量尺上的一個點，在此點以下，包括數據分布中全部數據個數的一定百分比。百分位差是指兩個百分位數之差。常用的百分位距有兩種：P90－P10和P93－P7。用幾個百分位距能較好地反映一組數據的差異程度。（一）百分位數的計算公式Pp：所求的第P個百分位數；Lb：百分位數所在組的精確下限；f：百分位數所在組的次數；Fb：小于Lb的各組次數的和；N：總次數；i：組距。向上累加頻數分布表，求百分位數的步驟：1.找到P百分位數所對應的名次，即nP%；2.從累加頻數中找到該名次所在的分組，以及該組的頻數f和組距i；3.找到該分組區(qū)間精確下限值Lb和此值以下的累加頻數Fb；4.代入公式即可算出Pp值。例4-1用下面的次數分布表計算該分布的百分位差P90－P10。組別f向上累加次數65～115760～415655～615250～814645～1613840～2412235～349830～216425～164320～112715～91610～77合計157解：157×10/100=15.70157×90/100=141.30P90－P10=51.56－19.33=32.23（二）百分位數與百分等級利用百分位數的計算公式可以計算出任意分數在整個分數分布中所處的百分位置，稱為該分數的百分等級(percentilerank,PR)。百分等級是一種相對位置量數，是百分位數的逆運算。當分數按照大小順序排列后，用百分等級就可以表示任何一個分數在該團體中的相對位置。百分等級的計算公式PR：百分等級；X：給定的原始分數；f：該分數所在組的頻數；Lb：該分數所在組的精確下限；Fb：小于Lb的各組次數的和；N：總次數；i：組距。三、四分位差四分位差(quartiledeviation,Q)：百分位差的一種，指在一個次數分布中，中間50%的次數的距離的一半。四分位差反映了數據分布中中間50%數據的散布情況。P25、P75與中位數一起把整個數據的次數等分為四部分，因此稱它們?yōu)樗姆种?，或四分位?quartile)。四分位距是第三個四分位數與第一個四分位數之差的一半，計算公式為四分位差通常與中位數聯(lián)系起來共同應用。第二節(jié)平均差、方差與標準差一、動差體系中心動差：以平均數為原點的動差。常見的中心動差：一級動差二級動差三級動差四級動差平均差(averagedeviation,A.D.;meandeviation,M.D.)：次數分布中所有原始數據與平均數絕對離差的平均值。例4-2有5名受試的錯覺實驗數據如下，求其平均差。被試12345錯覺量(ms)1618202217解：已知N=5，=18.6原始數據計算公式次數分布表計算公式三、方差與標準差（一）定義公式方差與標準差是最常用的描述次數分布離散程度的差異量數。例4-3計算6，5，7，4，6，8這一組數據的方差和標準差。解：平均數：方差標準差（二）原始分數計算公式例4-3計算6，5，7，4，6，8這一組數據的方差和標準差。解：（三）計算分組數據的方差與標準差組距離差計算法分組區(qū)間XCfdfdfd296～9726127293～9435157590～9144166487～8883247284～85112224481～82171171778～791900075～7614﹣1﹣141472～7310﹣2﹣204069～707﹣3﹣216366～673﹣4﹣124863～641﹣5﹣52560～611﹣6﹣636合計10028570分組數據求方差與標準差的步驟標準差（三）總標準差的合成方差具有可加性。需要注意的是，只有在應用同一種觀測手段，測量的是同一種特質，只是樣本不同的數據時，才能計算合成方差或標準差。例4-4在三個班級進行某項能力研究，三個班測查結果的平均數和標準差分別如下，求三個班的總標準差。班級ns14210316236110123509817解：①∑Ni=42+36+50=128②標準差（四）方差與標準差的性質和意義1.性質方差具有可加性和可分解性。標準差：（1）每一個觀測值都加上一個相同常數C之后，計算得到的標準差等于原標準差。（2）每一個觀測值都乘以一個相同的常數C（C≠0），則所得的標準差等于原標準差乘以常數C。（3）每一個觀測值都乘以同一個常數C（C≠0），再加一個常數d，則所得的標準差等于原標準差乘以常數C。2.方差與標準差的意義方差與標準差是表示一組數據離散程度的最好指標，是統(tǒng)計分析中最常用的差異量數。標準差具備一個良好的差異量數應具備的條件：反應靈敏、計算公式嚴密確定、容易計算、適合代數運算、受抽樣變動影響小、簡單明了。