史上最全的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法15種

文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理?WOKi版本可編輯?歡迎下載支持.最全的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法數(shù)列是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，每年的高考題都會(huì)考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式一一通項(xiàng)公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。直接法直接法根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫出通項(xiàng)公式。例1? 根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，說出數(shù)列的通項(xiàng)公式:1、3、3、2丄討，黑4、 1.疔1丄 5、 1、0、1、0?二、公式法利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)若已知數(shù)列的前"項(xiàng)和S”與alt的關(guān)系，求數(shù)列｛匕｝的通項(xiàng)心可用公式 求解.Pn-九 心2(注意：求完后一定要考慮合并通項(xiàng))例2.①已知數(shù)列仏｝的前〃項(xiàng)和S〃滿足求數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式.②己知數(shù)列伉｝的前“項(xiàng)和滿足sn=n2+n-l,求數(shù)列伉｝的通項(xiàng)公式.己知等比數(shù)列伉｝的首項(xiàng)?=1,公比Ovgvl，設(shè)數(shù)列血｝的通項(xiàng)為bn=anU+ ,求數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式。③解析：由題意，仇+】=a*+①心，又｛色｝是等比數(shù)列，公比為Q=q、故數(shù)列｛b〃｝是等比數(shù)列，切=心+你=〃兇+。兇‘=q(q+l),???仇=q(q+l)?/T=q”(g+l)?三、歸納猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)或能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面證明。例3-(2002年北京春季高考)已知點(diǎn)的序列N\其中兀=0,x2=a(a>0),心是線段九心的中點(diǎn)，人是線段4九的中點(diǎn)，…，代是線段AiAt的中點(diǎn)，…

（2） 設(shè)心=兀申-柿計(jì)算6,①衛(wèi)3,由此推測(cè)｛心｝的通項(xiàng)公式，并加以證明。（3） 略X4-x解析：（1）???心是線段仏的中點(diǎn)，???兀= ； （心）（2）aA=x2- =ci-O=a9猜想d”=（一丄）"5心GNT,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1°當(dāng)n=l時(shí)，勺=a顯然成立;2°假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即務(wù)=（-—嚴(yán)gNJx+x ] ]則n=k+l時(shí)，％+]=忑+2-xk+1=丄一^—--xk=-—(忑+]~xk)=~—ak:.當(dāng)口=1:+1時(shí)命題也成立，???命題對(duì)任意nwN*都成立。變式：（2006,全國(guó)H,理,22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列（a,,｝的前"項(xiàng)和為S”,且方程x2—attx—an=0有一根為S?—1,n=l,2,3,…（I）求d"d2；（ID｛a?｝的通項(xiàng)公式，對(duì)于形如①出=J+/（/?）型或形如匕出=f（n）af!型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出11取1到n時(shí)的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項(xiàng)公式。例4.若在數(shù)列｛?！保校?=3,an+l=a?+n,求通項(xiàng)a“。解析：由a申=an+n得attU-an=n,所以將以上各式相加得：an-a{=(w-l)+(n-2)+???+!,又勺=3所以狀嚀+3例5.在數(shù)列&”｝中,6=1,%=2”％（*礦）,求通項(xiàng)陽。