曲線積分計算方法課件

習(xí)題課一、曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法線面積分的計算第十一章習(xí)題課一、曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法線面積分1一、曲線積分的計算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標(biāo))(1)選擇積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終練習(xí)題:P244題3(1),(3),(6)一、曲線積分的計算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長2解答提示:計算其中L為圓周提示:

利用極坐標(biāo),原式=說明:若用參數(shù)方程計算,則P2443(1)解答提示:計算其中L為圓周提示:利用極坐標(biāo),原式=說3P244

3(3).計算其中L為擺線上對應(yīng)t從0到2的一段弧.提示:P2443(3).計算其中L為擺線上對應(yīng)t從4P2443(6).計算其中由平面y=z截球面提示:因在上有故原式=從z軸正向看沿逆時針方向.P2443(6).計算其中由平面y=z截5(1)利用對稱性及重心公式簡化計算;(2)利用積分與路徑無關(guān)的等價條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.2.基本技巧(1)利用對稱性及重心公式簡化計算;(2)利用積分與路6例1.計算其中為曲線解:利用輪換對稱性,有利用重心公式知(的重心在原點(diǎn))例1.計算其中為曲線解:利用輪換對稱性,有利用7例2.計算其中L是沿逆時針方向以原點(diǎn)為中心、解法1令則這說明積分與路徑無關(guān),故a為半徑的上半圓周.例2.計算其中L是沿逆時針方向以原點(diǎn)為中心、解法1令8解法2

它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何計算下述積分:(1)若L改為順時針方向,如何計算下述積分:則添加輔助線段解法2它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式)思考:(2)若9思考題解答:(1)(2)思考題解答:(1)(2)10證:把例3.設(shè)在上半平面內(nèi)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對任意t>0都有證明對D內(nèi)任意分段光滑的閉曲線L,都有兩邊對t求導(dǎo),得:則有因此結(jié)論成立.(2006考研)證:把例3.設(shè)在上半平面內(nèi)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對任11計算其中L為上半圓周提示:沿逆時針方向.練習(xí)題:P244題3(5);P245題6;11.3(5).用格林公式:計算其中L為上半圓周提示:沿逆時針方向.練習(xí)題:P2412P245

6

.設(shè)在右半平面x>0內(nèi),力構(gòu)成力場,其中k為常數(shù),證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關(guān).提示:令易證F沿右半平面內(nèi)任意有向路徑L

所作的功為P2456.設(shè)在右半平面x>0內(nèi),力構(gòu)成力13P245

11.求力沿有向閉曲線

所作的其中為平面x+y+z=1

被三個坐標(biāo)面所截成三提示:方法1從z軸正向看去沿順時針方向.利用對稱性角形的整個邊界,功,P24511.求力沿有向閉曲線所作的其中14設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?方向向上,則方法2利用公式斯托克斯公式設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?方向向上,則方法2利用公式斯托克斯15例4.設(shè)L是平面與柱面的交線從z軸正向看去,L為逆時針方向,計算解:記

為平面上

L所圍部分的上側(cè),D為在xOy面上的投影.由斯托克斯公式公式例4.設(shè)L是平面與柱面的交線從z軸正向看去,L為逆16D的形心D的形心17二、曲面積分的計算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))轉(zhuǎn)化二重積分(1)選擇積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負(fù)第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面二、曲面積分的計算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積18思考題1)二重積分是哪一類積分?答:第一類曲面積分的特例.2)設(shè)曲面問下列等式是否成立?

不對!對坐標(biāo)的積分與的側(cè)有關(guān)思考題1)二重積分是哪一類積分?答:第一類曲面積分192.基本技巧(1)利用對稱性及重心公式簡化計算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化2.基本技巧(1)利用對稱性及重心公式簡化計算(2)利20練習(xí):P244題4(3)

其中為半球面的上側(cè).且取下側(cè),原式=P244題4(2),P245題10同樣可利用高斯公式計算.記半球域?yàn)?高斯公式有計算提示:以半球底面為輔助面,利用練習(xí):P244題4(3)其中為半球面的上側(cè).且取下21例5.證明:設(shè)(常向量)則單位外法向向量,試證設(shè)為簡單閉曲面,a

為任意固定向量,n為的例5.證明:設(shè)(常向量)則單位外法向向量,試證設(shè)22例6.計算曲面積分其中,解:思考:本題

改為橢球面時,應(yīng)如何計算?提示:在橢球面內(nèi)作輔助小球面內(nèi)側(cè),然后用高斯公式.例6.計算曲面積分其中,解:思考:本題改為橢球面時23例7.設(shè)是曲面解:取足夠小的正數(shù),

作曲面取下側(cè)使其包在內(nèi),為xOy平面上夾于之間的部分,且取下側(cè),取上側(cè),計算則例7.設(shè)是曲面解:取足夠小的正數(shù),作曲面取24第二項(xiàng)添加輔助面,再用高斯公式,注意曲面的方向!得第二項(xiàng)添加輔助面,再用高斯公式,注意曲面的方向!得25例8.計算曲面積分中

是球面解:利用對稱性用重心公式例8.計算曲面積分中是球面解:利用對稱性用重心公式26作業(yè)P2443(2),(4);4(2)5;9作業(yè)P2443(2),(4);27備用題1.

已知平面區(qū)域L為D的邊界,試證證:(1)根據(jù)格林公式①②所以相等,從而左端相等,即(1)成立.(2003考研)因①、②兩式右端積分具有輪換對稱性,備用題1.已知平面區(qū)域L為D的邊界,試證證:(128(2)由①式由輪換對稱性(2)由①式由輪換對稱性29(1)在任一固定時刻,此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是

2.

地球的一個偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機(jī)能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像,若地球半徑為R,衛(wèi)星距地球表面高度為H=0.25R,衛(wèi)星繞地球一周的時間為T,試求(2)在解:如圖建立坐標(biāo)系.的時間內(nèi),衛(wèi)星監(jiān)視的地球表面積是多少?多少?設(shè)衛(wèi)星繞y軸旋轉(zhuǎn)(1)在任一固定時刻,此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是30(1)利用球坐標(biāo),任一固定時刻監(jiān)視的地球表面積為(2)在時間內(nèi)監(jiān)視的地球表面積為點(diǎn)擊圖片任意處播放開始或暫停