高中數學教案教程7

[重點]：復數的概念、復數的運算、復數的一些應用三部分。

復數的概念：復數的代數形式，復數的模，輻角，共軛復數，規(guī)定了復數的加，減，乘，除運算，利用復數的相等求平方根，一元二次方程求根，復數的幾何意義：點，向量與解析幾何的聯系。

[難點]：一元二次方程根的討論。

[例題講解]：

例1．m為何實數時，復數Z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)是(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數；(4)零。

解：Z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i=(2m+1)(m-2)+(m-1)(m-2)i

(1)當m=1或m=2時，Z是實數。(2)當m≠1且m≠2時，Z是虛數。

(3)當即當時，Z是純虛數。

(4)當即m=2時，Z是零。

例2．已知：，求實數x。

解：

即或x≥8。

例3．計算：

解：原式=

例4．求的平方根。

解：設的平方根為x+yi(x,y∈R)，

則

由復數相等的定義得(1)2+(2)2，得(x2+y2)2=25x2+y2=5(舍去負值)........(3)

(1)+(3)，x2=3,x=,(3)-(1),y2=2,。

∵，∴或

∴的平方根為。

例5．已知：|Z+2-2i|=1，求：|Z|的最值。

解：|Z-(-2+2i)|=1，幾何意義：Z在復平面上對應的點集是以O＇(-2,2)為圓心，r=1的圓。

|Z|的幾何意義是⊙O＇上的點與原點的距離；，

∴,。

例6．說明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲線。

解：原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a，

幾何意義是Z在復平面上對應的點Z與F1(-1,0)，F2(2,0)距離之和等于2a的軌跡，|F1F2|=3。

(1)當2a>3即時，Z的軌跡是以F1，F2為焦點，2a為長軸的橢圓。

(2)當2a=3即時，Z的軌跡是線段F1，F2。(3)當2a<3即時，Z的軌跡不存在。

例7．已知a∈R，方程x2+2x+a=0的兩根為a、b，求|a|+|b|。

解：∵a∈R，∴方程為實系數一元二次方程，可以用Δ來判定方程有無實根。

(1)當Δ=4-4a≥0，即a≤1時，方程的根a、b為實數根。由韋達定理

又∵|a|+|b|≥0，

∴

①當0≤a≤1時，|a|+|b|=2,②當a<0時，|a|+|b|=。

(2)當Δ=4-4a<0，即a>1時，方程的根a、b為虛根。

例8．已知是實系數一元二次方程ax2+bx+1=0的根，求a,b的值。

解：。方法(1)∵實系數一元二次方程虛根為一對共軛復數，∴也是該方程的根。

由韋達定理：解得：a=1，。

方法(2)，∵是方根的根，代入原方程整理得：

。由復數相等的定義得解得a=1，。

[參考練習]

一、選擇題：

1．下面四個命題，正確的是（）。

A、|Z|2=Z2(Z∈C)B、(Z∈C)

C、|Z|<1-1<Z<1(Z∈C)D、|Z1-Z2|=0Z1=Z2(Z1,Z2∈C)

2．Z1，Z2∈C,則Z1+Z2∈R,且Z1·Z2∈R，是Z1與Z2共軛的（）。

A、充分但不必要條件B、必要但不充分條件

C、充要條件D、既不充分也不必要條件

3．復數的共軛復數是（）。

A、3-4iB、3+4iC、D、

4．關于x的一元二次方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一個實根，則m的取值范圍是（）。

A、B、

C、D、

5．在復平面內，若|Z-1+2i|+|Z-1-2i|=4.則復數Z的對應的點的軌跡是（）。

A、橢圓B、圓C、直線D、線段

6．設Z=x+yi(x,y∈R)，則滿足等式|Z+2|=-x的復數Z對應的點的軌跡是（）。

A、橢圓B、雙曲線C、拋物線D、圓

7．若P、Q是復平面內|Z|=2與直線的兩個交點，則P與Q之間的距離為（）。

A、B、C、D、

二、填空題

1．設復數Z1=2-i,Z2=1-3i,則復數的虛部等于________。

2．-5-12i的平方根是______。

3．若x∈C且x2+ix+6=5x+2