第4節(jié)　二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

第四節(jié)二項(xiàng)分布與正態(tài)分布第十二章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.通過具體實(shí)例,掌握二項(xiàng)分布并能解決簡單的實(shí)際問題.2.了解正態(tài)分布及其均值與方差.1.二項(xiàng)分布2.正態(tài)分布1.直觀想象2.數(shù)據(jù)分析3.數(shù)學(xué)建模4.數(shù)學(xué)運(yùn)算強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略1.二項(xiàng)分布進(jìn)行n次試驗(yàn),如果滿足以下條件:(1)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相互對立的結(jié)果,可以分別稱為“成功”和“失敗”;(2)每次試驗(yàn)“成功”的概率均為p,“失敗”的概率均為1-p;(3)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.用X表示這n次試驗(yàn)中成功的次數(shù),則P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如上所述,稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,簡記為

.

X~B(n,p)(σ>0)為參數(shù).我們稱函數(shù)f(x)的圖像為正態(tài)分布密度曲線.(2)正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn):①曲線在x軸的上方,與x軸不相交;②曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱;④曲線與x軸之間的面積為1;⑤當(dāng)σ一定時(shí),曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移(如圖(1));⑥當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定.σ越大,曲線越“胖”,總體分布越分散;σ越小,曲線越“瘦”,總體分布越集中(如圖(2)).(3)正態(tài)分布的3σ原則:即正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ-σ<X<μ+σ)=

;

②P(μ-2σ<X<μ+2σ)=

;

③P(μ-3σ<X<μ+3σ)=

.

0.6830.9540.997微點(diǎn)撥1.在正態(tài)分布中σ2為數(shù)據(jù)的方差,所以σ越小,數(shù)據(jù)在μ附近越集中;2.解有關(guān)正態(tài)分布的題目要充分利用正態(tài)分布密度曲線關(guān)于直線x=μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一二項(xiàng)分布(多考向探究)考向1.不放回與放回取球問題典例突破例1.(2021天津?qū)氎嬉恢衅谀?一個(gè)不透明袋子里有大小相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球,從袋子里隨機(jī)取球,取到每個(gè)球的可能性是相同的,設(shè)取到一個(gè)紅球得1分,取到一個(gè)黑球得0分.(1)若從袋子里一次隨機(jī)取出3個(gè)球,求得2分的概率;(2)若從袋子里每次摸出一個(gè)球,看清顏色后放回,連續(xù)摸3次,求得分ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.反思感悟“無放回摸球”與“有放回摸球”的區(qū)別1.無放回摸球是指每次摸出的一球放在袋外,下次再摸球時(shí)總數(shù)比前次少一;而有放回摸球是每次摸出一球放在袋內(nèi),下次再摸球時(shí)袋內(nèi)球的總數(shù)不變.2.無放回摸球各次抽取不是相互獨(dú)立的;而有放回摸球各次抽取是相互獨(dú)立的.3.對無放回摸球來講,事件A:“無放回地逐個(gè)取k個(gè)球”與事件B:“一次任取k個(gè)球”的概率相等,即P(A)=P(B);而對有放回摸球來講,事件A:“有放回地逐個(gè)取k個(gè)球”與事件B:“一次任取k個(gè)球”的概率一般是不相等的,即P(A)≠P(B).對點(diǎn)訓(xùn)練1一不透明袋子中有大小相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黑球,從袋子里隨機(jī)取球,取到每個(gè)球的可能性是相同的,設(shè)取到一個(gè)紅球得2分,取到一個(gè)黑球得1分.(1)若從袋子里一次隨機(jī)取出3個(gè)球,求得4分的概率;(2)若從袋子里每次摸出一個(gè)球,看清顏色后放回,連續(xù)摸3次,求得分ξ的分布列.考向2.二項(xiàng)分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用典例突破例2.羽毛球是一項(xiàng)隔著球網(wǎng),使用長柄網(wǎng)狀球拍擊打用羽毛和軟木制作而成的一種小型球類的室內(nèi)運(yùn)動項(xiàng)目.羽毛球比賽的計(jì)分規(guī)則:采用21分制,即雙方分?jǐn)?shù)先達(dá)21分者勝,3局2勝.每回合中,取勝的一方加1分.每局中一方先得21分且領(lǐng)先至少2分即算該局獲勝,否則繼續(xù)比賽;若雙方打成29平后,一方領(lǐng)先1分,即算該局取勝.某次羽毛球比賽中,甲選手在每回合中得分的概率為,乙選手在每回合中得分的概率為

