兩個變量的線性相關(guān)

兩個變量的線性相關(guān)在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？散點圖：兩個變量的散點圖中點的分布的位置是從左下角到右上角的區(qū)域，即一個變量值由小變大，另一個變量值也由小變大，我們稱這種相關(guān)關(guān)系為正相關(guān)。二、兩個變量的線性相關(guān)思考：1、兩個變量成負(fù)相關(guān)關(guān)系時，散點圖有什么特點？兩個變量的散點圖中點的分布的位置是從左上角到右下角的區(qū)域，即一個變量值由小變大，而另一個變量值由大變小，我們稱這種相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)。2、你能舉出一些生活中的變量成正相關(guān)或者負(fù)相關(guān)的例子嗎？3、若兩個變量散點圖呈下圖，它們之間是否具有相關(guān)關(guān)系？散點圖回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線就叫做回歸直線。這條回歸直線的方程，簡稱為回歸方程。方案一：采用測量的方法：先畫一條直線，測量出各點到它的距離，然后移動直線，到達(dá)一個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，就得到回歸方程。如何具體的求出回歸方程？方案二、在圖中選取兩點畫直線，使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同。我們應(yīng)該如何具體的求出這個回歸方程呢？方案三、在散點圖中多取幾組點，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。我們應(yīng)該如何具體的求出這個回歸方程呢？上述三種方案均有一定的道理，但可靠性不強(qiáng)，我們回到回歸直線的定義。求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看，各點與直線的偏差最小”。計算回歸方程的斜率和截距的一般公式：其中，b是回歸方程的斜率，a是截距。最小二乘法的公式的探索過程如下：設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）設(shè)所求的回歸直線方程為Y=bx+a，其中a，b是待定的系數(shù)。當(dāng)變量x取x1，x2，…，xn時，可以得到

Yi=bxi+a（i=1，2，…，n）它與實際收集得到的yi之間偏差是

yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，…，n）（x1，y1）（x2，y2）（xi，yi）yi-Yiy

x這樣，用這n個偏差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差”是比較合適的。我們可以用計算機(jī)來求回歸方程。人體脂肪含量與年齡之間的規(guī)律，由此回歸直線來反映。將年齡作為x代入上述回歸方程，看看得出數(shù)值與真實值之間有何關(guān)系？年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2回歸值12.815.122.023.225.527.828.4年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6回歸值30.130.731.832.433.034.134.7若某人65歲，可預(yù)測他體內(nèi)脂肪含量在37.1％（0.577×65-0.448=37.1％）附近的可能性比較大。但不能說他體內(nèi)脂肪含量一定是37.1％。例、假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x（年）和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統(tǒng)計資料：使用年限x（年）23456維修費用y（萬元）2.23.85.56.57.0若資料知y，x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：（1）線性回歸方程Y=bx+a的回歸系數(shù)a、b；（2）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？iˉˉ解：（1）于是有b=（112.3-5*4*5）/（90-5*4^2）=1.23,a=5-1.23*4=0.08（2）回歸方程為Y=1.23x+0.08，當(dāng)x=10時，Y=12.38（萬元），即估計使用10年時維護(hù)費用是12.38萬元。小結(jié)1.求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：第一步，計算平均數(shù),第二步，求和,第三步，計算第四步，寫出回歸方程2.回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，各樣本點大致分布在回歸直線附近.對同一個總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機(jī)性.3.對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可求得“回歸方程”，如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程”是沒有實際意義的.因此，對一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程.例1：有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：1、畫出散點圖；2、從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；3、求回歸方程；4、如果某天的氣溫是2攝氏度，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)。1、散點圖2、從圖3-1看到，各點散布在從左上角到由下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