解析：由己知獨(dú)=2",丄=2心，弘=2'宀,an an-k an-2n(n-l)所以色=亠an-\?五、取倒（對(duì)）?五、取倒（對(duì)）【法a.如=pa：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為f/zr+1=pan+q,再利用待定系數(shù)法求解b、數(shù)列有形如f（an,all_^aliali_i）=0的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以先求出丄,再求得a”,a”％ 5c、°”+1==幾"M；解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為a,^-pan+qog（H）5+h?）例6..設(shè)數(shù)列｛a”｝滿足勺=2,a申=-（“gN）,求g°”+3解：原條件變形為an+1?a”+3?①舊=a”.兩邊同乘以一—，得1+3?丄=丄an* ana“+l5=I.2x3"T-1例7、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛a”｝滿足①=1,a“=2a二（n$2）.求數(shù)列仏｝的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對(duì)數(shù)得：log；"=l+21og；z,log?+l=2（log嚴(yán)+1）,設(shè)b“=log；”+l,則bm ｛?｝是以2為公比的等比數(shù)列，?=log；+l=l.b?=lx2”t=2n_1,log?+1=2”t,log?=2"-"—1, ???an=2宀變式：a o1?己知數(shù)列｛an｝滿足：ai=-,且an=-一 （n>2,neN*）2 2an_1+n-l（1） 求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；（2） 證明：對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式ai*a2? an<2*ii!2、若數(shù)列的遞推公式為厲=3,丄=丄-2（〃wN）,則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。3、己知數(shù)列｛%｝滿足=l,w>2時(shí)，an^-an=2an^an,求通項(xiàng)公式。4、已知數(shù)列4、已知數(shù)列｛aj滿足:求數(shù)列（aj的通項(xiàng)公式。5、若數(shù)列｛an｝中，曰]二1,&卄]二nGN+,求通項(xiàng)耳?5+2?六、迭代法迭代法就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計(jì)算.例8、 (2003?高考?廣東)設(shè)<2。為常數(shù)，且a.=3」'一2a(n為正整數(shù))證明對(duì)任意n21,<2?=[3=+(-1)P-'J? 215]+(-1)R?2Rao證明：a?=3R_1-2a”=3"—2(3宀一2an<)=3n_1-2?3r<+22(3「宀一2<2a-s)=3n_1-2?3r<+22?3a_3-23(3aM-2a=3n_1-2-3n<+2 3「$—???+(-1)n_1?2n_14-(-1)n?2R<20(-1)R?2"a。前面的n項(xiàng)組成首項(xiàng)為3n_1,公比為一的等比數(shù)列，這n項(xiàng)的和為：=[3=+(-1)"?215]/.ar=[3"+(-1)n_1? 2"]+(-1)n?2"ao?七、待定系數(shù)法：求數(shù)列通項(xiàng)公式方法靈活多樣，特別是對(duì)于給定的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通?？蓪?duì)遞推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，該方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為己知的化歸思想，運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。1.通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列｛a”+k｝的形式求解。一般地，形如an+1=pq分解法：設(shè)a,.+q（p^l#pq^O）型的遞推式均可通過待走系數(shù)法對(duì)常數(shù)q分解法：設(shè)a曲+"p（an+k）與原式比較系數(shù)可得Pk-k=q/即"冷’從而得等比數(shù)列｛a”+k｝。例9、數(shù)列｛a”｝滿足a=l,<2,,=^-<2^+1（”$2）,求數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)公式。解：由“十”」（心2）得監(jiān)-2冷（力-2）,而才2二—???