.(1)在一局比賽中,若甲、乙兩名選手的得分均為18,求再經(jīng)過4回合比賽甲獲勝的概率;(2)在一局比賽中,記前4回合比賽甲選手得分為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.解:(1)記“再經(jīng)過4回合比賽,甲獲勝”為事件A,可知甲在第4回合勝,前3回合勝2回合,反思感悟二項(xiàng)分布滿足的條件

對點(diǎn)訓(xùn)練2假設(shè)飛機(jī)的每一臺發(fā)動機(jī)在飛行中的故障率都是1-p(0<p<1),且各發(fā)動機(jī)互不影響.如果至少50%的發(fā)動機(jī)能正常運(yùn)行,飛機(jī)就可以安全飛行,當(dāng)裝有4個(gè)這種發(fā)動機(jī)的飛機(jī)比裝有2個(gè)這種發(fā)動機(jī)的飛機(jī)飛行更安全時(shí),求p的取值范圍.考向3.二項(xiàng)分布與函數(shù)的綜合典例突破例3.(2021湖南岳陽二模)一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球(n≥5且n∈N)和5個(gè)白球,一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球,兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng).(1)試用n表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率;(2)若n=5時(shí),求三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率;(3)記三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P,當(dāng)n取多少時(shí),P最大?考點(diǎn)二正態(tài)分布(多考向探究)考向1.正態(tài)曲線的性質(zhì)典例突破例4.(1)(2021新高考Ⅱ,6)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),下列結(jié)論中不正確的是(

)A.σ越小,該物理量在一次測量中落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大B.σ越小,該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.σ越小,該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小,該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等(2)(2021江蘇揚(yáng)州二模)已知隨機(jī)變量X~N(2,σ2),P(X>0)=0.9,則P(2<X≤4)=

.

答案:(1)D

(2)0.4

解析:(1)對于A,σ2為數(shù)據(jù)的方差,所以σ越小,數(shù)據(jù)在μ=10附近越集中,所以測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大,故A正確;對于B,不管σ取何值,測量結(jié)果大于10的概率均為0.5,故B正確;對于C,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,故C正確;對于D,由于概率分布是集中在10附近的,(9.9,10.2)分布在10附近的區(qū)域大于(10,10.3)分布在10附近的區(qū)域,所以一次測量結(jié)果落在(9.9,10.2)的概率大于落在(10,10.3)內(nèi)的概率,故D錯(cuò)誤.故選D.(2)因?yàn)镻(X>0)=0.9,且μ=2,所以P(X<0)=P(X>4)=0.1,又P(X>2)=0.5,所以P(2<X≤4)=0.4.反思感悟利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題,涉及的知識主要是正態(tài)分布密度曲線關(guān)于直線x=μ對稱,曲線與x軸之間的面積為1.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2021廣東深圳一模)已知隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ2),有下列四個(gè)命題:甲:P(ξ<a-1)>P(ξ>a+2)乙:P(ξ>a)=0.5丙:P(ξ≤a)=0.5丁:P(a<ξ<a+1)<P(a+1<ξ<a+2)如果只有一個(gè)假命題,則該命題為(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁(2)設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),則實(shí)數(shù)a的值為(

)答案:(1)D

(2)D

解析:(1)∵只有一個(gè)是假命題,∴乙、丙必為真命題(乙與丙共真假),∴μ=a,則ξ~N(a,σ2).由正態(tài)分布曲線的對稱性可得P(ξ<a-1)>P(ξ>a+2),P(a<ξ<a+1)>P(a+1<ξ<a+2),則甲為真命題,丁為假命題.故選D.(2)因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4),P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),根據(jù)正態(tài)分布的特征,可得2a-3+a+2=6,解得a=.考向2.正態(tài)分布在生活中的應(yīng)用典例突破例5.(1)山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計(jì),煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位:mm)服從正態(tài)分布N(80,52),則直徑在(75,90)內(nèi)的概率為(

)附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X<μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.9544(2)通過大數(shù)據(jù)分析,每天從岳陽來長沙的旅客人數(shù)為隨機(jī)變量X,且X~N(3000,502).則一天中從岳陽來長沙的旅客人數(shù)少于3100的概率為(

)(參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X<μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997)A.0.045 B.0.682C.0.998 D.0.977答案:(1)C