切比雪夫定理隨機變量落在平均值附近的概率與標準差有一定的數量關系。對于任何一個數據集合，至少有的數據落在平均數的h（h為大于1的實數）個標準差之內。如果數據呈正態(tài)分布，則落在平均數上下一個標準差之內的占68.26%，落在平均數上下兩個標準差之內的占95.45%，落在平均數上下三個標準差之內的占99.73%。第三節(jié)標準差的應用一、差異系數差異系數(coefficientofvariation,CV)：變異系數、相對標準差，是一種相對差異量，指標準差與其算術平均數的百分比。差異系數在心理與教育研究中常用于：①同一團體不同觀測值離散程度的比較；②對于水平相差較大，但進行的是同一種觀測的各種團體，進行觀測值離散程度的比較。例4-5已知某小學一年級學生的平均體重為25千克，體重的標準差是3.7千克，平均身高110厘米，標準差為6.2厘米，問體重與身高的離散程度哪個大？解：差異系數的應用條件：測量的數據要保證具有等距尺度；觀測工具應具備絕對零；差異系數只能用于一般的相對差異量的描述。二、標準分數標準分數（standardscore），又稱為基分數或Ｚ分數（Z-score），是以標準差為單位表示一個原始分數在團體中所處位置的相對位置量數。標準分數從分數對平均數的相對地位、該組分數的離中趨勢兩個方面來表示原始分數的地位。（一）計算公式例4-7某班平均成績?yōu)?0分，標準差為3分，甲生得94.2分，乙生得89.1分，求甲乙二學生的Z分數各是多少？解：（二）標準分數的性質1.Ｚ分數無實際單位，是以平均數為參照點、以標準差為單位的一個相對量。2.一組原始分數轉換得到的Ｚ分數既有正值，也有負值，所有原始分數的Ｚ分數之和為零，即∑Z=0，。3.一組原始數據中，各個Ｚ分數的標準差為１，即sZ=1。4.若原始分數呈正態(tài)分布，則轉換得到的所有Z分數值呈均值為０，標準差為１的標準正態(tài)分布。（三）標準分數的優(yōu)點可比性可加性明確性穩(wěn)定性（四）標準分數的應用1.用于比較幾個分屬性質不同的觀測值在各自數據分布中相對位置的高低。例4-8某年高考理科數學全國平均成績65分，標準差是12.5分?？忌鶤、B、C三人的數學原始分數是50分、65分、85分。求他們的標準分數是多少？2.計算不同質的觀測值的總和或平均值，以表示在團體中的相對位置。例4-9A、B兩個學生在三種考試中的分數見下表，試比較二人的分數是否有差別。

考試sXAXBxAxBZAZB1708709002002.5255457512－40.5－1342545403－20.6－0.4∑1721811.11.1例4-10下表是高等學校入學考試中兩名考生甲與乙的成績分數。試問根據考試成績應優(yōu)先錄取哪名考生？考試科目原始分數全體考生Z分數甲乙平均分標準差甲乙語文858970101.51.9政治706265510.6外語68726980.1250.375數學53405060.51.67理化72877580.3751.5∑3483502.51.5053.表示標準測驗分數經過標準化的心理和教育測驗，常常用標準分數表示測驗結果。如果其常模分數分布接近正態(tài)分布，為了克服標準分數出現的小數、負數和不易為人們所接受等缺點，常常是將其轉換成正態(tài)標準分數。轉換公式為：三、異常值的取舍表4-2全距與標準差的比率隨N變化率N510152040501002004005007001000R/s2.33.13.53.74.34.55.05.55.96.16.36.5第四節(jié)差異量數的選用一、優(yōu)良差異量數具備的標準1.應該是根據客觀數據資料獲得的，而不是人為的主觀估計決定的；2.應該是根據全部觀測值計算得出來的，而不是個別數據計算的結果，否則就不能代表全部數據的分布特征；3.應當簡明，容易理解，不應過于帶有數學抽象性質；4.計算應該方便、容易、迅速；5.應該最少受到抽樣變動的影響（樣本的穩(wěn)定性），在反復取樣過程中具有相對恒常性；6.應當能夠采用代數方法計算。二、各種差異量數優(yōu)缺點比較標準差方差全距平均差百分位差四分位差三、各種差異量數之間的關系當次數分布的N值相當大，分布形式呈正態(tài)分布時，各種差異量數之間存在著固定的數量關系：s=1.2533AD=1.4826QAD=0.7979s=1.1829QQ=0.6745s=0.8453AD四、如何選用差異量數1.當樣本是隨機取樣時，s、Q、R三個差異