數(shù)列｛"2｝是以*為公比―為首項(xiàng)的等比數(shù)列n-1?n-1?"2-(1)-文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.說明：通過對(duì)常數(shù)1的分解，進(jìn)行適當(dāng)組合，可得等比數(shù)列｛6—2｝,從而達(dá)到解決問題的目的。練習(xí)、1數(shù)列3」?jié)M足①二1,3atl+l+q廠7=0,求數(shù)列3”｝的通項(xiàng)公式。TOC\o"1-5"\h\z7解：由3%+色一7=0得an+l=--an+-k1 7設(shè)①+k=--g+燈，比較系數(shù)得-k--=—解得k=一一m 3 3 3 47 1 7 7 3???｛心―一｝是以―一為公比，以①—一=1———為首項(xiàng)的等比數(shù)列4 3 4 4 4Aall--=--x（--y-ina”=?一2X（一丄）14 4 3 " 44 32、己知數(shù)列｛%｝滿足6=1,且an+l=3an+2,求％.解：設(shè)an+l+1=3（a?+1）,則an+l=3a?+2t=＞t=l,an+l+1=3（a?+1）=＞｛a?+1｝是以（勺+1）為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列二＞%+1=（勺+1）?3”-1=2-3"T二＞%=2?3"-1—1點(diǎn)評(píng)：求遞推式形如?n+1=pan+q（p、q為常數(shù)〉的數(shù)列通項(xiàng)，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列%+壬=+J-）來求得，也可用“歸納一猜想一證明”法來求，這也是近年高考考得p-1 1-P很多的一種題型.2、 遞推式為％嚴(yán)M+嚴(yán)（p、q為常數(shù)）時(shí)，可同除q申,得瞎=2?紹+1，令化=丄從而化歸qqq q為a”+i=Pan+Q（p、q為常數(shù)）型.、例10.已知數(shù)列伉｝滿足勺=1,a”=3”+2%（n＞2）.求％.解：將曾=3”+2%t兩邊同除3",得乞=1+如L=＞也t=l+?色耳n1 3〃 3〃 3〃 33'Li設(shè)仇=守，則億=1+彳仇十令?—/=彳（億_廠/）二＞乞=彳化_]+￥Xf Qdf=3.條件可化成仇一3=彳（勺1一3）,數(shù)列｛仇一3｝是以b廠3=彳一3=-扌為首項(xiàng)，扌為公比的等比數(shù)列.^-3=-|x（|r-.因b?=^,Q7%=bH3"=3”（--x（-）-1+3）n山=3”刊-2用.3、 形如all+l=pan+an+b1,0,z?h0）解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令a?u+x（n+l）+y=p^an+xn+y）,與已知遞推式比較,解出x,y，從而轉(zhuǎn)化為｛ci?+xn+y｝是公比為p的等比數(shù)列。例11:設(shè)數(shù)列｛an｝:①=4,陽=3?1+2"-1,（"二2）,求心.解：令an+i+x（n+1）+y=3K+xn+y）化簡(jiǎn)得：= + +（2x=2 （x=l所以（2『-兀=-1解得b=。，所以％+1+（兀+1）=3（%+〃）又因?yàn)閍i+1=5,所以數(shù)列｛勺+刃｝是以5為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。從而可得Q“+n=5x3"\所以a“=5x3"l-n變式：（2006,山東，文,22,本小題滿分14分）q=_、點(diǎn)（〃、2匕+]_礙）己知數(shù)列｛a,t｝中，2 在直線y=x上，其中n=l,2,3….（[）令仇=%一°”-3,求證數(shù)列0”堤等比數(shù)列; （II）求數(shù)列伉喲通項(xiàng);4、 形如a/j+l=pan+an2+b刃+c（卩工1、0,*工0）解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令cin+l+x（n+1）2+y（n+1）+c=p（an+xn2+yn+c）,與已知遞推式比較，解出x,y,乙從而轉(zhuǎn)化為｛a”+xn1+yn+c]是公比為p的等比數(shù)列。例12：設(shè)數(shù)列｛a”｝：q=4,a”=3a“_]+2/—1,（刃X2）,求a”.遞推公式為6/?+2=pa?u+qan（其中p,q均為常數(shù)）。解法一（待定系數(shù)法）：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為a*-皿”+產(chǎn)2”+廠?）其中s,t滿足＜S+tPst=-q解法二（特征根法）：對(duì)于由遞推公式①*=叫」+qa「①=a?=0給出的數(shù)列伉｝，方程x2-px-q=0,叫做數(shù)列&”｝的特征方程。若兀是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)石工兀時(shí)，數(shù)列伉｝的通項(xiàng)為a?