江蘇省南京市第二中學2022年高三數學理月考試卷含解析

江蘇省南京市第二中學2022年高三數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（2009江西卷文）已知函數是上的偶函數，若對于，都有，且當時，，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：C解析：,故選C.2.已知集合，則（

）A．

B． C．

D．參考答案：D3.設復數z滿足=i，則|z|=(

)A．1 B． C． D．2參考答案：A【考點】復數求模．【專題】計算題；數系的擴充和復數．【分析】先化簡復數，再求模即可．【解答】解：∵復數z滿足=i，∴z==i，∴|z|=1，故選：A．【點評】本題考查復數的運算，考查學生的計算能力，比較基礎．4.橢圓=1（a＞b＞0）的一個焦點為F1，若橢圓上存在一個點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質．【分析】設線段PF1的中點為M，另一個焦點F2，利用OM是△FPF2的中位線，以及橢圓的定義求出直角三角形OMF1的三邊之長，使用勾股定理求離心率．【解答】解：設線段PF1的中點為M，另一個焦點F2，由題意知，OM=b，又OM是△FPF1的中位線，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由橢圓的定義知

PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b，又MF1=PF1=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得離心率e==，故選：D．【點評】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用離心率公式和橢圓的定義：橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和等于常數2a．5.下列說法正確的個數是（

）①“若a+b≥4，則a，b中至少有一個不小于2”的逆命題是真命題②命題“設a，b∈R，若a+b≠6，則a≠3或b≠3”是一個真命題③“”的否定是“”④a+1＞b是a＞b的一個必要不充分條件A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C對于①，原命題的逆命題為：若中至少有一個不小于，則，而滿足中至少有一個不小于，但此時，故①是假命題；對于②，此命題的逆否命題為“設，若且，則”，此命題為真命題，所以原命題也是真命題，故②是真命題；對于③“”的否定是“”，故③是假命題；對于④，由可推得，故④是真命題，故選C．6.要得到函數的圖象，只需將的圖象()

A．向左平移個單位

B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向右平移個單位參考答案：B7.某交高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調查.這種抽樣方法是(A)簡單隨機抽樣法

(B)抽簽法

(C)隨機數表法

(D)分層抽樣法參考答案：D

【解析】本小題主要考查抽樣方法。若總體由差異明顯的幾部分組成時，經常采用分層抽樣的方法進行抽樣。故選D。8.從中任取個數字,可以組成沒有重復數字的三位數共有（

）

A.個

B.個

C.個

D.個參考答案：C略9.已知，則（）A．

B． C．

D．參考答案：【知識點】指數與指數函數對數與對數函數B6B7【答案解析】A

，則b>a>1,由得0<c<1,所以b>a>c,所以，故選A.【思路點撥】先利用指數函數對數函數性質確定大小，再根據指數函數的單調性求出結果。10.函數圖象上相鄰的最高點和最低點之間的距離為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】的周期是2π，最大值為，最小值為﹣，即可求出相鄰的最高點和最低點之間的距離．【詳解】的周期是2π，最大值為，最小值為﹣，∴相鄰的最高點和最低點的橫坐標之差為半個周期π，縱坐標之差為，∴圖象上相鄰的最高點和最低點之間的距離是，故選：A．【點睛】本題考查了函數y＝Acos（ωx+）的圖象與性質的應用問題，是基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數x，y滿足，則點P（x，y）構成的區(qū)域的面積為，2x+y的最大值為，其對應的最優(yōu)解為

．參考答案：8，11，（6，﹣1）．【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，從而求出三角形的面積，令z=2x+y，變形為y=﹣2x+z，顯然直線y=﹣2x+z過B（6，﹣1）時，z最大，進而求出最大值和最優(yōu)解．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，∴點P（x，y）構成的區(qū)域的面積為：S△ABC=×8×2=8，令z=2x+y，則y=﹣2x+z，當直線y=﹣2x+z過B（6，﹣1）時，z最大，Z最大值=2×6﹣1=11，∴其對應的最優(yōu)解為（6，﹣1），故答案為：8，11，（6，﹣1）．12.極坐標系下曲線表示圓，則點到圓心的距離為

；

參考答案：略13.已知正數滿足，則的最小值為

．參考答案：14.三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽，若每人都選擇其中兩個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是

.參考答案：略15.若變量x，y滿足約束條件則z=3x–y的最大值是___________.參考答案：9根據不等式組約束條件可知目標函數在(3,0)處取得最大值為9.