(2)D

解析:(1)由題意,μ=80,σ=5,則P(75<X<85)=0.683,P(70<X<90)=0.954,所以P(85<X<90)=×(0.954-0.683)=0.135

5,P(75<X<90)=0.683+0.135

5=0.818

5.故蘋果直徑在(75,90)內(nèi)的概率為0.818

5.(2)每天從岳陽來長沙的旅客人數(shù)為隨機(jī)變量X,且X~N(3

000,502),根據(jù)3σ原則可知當(dāng)3

000-100<X<3

000+100時(shí)P(X)=0.954.則P(X<3

100)=0.477+0.5=0.977.反思感悟利用正態(tài)分布求概率的一般思路:利用正態(tài)分布求概率問題時(shí),要把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ,σ進(jìn)行對比聯(lián)系,確定它們屬于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一個(gè).對點(diǎn)訓(xùn)練4(1)已知某批零件的長度誤差ξ(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(

)A.4.56% B.13.55%C.27.18% D.31.74%(2)某冰上項(xiàng)目組織計(jì)劃招收一批9—14歲的青少年參加集訓(xùn),以選拔運(yùn)動員,共有20000名運(yùn)動員報(bào)名參加測試,其測試成績X(滿分100分)服從正態(tài)分布N(60,σ2),成績?yōu)?0分及以上者可以進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì).已知80分及以上的人數(shù)為460人,請你通過以上信息,推斷進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì)的人數(shù)約為(

)A.18 B.22

C.30

D.32答案:(1)B

(2)C解析:(1)由題意P(-3<ξ<3)=0.683,P(-6<ξ<6)=0.954,∴P(3<ξ<6)=×(0.954-0.683)=13.55%.故選B.(2)正態(tài)分布X~N(60,σ2),80分及以上的人數(shù)為460人,

由正態(tài)分布曲線的對稱性可得P(40<X<80)=1-2P(X≥80)=0.954=P(μ-2σ<X<μ+2σ),故σ=10.所以P(30<X<90)=P(60-30<X<60+30)=0.997,考向3.正態(tài)分布與統(tǒng)計(jì)的綜合典例突破例6.(2021湖南衡陽聯(lián)考)某變電器材有限公司為監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的大量零件中隨機(jī)抽取10個(gè)零件,測量其內(nèi)徑尺寸(單位:μm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的內(nèi)徑尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示某一天內(nèi)抽取的10個(gè)零件中其內(nèi)徑尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥2)及X的數(shù)學(xué)期望;(2)該公司某天正常工作的一條生產(chǎn)線數(shù)據(jù)記錄的莖葉圖如圖所示(單位:μm):①計(jì)算這一天生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸的平均值μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ;②為了帶動相關(guān)產(chǎn)業(yè)發(fā)展,該公司幫扶另一家企業(yè)安裝這條生產(chǎn)線并試生產(chǎn)了5個(gè)零件,測量其內(nèi)徑(單位:μm)分別為:96,102,108,113,117,試問此條生產(chǎn)線是否需要進(jìn)一步調(diào)試,請說明理由.參考數(shù)據(jù):P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997,0.99710≈0.9704,0.9543≈0.87,0.003×0.9979≈0.00292,≈4.63.解:(1)由題意P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997,∴P(X=0或X=1)≈0.970

4+0.029

2=0.999

6,∴P(X≥2)=1-P(X=0或X=1)≈1-0.999

6=0.000

4,由題意可知X~B(10,0.003),EX=10×0.003=0.03.(2)①由莖葉圖可得10個(gè)數(shù)據(jù)為:96,97,99,99,102,102,103,104,105,113.

②安裝的該生產(chǎn)線需要進(jìn)一步調(diào)試,理由如下:由①可知,若生產(chǎn)線正常工作,則X服從正態(tài)分布N(102,4.632),則P(μ-3σ<X<μ+3σ)=P(88.11<X<115.89)=0.997,可知零件落在(88.11,115.89)之內(nèi)的概率為0.997,落在(88.11,115.89)之外的概率為0.003,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.而117?(88.11,115.89),由3σ原則可知生產(chǎn)線異常,需進(jìn)一步調(diào)試.反思感悟解此類問題的關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對稱性,把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化.解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運(yùn)用.(1)熟記P(μ-σ<X<μ+σ),P(μ-2σ<X<μ+2σ),P(μ-3σ<X<μ+3σ)的值;(2)充分利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.