=Ax；-1+Bxr1,其中A,B由ci\=a,ci,=/3決定（即把勺宀心入和n=1,2,代入a”=Ax；~l+Bx異,得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)“=兀時(shí)，數(shù)列伉｝的通項(xiàng)為an=（A+Bn）x"~l,其中a,B由aA=a,a2=p決定（即把a(bǔ)l,a2,xl,x2和“=1,2,代入a?=（A+ ，得到關(guān)于A、E的方程組）。]例13:已知數(shù)列｛a”｝中‘?=1,a?=2,cin+2=—anJri+—‘求a”°變式：1?已知數(shù)列訃滿足兔=1,冬=3衛(wèi)卄2=3?+】一2匕（"w ?（I）證明：數(shù)列｛a+1-a｝是等比數(shù)列；（H）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;（III）若數(shù)列｛bn｝滿足小-叩戶…梓-1=（atl+1屮（ngN、,證明他｝是等差數(shù)列。2]2?己知數(shù)列伉｝中,=1,a2=2,an+2=—fln+i+^a?f求""3.已知數(shù)列｛a“｝中，S”是其前〃項(xiàng)和，并且5?+1=4^+2（/?=1,2,.-.）,^=1,⑴設(shè)數(shù)列bn=①曲—2a”（“=1,2,……），求證：數(shù)列仮｝是等比數(shù)列；⑵設(shè)數(shù)列c”=*,（〃=l,2,……）,求證：數(shù)列｛c”｝是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列伉｝的通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)和。2.八:特征根法。設(shè)已知數(shù)列｛?｝的項(xiàng)滿足①+d,其中心0,心1,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。作岀一個(gè)方程x=cx+d,則當(dāng)%=①時(shí)，an為常數(shù)列,即an=勺;當(dāng)豐兔時(shí),an=bn+x0,其中｛bn｝是以c為公比的等比數(shù)列，即b”=?c"TQ=6—入.對(duì)于由遞推公式①曲=p%+qa“，①=ct,a2=0給岀的數(shù)列｛心｝,方程F—px—g=0，叫做數(shù)列伉｝的特征方程。若提特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)“工心時(shí)，數(shù)列伉｝的通項(xiàng)為％=Ar；-1+BxT,其中A,B由①=%冬=0決定（即把a(bǔ)^a2,Xl,x2和〃=1,2，代入①=Av；-1+ ,得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)呂=無時(shí)，數(shù)列伉｝的通項(xiàng)為an=｛A+Bn）x^,其中A,B由①=久①=0決定（即把無和〃=1，2,代入心=（4+物）礦1,得到關(guān)于A、B的方gffiL例14：（1）己知數(shù)列｛%｝滿足a,=?,a2=Z>,3??+2-5a?+1+2an=0（w>0,ngiV）,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。解法一（待定系數(shù)一一迭加法）由3%-5%+】+2an=0,得2a卄2一%=y（陥-陽），且a2-a,=b-a.則數(shù)列仏出-a”｝是以b-a為首項(xiàng)，彳為公比的等比數(shù)列，于是2a”+i一an=0-?）（-）n_1。把〃=1,2,3,…,n代入，得

a2-ak=b-a,2=@_a)?(亍hn4-?3=(/?-?)(|)2,2a”_%=(b_d)(§)f把以上各式相加，得9]_(土嚴(yán)2 2 2 W口”一4=(b-d)[l+3+(3)+—+(3)”7]=—— (b-a)o1——322...a”=[3-3(-),,_1](^-a)+ci=3(a-/2)(-)n_1+3b_2a。解法二(特征根法：這種方法一般不用于解答題)：數(shù)列｛?！保?a”+2—5d”+】+2d”=O(〃nO,〃wN),2=a,a2=b的特征方程是：3x'-5x+2=0。 ?/xL=1,x2=―,:.a?=Ax；-1+ =A+B-(|)n_1o乂由d]=Qyd-y=b,于是6/= (A=3b-2a6/= (A=3b-2a2=>b=A+-B B=3@—b)i9故an=3b-2a+3(a-(2).已知數(shù)列｛a”｝滿足：q,m=-*”-2/gN,?=4,求a”.1 , 3 3 11解：作方程x=--x-2.則x°=__? 當(dāng)?=4時(shí)，a工兀上=a2 1 1 01 2 2數(shù)列｛bn｝是以-g為公比的等比數(shù)列./r-1#(一擴(kuò),色/r-1#(一擴(kuò),色T+乞=—|+￥(—》n.九：不動(dòng)點(diǎn)法，形如0”+1=解法：如果數(shù)列｛匕｝滿足下列條件：已知①的值且對(duì)于HGN,都有①出=叫+?(其中p、q、r、h均?+h為常數(shù)，且phn"a嚴(yán)丄),那么，可作特征方程兀=竺卑，當(dāng)特征方程有且僅有一根心時(shí)，則