16.已知以原點為頂點的拋物線C，焦點在x軸上，直線x-y=0與拋物線C交于A、B兩點。若P(2,2)為AB的中點，則拋物線C的方程為

。參考答案：17.在直角坐標系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線的參數方程為（為參數），曲線的極坐標方程為，則與交點在直角坐標系中的坐標為___________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系xoy中，以O為頂點，x軸正半軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為。（1）求的值；（2）求的值．參考答案：（1）；（2）．試題分析：（1）由題意A，B的橫坐標分別為，先確定的值，從而確定的值，先求，再根據兩角和差公式求得的值；（2）可先求的值，再由的范圍確定的值．試題解析：由條件得，為銳角，故．同理可得，因此．（1）?！啵?），∵

，從而．考點：（1）三角函數的定義；（2）兩角和差的正切公式．19.（本小題滿分14分）

設函數．

（1）若在處的切線與直線平行，求的值；

（2）討論函數的單調區(qū)間；

（3）若函數的圖象與軸交于兩點，線段中點的橫坐標為，

求證：．參考答案：（1）;（2）時，在上單調遞增,②時，單調遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（3）見解析（1）由題知的定義域為，且．又∵的圖象在處的切線與直線平行，∴，即解得………4分（2），由，知>0．①當時，對任意，在上單調遞增。②當時，令，解得，當時，，當時，，此時，的單調遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為……9分（3）不妨設，且，由（2）知，則要證成立，只需證：即．∵，，兩式相減得：，即，∴，故只需證，即證明，即證明，變形為，設，令，則，顯然當時，，當且僅當時，=0，∴在上是增函數．

又∵，

∴當時，總成立，命題得證．…14分20.某分公司經銷某種品牌的產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司交a（3≤a≤5）元的管理費，預計當每件產品的售價為x（9≤x≤11）元時，一年的銷售量為（12﹣x）2萬件．（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式；（2）當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）．參考答案：考點：導數在最大值、最小值問題中的應用．專題：應用題．分析：（1）根據題意先求出每件產品的利潤，再乘以一年的銷量，便可求出分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式；（2）根據L與x的函數關系式先求出該函數的導數，令L′（x）=0便可求出極值點，從而求出時最大利潤，再根據a的取值范圍分類討論當a取不同的值時，最大利潤各為多少．解答： 解：（1）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數關系式為：L=（x﹣3﹣a）（12﹣x）2，x∈[9，11]．（2）L′（x）=（12﹣x）2+2（x﹣3﹣a）（12﹣x）×（﹣1）=（12﹣x）2﹣2（x﹣3﹣a）（12﹣x）=（12﹣x）（18+2a﹣3x）．令L′（x）=0得x=6+a或x=12（不合題意，舍去）．∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤．在x=6+a兩側L′的值由正值變負值．所以，當8≤6+a≤9，即3≤a≤時，Lmax=L（9）=（9﹣3﹣a）（12﹣9）2=9（6﹣a）；當9＜6+a≤，即＜a≤5時，Lmax=L（6+a）=（6+a﹣3﹣a）[12﹣（6+a）]2=4（3﹣a）3，即當3≤a≤時，當每件售價為9元，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9（6﹣a）萬元；當＜a≤5時，當每件售價為（6+a）元，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=4（3﹣a）3萬元．點評：本題主要考查了函數的導數的求法以及利用導數來求得函數的最值問題，是各地2015屆高考的熱點和難點，解題時注意自變量的取值范圍以及分類討論等數學思想的運用，屬于中檔題．21.設和是函數的兩個極值點，其中.（1）若，求的取值范圍；（2）若,求的最大值(注:是自然對數的底數).參考答案：(Ⅰ)解