r rx+h是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根〔時(shí)，貝#2匚玉4是等比數(shù)列。

a+4例15：已知數(shù)列｛色｝滿足性質(zhì)：對(duì)于~~，且6=3,求｛?｝的通項(xiàng)公式.2a”+3例：已知數(shù)列｛。”｝滿足：對(duì)于〃wN,都有％產(chǎn)空匸蘭.a”+3(1)若山=5,求％;(2)若q=3,求a”；(3)若①=6,求a”；(4)當(dāng)①取哪些值時(shí)，無窮數(shù)列⑺”｝不存在？變式：(2005,重慶，文,22,本小題滿分12分)數(shù)列K｝滿足勺=1且8陥厲-16%+2an+5=0(n>1).記b?=—Ly(n>1).an——”2(I)求仇、上、b,、加的值;(II)求數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式及數(shù)列｛anbn｝的前11項(xiàng)和S”.?十：換元法：類比函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種，目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù)列具有規(guī)律性。例］6已知數(shù)列｛%｝滿足an+l=丄(l+4a”+Jl+24d“),?=1,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。16解：令?二J1+24?,則陽=召(侏一1)故卩田=言(你+1-1)，代入=￡(1+°%+Jl+24a”)得即"二=(b”+3)，因?yàn)閎”=J1+24%?0,故9+產(chǎn)Jl+24%+；n01 3則2億+1=b”+3,即bn+l=2^n+2,可化為b卄廠3氣(b廠3),所以仇―3｝是以也-3=Jl+24q-3=Jl+24xl_3=2為首項(xiàng)，以丄為公比的等比數(shù)列，因此2$一3=2(護(hù)=(*嚴(yán),則汗(擴(kuò)+3,即加莎;=(擴(kuò)+3,得-3-3+XI/1-2

z(\+

1W4-3-」12評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過將J1+24?的換元為仇,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化bt^=-bn+-形式,2

從而可知數(shù)列｛0-3｝為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛bn-3｝的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列｛色｝的通項(xiàng)公式。例例18?已知數(shù)列伉｝滿足6=*7C 71 71/. =cos—,a.=cos———,…，a?=cos——:——- 6 22-3 2心?3總之，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，就是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（或等比）數(shù)列，從而利用等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求其通項(xiàng)。H。雙數(shù)列解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例19.已知數(shù)列伉｝中，勺=1；數(shù)列仮｝中，%=0。當(dāng)n>2時(shí),①|(zhì)（2心】+ +2b“_J，求①，％?解：因?+仇=+（2卩円+bQ+| +2仇t）=所以a?+b?=①t+b葉嚴(yán)a?_2+b?_2=...=a2+b2=a.+b^l(1)即a”+b”=l(1)又因?yàn)閐”-bH=￡(2g”t+b”_J- +2b,J= -b?_J所以①-?=+(Q”t一)=(》'an_2-bit_2)=……=(|)w(勺一bj?十二、周期型解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。2an^<a?<|）例20：若數(shù)列仏.｝滿足％+|例20：若數(shù)列仏.｝滿足％+|1 72①一1，（亍<°”<1）變式：（2005,湖南，文，5）A?0 E?-羽 C.羽 D?2?十三、分解因式法當(dāng)數(shù)列的關(guān)系式較復(fù)雜，可考慮分解因式和約分化為較簡(jiǎn)形式，再用其它方法求得心?例21.已知/（x）=（x-l）4,g（x）=L（x-l）',0"H0,l）,數(shù)列｛?！保凉M足aY=2,an=1N）,且有條件（a”-％）?g（"T）